Notes de cours

MAT 1739 A : Introduction au Calcul et
Vecteurs
Caroline El-Chaâr
Le lundi 29 novembre 2010
Table des matières
8
Les Droites et les Plans
8.1 Les équations d’une droite dans le plan et l’espace tridimensionnel .
8.1.1 Équations de droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Équations de droite dans l’espace tridimensionnel . . . . . . .
8.2 Les équations d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 L’intersection de droites dans le plan et dans l’espace tridimensionnel
8.4.1 Intersection de deux droites dans l’espace bidimensionnel . .
8.4.2 Intersection des deux droites dans l’espace tridimensionnel .
1
2
2
2
4
6
8
8
9
8
Les Droites et les Plans
8.1
8.1.1
Les équations d’une droite dans le plan et l’espace tridimensionnel
Équations de droite dans le plan
Dans le plan, on peut définir une droite à l’aide de différentes types d’équations.
– Équation de la forme pente-ordonnée à l’origine : Dans l’espace à deux dimensions, une droite peut être définie par une équation de forme pente-ordonnée à
l’origine comme suit
y = mx + b
où m est la pente de la droite et b est l’ordonnée à l’origine (en d’autres mots,
(0, b) est le point d’intersection de la droite avec l’axe des y).
– Équation canonique/linéaire/cartésienne/standard : L’équation linéaire d’une
droite dans l’espace à deux dimensions est ax + by + c = 0, où ~n = [a, b] est un
vecteur normal à la droite.
Définition. Un vecteur normal à une droite est un vecteur qui est perpendiculaire à la
droite.
Exemple 1. Considérons la droite D : x + 2y + 1 = 0. Comment pouvons-nous vérifier
que ~n = [1, 2] est perpendiculaire à la droite D ?
Choisissez n’importe quels deux points sur la droite D, par exemple (0, − 12 ) et (−1, 0) sont
deux points sur D. En utilisant ces deux points (sur D), nous obtenons donc un vecteur
m
~ = [x2 − x1 , y2 − y1 ] = [−1, 12 ] qui est parallèle à D.
Le produit scalaire ~n · m
~ = [1, 2] · [−1, 21 ] = 0 implique que ~n est perpendiculaire à m.
~
Donc ~n est bien perpendiculaire à la droite D : x + 2y + 1 = 0.
– Équation vectorielle : L’équation vectorielle d’une droite dans l’espace à deux
dimensions est
~r = ~r0 + tm
~ ou [x, y] = [x0 , y0 ] + t[m1 , m2 ]
où
– t ∈ R est un scalaire
– ~r = [x, y] est un vecteur correspondant à un point inconnu sur la droite.
– ~r0 = [x0 , y0 ] est un vecteur correspondant à un point connu sur la droite.
– m
~ = [m1 , m2 ] est un vecteur directeur parallèle à la droite.
Exemple 2. Ecrire l’équation vectorielle de la droite x + 2y + 1 = 0.
2
Solution : Le vecteur directeur de cette droite est m
~ = [x2 − x1 , y2 − y1 ] = [−1, 12 ]
et nous savons que le point (−1, 0) est sur la droite. Donc,
l’équation vectorielle de la droite est ~r = [−1, 0] + t[−1, 21 ].
– Équation paramétrique : L’équation paramétrique d’une droite dans l’espace à
deux dimensions
x = x0 + tm1
y = y0 + tm2
où t ∈ R est le paramètre.
Exemple 3. Considérons la droite
x = 3 + 2t
y = −5 + 4t.
a) Trouver deux points sur la droite.
b) Ecrire l’équation vectorielle de la droite.
c) Ecrire l’équation linéaire de la droite.
Solution : a) N’importe quelle valeur de t produira un point situé sur la droite.
Posons t = 0, nous obtenons un point (3, −5) .
Posons t = 1, nous obtenons un autre point (5, −1) .
b) l’équation vectorielle de la droite est [x, y] = [3, −5] + t[2, 4] .
c) Pour avoir l’équation linéaire de la droite, nous avons besoin d’isoler t dans
l’équation paramétrique.
x−3
2
y+5
y = −5 + 4t =⇒ t =
4
Posons x−3
= y+5
, on obtient 4x − 12 = 2y + 10.
2
4
Donc l’équation linéaire de la droite est : 2x − y − 11 = 0.
x = 3 + 2t =⇒ t =
3
8.1.2
Équations de droite dans l’espace tridimensionnel
L’équation vectorielle et l’équation paramétrique des droites dans l’espace à deux
dimensions peuvent être facilement généralisées à l’équation vectorielle et l’équation paramétrique des droites dans l’espace à trois dimensions.
– Équation vectorielle : L’équation vectorielle de la droite dans l’espace à trois
dimensions est
~r = ~r0 + tm
~ ou [x, y, z] = [x0 , y0 , z0 ] + t[m1 , m2 , m3 ]
où
– t ∈ R est un scalaire,
– ~r = [x, y, z] est un vecteur correspondant à un point inconnu sur la droite.
– ~r0 = [x0 , y0 , z0 ] est un vecteur correspondant à un point connu sur la droite.
– m
~ = [m1 , m2 , m3 ] est un vecteur directeur parallèle à la droite.
– Équation paramétrique : L’équation paramétrique d’une droite dans l’espace à
trois dimensions est
x = x0 + tm1
y = y0 + tm2
z = z0 + tm3
où t ∈ R est le paramètre.
Exemple 4. Une droite passe par les points (2, 1, 0) et (1, 0, 3).
a) Ecrire l’équation vectorielle de la droite.
b) Ecrire l’équation paramétrique de la droite
c) Déterminer si le point (3, 1, 2) se situe sur la droite.
4
Remarques :
– Une droite dans deux dimensions ou trois dimensions est déterminée par deux
points distincts sur la droite, ou un point sur la droite et un vecteur directeur
parallèle à la droite.
– Il n’y a pas d’équation de droite de forme pente-ordonnée à l’origine dans l’espace tridimensionnel car une droite dans l’espace à trois dimensions ne coupent
pas nécessairement les axes.
– Il n’y a pas d’équation linéaire d’une droite dans l’espace à trois dimensions,
car une droite dans l’espace à trois dimensions a un nombre infini de vecteurs
normaux qui ne sont pas nécessairement parallèles l’un à l’autre.
5
8.2
Les équations d’un plan
Dand le plan (l’espace 2-D), une équation cartésienne (canonique/linéaire/standard)
définit une droite. Dans l’espace tridimensionnel, une équation cartésienne définit
un plan.
– Équation cartésienne/canonique/linéaire/standard : L’équation cartésienne d’un
plan dans l’espace à trois dimensions est ax + by + cz + d = 0, où ~n = [a, b, c] est
un vecteur normal au plan.
Définition. Un vecteur normal à un plan est un vecteur qui est perpendiculaire au plan.
Exemple 5. Considérons le plan x + 2y + z + 1 = 0. Comment pouvons-nous vérifier que
~n = [1, 2, 1] est perpendiculaire au plan ?
– Équation vectorielle : L’équation vectorielle d’un plan dans 3-D est
~r = ~r0 + t~a + s~b
ou
[x, y, z] = [x0 , y0 , z0 ] + t[a1 , a2 , a3 ] + s[b1 , b2 , b3 ]
où
– t, s ∈ R sont des scalaires
– ~r = [x, y, z] est un vecteur correspondant à un point inconnu sur la droite.
– ~r0 = [x0 , y0 , z0 ] est un vecteur correspondant à un point connu sur la droite.
– ~a = [a1 , a2 , a3 ] et ~b = [b1 , b2 , b3 ] sont deux vecteurs directeurs non colinéaires,
parallèles au plan.
– Équation paramétrique : L’équation paramétrique d’un plan en trois dimensions est
x = x0 + ta1 + sb1
y = y0 + ta2 + sb2
z = z0 + ta3 + sb3
où t, s ∈ R sont des paramètres.
6
Note. Un plan dans l’espace tridimensionnel est déterminé
– par trois points non colinéaires (non alignés) sur le plan ou
– par un point sur le plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires parallèles au plan.
– par un point sur le plan et un vecteur normal au plan.
– par une équation cartésienne.
Exemple 6. Considérons le plan avec des vecteurs directeurs ~a = [1, 2, −3] et ~b =
[2, −1, 4] passant par le point P0 (2, 0, 1).
a) Écrire l’équation vectorielle du plan.
b) Écrire l’équation paramétrique du plan.
c) Écrire deux autres points du plan.
d) Écrire l’équation cartésienne du plan.
Exemple 7. Considérons le plan contenant les points A(2, 4, 5), B(1, 3, 4) et C(−2, 7, 3).
a) Écrire l’équation vectorielle du plan.
b) Écrire l’équation paramétrique du plan.
c) Écrire l’équation cartésienne du plan.
Exemple 8. Considérons le plan qui a un vecteur normal ~n = [2, 3, −1] et qui contient le
point P0 (−2, 7, 3).
a) Écrire l’équation cartésienne du plan.
b) Écrire l’équation vectorielle du plan.
c) Écrire l’équation paramétrique du plan.
7
8.4
8.4.1
L’intersection de droites dans le plan et dans l’espace tridimensionnel
Intersection de deux droites dans l’espace bidimensionnel
Géométriquement, il existe trois situations possibles de deux droites dans l’espace
bidimensionnel.
– deux droites se coupent en un point
– deux droites coïncident
– deux droites sont parallèles
Algébriquement, il existe trois possibilités pour les solutions du système d’équations suivant.
a1 x + b 1 y + c 1 = 0
a2 x + b 2 y + c 2 = 0
– solution unique (correspondant à la situation : deux droites se coupent en un
point)
– infinité de solutions (correspondant à la situation : deux droites sont coïncidentes)
– Pas de solution (correspondant à la situation : deux droites sont parallèles)
Exemple 9. Prouvez les assertions suivantes :
(a) Le système d’équations
x−y+1 = 0
2x + y + 4 = 0
a une solution unique.
(b) Le système d’équations
x−y+1 = 0
x−y+1 = 0
a une infinité de solutions.
8
(c) Le système d’équations
x−y+1 = 0
x−y−2 = 0
n’a pas de solutions.
8.4.2
Intersection des deux droites dans l’espace tridimensionnel
Géométriquement, il y a quatre possibilités de l’intersection de deux droites (quatre
situations de deux droites) dans l’espace tridimensionnel.
– Elles se coupent en un point
– Elles sont coïncidentes
– Elles sont parallèles
– Elles sont obliques (non parallèles et qui ne se coupent pas)
Algébriquement, il y a trois possibilités de solutions du système d’équations suivantes.
[x, y, z] = [x0 , y0 , z0 ] + s[m1 , m2 , m3 ]
[x, y, z] = [a0 , b0 , c0 ] + t[n1 , n2 , n3 ]
– Solution unique (deux droites se coupent en un point)
– Infinité de solutions (deux droites coïncidentes)
– Aucune solution (deux droites parallèles ou obliques)
Exemple 10. Montrez que ;e système d’équations
[x, y, z] = [7, 2, −6] + s[2, 1, −3]
(1)
[x, y, z] = [3, 9, 13] + t[1, 5, 5]
(2)
a une solution unique.
9