Exercice n°1

Exercice n°1:
Un tricheur a dans sa poche deux pièces de monnaie l'une est N est parfaitement équilibrée l'autre
est P est pipée <<face>> sort deux fois plus souvent que <<pile>> .
Il prend une pièce des deux au hasard et obtient quatre fois <<face>> en six lancers
Quelle est la probabilité qu'il ait pris la pièce N?
Exercice n°2:
Une urne contient trois boules noires et une boule blanche une pièce de monnaie est truquée telle
que la probabilité d'avoir pille est trois fois celle d'avoir face
On considère l'épreuve suivante on lance la pièce de monnaie
 Si pille apparaît on ajoute à l'urne une boule blanche
 Si face apparaît on ajoute à l'urne une boule noire
On tire simultanément et au hasard trois boules de l'urne
Pour tout i{0,1,2} on désigne par Ai l'événement << avoir exactement i boule(s) blanche(s) parmi
les trois boules tirées>>
1) Calculer P(A0),P(A1 ) et P(A2).
2) On constate à la fin de l'épreuve qu'aucune boule blanche figure au tirage calculer la
probabilité d'avoir pile avec la pièce de monnaie.
3) On désigne par x l'aléa numérique défini par le nombre des boules obtenues à la fin de
l'épreuve.
a) Donner la loi de probabilité de X.
b) Calculer E(x), V(X) et (X)
Exercice n°3
On dispose de deux urnes U1 et U2 :
 L'urne U1 contient une boules rouges et deux boules noires.
 L'urne U2 contient trois boules numérotées 1 et deux boules numérotées 0 .
Une épreuve consiste à tirer une boule de U 1 :
 Si elle est rouge, on tire simultanément deux boules de U 2.
 Si elle est noire, on tire successivement et avec remise deux boules de U 2.
1) a) Calculer la probabilité des évènements suivants:
E:<< Tirer une boule rouge de U1 >>
A:<< Les deux boules tirées de U2 sont de même numéro >>
b) Calculer la probabilité d'avoir tiré une boule noire de U1, sachant que les deux
boules tirées de U2 sont de même numéro.
2) On considère la variable aléatoire X qui à chaque épreuve associe la somme des numéros
marqués sur les deux boules tirées de U2.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Calculer la probabilité de l'événement : 1  X  3 .


3) On répète l'épreuve précédente quatre fois de suite. Quelle est la probabilité d'obtenir une
somme égale à 1 pour la première fois au troisième épreuve.
Exercice n°4
On dispose deux urnes :
Une urne U1 contient 2 jetons numérotés 1 et2.
Une urne U2 contient 4 jetons numérotés 1,2,3 et4.
1) On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne (les choix sont supposés
équiprobables).
a) Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1.
b) On a tirer un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne U 1.
2) On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents.
On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables.
a) Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques.
b) Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe la somme des numéros des 2 jetons tirés.
Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Deux joueurs, Anis et Sami, décident que si la somme des numéros tirés est impaire, Anis donne
10 Dinars à Sami et que dans le cas contraire Anis reçoit k dinars de Sami .
On note Y la variable aléatoire qui, à chaque tirage associe le gain algébrique de Anis.
Calculer l'espérance mathématique de Y en fonction de k, puis déterminer k pour que le jeu
soit équitable.
Exercice n°5:(bac juin 2006)
On dispose de deux urnes U1 et U2
U1 contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs, U2 contient 3 jetons noirs et 2 jetons blancs
1) une première épreuve consiste à tirer un jeton de U1 et un jeton de U2. Calculer la probabilité de chacun
des événements suivants.
A<< obtenir 2 jetons noire>>
B<<obtenir 2 jetons de même couleur>>
C<< obtenir un jeton blanc et un jeton noir>>
2) une deuxième épreuve consiste à choisir une urne au hasard et de tirer un jeton de cette urne
a) Montrer que la probabilité d'avoir un jeton blanc est égal à Error!
b) Calculer la probabilité pour que le jeton provienne de U1 sachant qu'il est blanc.
3) on répète la deuxième épreuve n fois de suite (n>1) en remettant chaque fois le jeton tiré dans son urne
d'origine; on désigne par X l'aléa défini par le nombre de fois d'avoir un jeton blanc
a) donner la loi de probabilité de X.
b) Calculer son espérance et sa variance.
c) Montrer que pour tout n>1 , la probabilité de tirer deux fois un jeton blanc est supérieur ou égal à (1/2)n
Exercice n°6(bac juin 2004)
Une urne contient deux boules blanches numérotées 1,2 et trois boules rouges numérotées 1,2,2 toutes
les boules sont indiscernables au toucher
1) On tire simultanément deux boules de l'urne.
a) calculer la probabilité des événements suivants :
A<< tirer deux boules de couleurs différentes>>
B<<tirer deux boules de même numéro >>
b) sachant que les deux boules tirées sont de couleurs différents calculer la probabilité pour q'elle
portent le même numéro.
2) Dans cette question, l'épreuve consiste à tirer successivement et sans remise deux boules de
l'urne soit X l'aléa défini par le nombre des boules rouges tirées déterminer la loi de probabilité de
X et calculer E (X).