Notes de cours

MAT 1739 A : Introduction au Calcul et
Vecteurs
Caroline El-Chaâr
Le lundi 29 novembre 2010
Table des matières
8 Les Droites et les Plans 2
8.1 Les équations d’une droite dans le plan et l’espace tridimensionnel . 2
8.1.1 Équations de droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.1.2 Équations de droite dans l’espace tridimensionnel . . . . . . . 4
8.2 Les équations d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
8.4 L’intersection de droites dans le plan et dans l’espace tridimensionnel 8
8.4.1 Intersection de deux droites dans l’espace bidimensionnel . . 8
8.4.2 Intersection des deux droites dans l’espace tridimensionnel . 9
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8 Les Droites et les Plans
8.1 Les équations d’une droite dans le plan et l’espace tridimen-
sionnel
8.1.1 Équations de droite dans le plan
Dans le plan, on peut définir une droite à l’aide de différentes types d’équations.
–Équation de la forme pente-ordonnée à l’origine : Dans l’espace à deux dimen-
sions, une droite peut être définie par une équation de forme pente-ordonnée à
l’origine comme suit
y=mx +b
où mest la pente de la droite et best l’ordonnée à l’origine (en d’autres mots,
(0, b)est le point d’intersection de la droite avec l’axe des y).
–Équation canonique/linéaire/cartésienne/standard : L’équation linéaire d’une
droite dans l’espace à deux dimensions est ax +by +c= 0, où ~n = [a, b]est un
vecteur normal à la droite.
Définition. Un vecteur normal à une droite est un vecteur qui est perpendiculaire à la
droite.
Exemple 1. Considérons la droite D : x+ 2y+ 1 = 0. Comment pouvons-nous vérifier
que ~n = [1,2] est perpendiculaire à la droite D ?
Choisissez n’importe quels deux points sur la droite D, par exemple (0,−1
2)et (−1,0) sont
deux points sur D. En utilisant ces deux points (sur D), nous obtenons donc un vecteur
~m = [x2−x1, y2−y1] = [−1,1
2]qui est parallèle à D.
Le produit scalaire ~n ·~m = [1,2] ·[−1,1
2] = 0 implique que ~n est perpendiculaire à ~m.
Donc ~n est bien perpendiculaire à la droite D : x+ 2y+ 1 = 0.
–Équation vectorielle : L’équation vectorielle d’une droite dans l’espace à deux
dimensions est
~r =~r0+t~m ou [x, y]=[x0, y0] + t[m1, m2]
où
–t∈Rest un scalaire
–~r = [x, y]est un vecteur correspondant à un point inconnu sur la droite.
–~r0= [x0, y0]est un vecteur correspondant à un point connu sur la droite.
–~m = [m1, m2]est un vecteur directeur parallèle à la droite.
Exemple 2. Ecrire l’équation vectorielle de la droite x+ 2y+ 1 = 0.
2

Solution : Le vecteur directeur de cette droite est ~m = [x2−x1, y2−y1] = [−1,1
2]
et nous savons que le point (−1,0) est sur la droite. Donc,
l’équation vectorielle de la droite est ~r = [−1,0] + t[−1,1
2].
–Équation paramétrique : L’équation paramétrique d’une droite dans l’espace à
deux dimensions
x=x0+tm1
y=y0+tm2
où t∈Rest le paramètre.
Exemple 3. Considérons la droite
x= 3 + 2t
y=−5+4t.
a) Trouver deux points sur la droite.
b) Ecrire l’équation vectorielle de la droite.
c) Ecrire l’équation linéaire de la droite.
Solution : a) N’importe quelle valeur de tproduira un point situé sur la droite.
Posons t= 0, nous obtenons un point (3,−5) .
Posons t= 1, nous obtenons un autre point (5,−1) .
b) l’équation vectorielle de la droite est [x, y] = [3,−5] + t[2,4] .
c) Pour avoir l’équation linéaire de la droite, nous avons besoin d’isoler tdans
l’équation paramétrique.
x= 3 + 2t=⇒t=x−3
2
y=−5+4t=⇒t=y+ 5
4
Posons x−3
2=y+5 4, on obtient 4x−12 = 2y+ 10.
Donc l’équation linéaire de la droite est : 2x−y−11 = 0.
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8.1.2 Équations de droite dans l’espace tridimensionnel
L’équation vectorielle et l’équation paramétrique des droites dans l’espace à deux
dimensions peuvent être facilement généralisées à l’équation vectorielle et l’équa-
tion paramétrique des droites dans l’espace à trois dimensions.
–Équation vectorielle : L’équation vectorielle de la droite dans l’espace à trois
dimensions est
~r =~r0+t~m ou [x, y, z]=[x0, y0, z0] + t[m1, m2, m3]
où
–t∈Rest un scalaire,
–~r = [x, y, z]est un vecteur correspondant à un point inconnu sur la droite.
–~r0= [x0, y0, z0]est un vecteur correspondant à un point connu sur la droite.
–~m = [m1, m2, m3]est un vecteur directeur parallèle à la droite.
–Équation paramétrique : L’équation paramétrique d’une droite dans l’espace à
trois dimensions est
x=x0+tm1
y=y0+tm2
z=z0+tm3
où t∈Rest le paramètre.
Exemple 4. Une droite passe par les points (2,1,0) et (1,0,3).
a) Ecrire l’équation vectorielle de la droite.
b) Ecrire l’équation paramétrique de la droite
c) Déterminer si le point (3,1,2) se situe sur la droite.
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Remarques :
– Une droite dans deux dimensions ou trois dimensions est déterminée par deux
points distincts sur la droite, ou un point sur la droite et un vecteur directeur
parallèle à la droite.
– Il n’y a pas d’équation de droite de forme pente-ordonnée à l’origine dans l’es-
pace tridimensionnel car une droite dans l’espace à trois dimensions ne coupent
pas nécessairement les axes.
– Il n’y a pas d’équation linéaire d’une droite dans l’espace à trois dimensions,
car une droite dans l’espace à trois dimensions a un nombre infini de vecteurs
normaux qui ne sont pas nécessairement parallèles l’un à l’autre.
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