Couple constitué par deux éléments s et t : (s, t).

Ensemble
–Collection quelconque d’´ el´ ements.
–Couple constitu´
e par deux ´ el´ ements set t:(s, t).
–Produit cart´
esien de deux ensembles Set T:
S×T={(s, t)|s∈Set t∈T}.
Application
f:A→Btelle que ∀a∈A, ∃!b∈B:b=f(a).
(une et une seule fl` eche part de chaque point de A.)
–Application injective : au plus une fl` eche arrive en chaque point de B.
–Application surjective : au moins une fl`
eche arrive en chaque point de B.
–Application bijective : une et une seule fl`
eche arrive en chaque point de B.
–Application r´ eciproque (bijective) :
f−1:B→Atelle que f−1(b) = assi f(a) = b.
Loi de composition
–Loi de composition interne ⊤entre ´ el´ ements d’un ensemble E: application
d’une partie Ade E2dans E:
(a, b)∈A⊆E2⇒c=⊤(a, b)not =a⊤b∈E.
Si A=E2,loi de composition interne et partout d´
efinie sur E.

Loi de composition
–Loi de composition interne ⊤entre ´ el´ ements d’un ensemble E: application
d’une partie Ade E2dans E:
(a, b)∈A⊆E2⇒c=⊤(a, b)not =a⊤b∈E.
Si A=E2,loi de composition interne et partout d´
efinie sur E.
–Associativit´ e:∀a1, a2, a3∈E: (a1⊤a2)⊤a3=a1⊤(a2⊤a3).
(associativit´ e⇒compl`
ete associativit´ e)
–Commutativit´ e:∀a1, a2∈E:a1⊤a2=a2⊤a1.
(associativit´ e et commutativit´ e⇒compl`
ete commutativit´ e)
–El´ ement neutre :∃e∈E, ∀a∈E:a⊤e=e⊤a=a.
(existence d’un neutre ⇒unicit´
e du neutre)
–El´ ement sym´ etrisable :a∈Etel que ∃a′∈E:a⊤a′=a′⊤a=e.
(associativit´ e, neutre et ´ el´ ement sym´ etrisable ⇒unicit´
e du sym´ etrique)
notation additive : −a(oppos´ e)
notation multiplicative : a−1(inverse)
–El´
ement simplifiable :
a∈Esimplifiable ` a droite si : ∀x, y ∈E:x⊤a=y⊤a⇒x=y.
a∈Esimplifiable ` a gauche si : ∀x, y ∈E:a⊤x=a⊤y⇒x=y.
a∈Esimplifiable si simplifiable ` a gauche et ` a droite.
(si associativit´ e et neutre, alors sym´
etrisable ⇒simplifiable)

Homomorphisme – isomorphisme
Homomorphisme de (E, ⊤)dans (E′,⊤′): application fde Edans E′telle
que, pour tout (x, y)∈E2:
f(x⊤y) = f(x)⊤′f(y).
Isomorphisme : homomorphisme bijectif.
Th´ eor` eme 1.7 fisomorphisme ⇒f−1isomorphisme.

Groupe
Couple (G, ⊤)(c’est-` a-dire un ensemble Gmuni d’une loi interne ⊤)
qui satisfait aux axiomes suivants :
G1. La loi ⊤est associative.
G2. Il existe un ´
el´ ement neutre dans (G, ⊤).
G3. Tout ´ el´ ement de (G, ⊤)est sym´ etrisable.
En outre, ⊤commutative ⇒groupe commutatif.
Th´ eor` eme 1.8 Dans un groupe, l’´ equation en xet celle en y:
a⊤x=bet y⊤a=b,
ont chacune une solution unique :
x=a′⊤bet y=b⊤a′,
respectivement, o` ua′d´ esigne le sym´ etrique de a. De plus x=ysi le groupe est
commutatif.

Anneau
Triplet (A, +,×)(c’est-` a-dire un ensemble Amuni d’une addition et d’une
multiplication) qui satisfait aux axiomes suivants :
A1.(A, +) est un groupe commutatif.
A2.Multiplication associative.
A3.Multiplication distributive par rapport ` a l’addition :
a(b+c) = ab +ac et (b+c)a=ba +ca.
En outre, multiplication commutative ⇒anneau commutatif.
multiplication poss` ede un neutre ⇒anneau unitaire.
Diviseurs de z´ ero :´ El´ ements a6= 0 et b6= 0 dans Atels que ab = 0.
anneau unitaire commutatif sans diviseurs de z´ ero ⇒anneau int` egre.
Th´ eor` eme 1.9 Dans un anneau, les ´ el´ ements non nuls, non diviseurs de z´ ero,
se confondent avec les ´ el´ ements simplifiables pour la multiplication.