Homologie des variétés au delà de leur dimension.

Nullité de l’homologie d’une variété topologique
au delà de sa dimension
Soit nun entier au moins égal à 1(le cas n= 0 étant trivial). L’objet de ce texte est
de démontrer le théorème suivant (l’homologie étant à coefficients dans un anneau
commutatif quelconque) :
+1 Théorème. Soit Xune variété topologique de dimension n(pas nécessaire-
ment compacte, mais sans bord). Alors Hi(X) = 0 pour tout i>n.
Au passage, on obtiendra :
+2 Théorème. Si Uest un ouvert de Rn, on a Hi(U)=0pour tout i≥n.
Noter que dans l’énoncé de ce second théorème, la condition est i≥net non pas
i>ncomme dans le premier théorème. C’est le mieux qu’on puisse faire, puisqu’en
enlevant un point de Rnon obtient un ouvert Uayant le type d’homotopie de Sn−1
et donc tel que Hn−1(U)6= 0.
Commençons par un lemme de topologie métrique.
+3 Lemme. Soit Xun espace métrique localement compact, et Kune partie
compacte de X. Pour tout ε > 0, on note K+εl’ensemble des points xde Xtels que
d(x, K)≤ε.
(a) Pour tout η > 0, il existe ε > 0aussi petit qu’on veut et une famille finie de
boules compactes F1, . . . , Fpde rayons au plus η, dont les centres sont dans K, tels
que K+ε⊂
◦
F1∪ · · · ∪
◦
Fp.
(b) Kest l’intersection d’une suite décroissante K0⊃K1⊃K2⊃. . . où chaque Ki
est une réunion finie de boules compactes. De plus, pour tout voisinage Ude K, il
existe itel que Ki⊂U.
Démonstration. (a) Pour tout x∈K, il existe un voisinage compact de xet donc
une boule fermée Fxcompacte (parce que fermée dans un compact) de centre x
et de rayon non nul, qui peut être pris inférieur à η. Notons
◦
Fxl’intérieur de Fx.
Une famille finie
◦
Fx1,...,
◦
Fxpsuffit à recouvrir K. Comme le complémentaire de
U=
◦
Fx1∪ · · · ∪
◦
Fxpest fermé et comme la distance d’un fermé à un compact disjoint
n’est pas nulle, on voit qu’il existe ε > 0(qui peut être pris aussi petit qu’on veut)
tel que K+ε⊂
◦
Fx1∪ · · · ∪
◦
Fxp.
(b) On construit la suite K0⊃K1⊃K2⊃. . . par récurrence. En appliquant (a)
avec η=η0= 1, on obtient ε0>0et K0=Fx1∪· · ·∪Fxptels que K+ε0⊂
◦
Fx1∪· · ·∪
◦
Fxp.
Supposons K0⊃ · · · ⊃ Kp−1construits tels que K+εi⊂Ki. On peut supposer que
la suite des εiest décroissante et que εi< ε0/2i. Appliquons (a) avec un ηp< εp−1,
ce qui donne une nouvelle famille de boules compactes dont la réunion sera notée
Kp. La condition ηp< εp−1entraîne que Kp⊂Kp−1, et on peut supposer que εp<
1

ε0/2p. Comme ηptend vers 0quand ptend vers l’infini, on voit que K=Ti∈NKi. La
dernière assertion résulte du fait que la distance d’un compact à un fermé disjoint
est non nulle. o
+4 Lemme. Si Kest un compact de Rn, on a Hi(Rn,Rn−K) = 0 pour i>n.
Démonstration. (0) Le cas K=∅est trivial.
(1) Si Kest un convexe non vide, soit x0∈K. Soit Bune boule de centre x0dont
l’intérieur contient K. Alors Rn−Kse rétracte par déformation sur le complémen-
taire de l’intérieur
◦
Bde B. Il en résulte que Hi(Rn−K)'Hi(Rn−
◦
B). Or Rn−
◦
Ba
le type d’homotopie de Sn−1. On a la suite exacte (pour i>n) :
0 = Hi(Rn)//Hi(Rn,Rn−K)//Hi−1(Rn−K) = 0
ce qui donne le résultat.
(2) Soient maintenant Ket Ldeux compacts de Rntels que Hi(Rn,Rn−K) =
Hi(Rn,Rn−L) = Hi(Rn,Rn−K∩L)=0. Alors Hi(Rn,Rn−K∪L) = 0. En effet, on
a la suite exacte de Mayer-Vietoris :
0 = Hi+1(Rn,Rn−K∩L)//Hi(Rn,Rn−K∪L)//Hi(Rn,Rn−K)⊕Hi(Rn,Rn−L)=0
qui donne le résultat.
(3) Supposons maintenant que Ksoit une union finie de boules compactes, K=
B1∪ · · · ∪ Bk. On raisonne par récurrence sur k. Les cas k= 0 et k= 1 ont déja été
traités ci-dessus. Supposons k≥2. Posons K0=B1∪· · · ∪ Bk−1. On a K0∩Bk= (B1∩
Bk)∪· · ·∪(Bk−1∩Bk). Comme Bi∩Bkest convexe (et compact), on voit par hypothèse
de récurrence que Hi(Rn,Rn−K0) = Hi(Rn,Rn−Bk) = Hi(Rn,Rn−K0∩Bk)=0. Il
en résulte par (2) que Hi(Rn,Rn−K) = Hi(Rn,Rn−K0∪Bk) = 0.
(4) Tout compact de Rnétant l’intersection d’une suite décroissante de réunions
finies de boules compactes. Il suffit de traiter le cas où Kest l’intersection d’une
famille décroissante de compacts K0⊃K1⊃K2⊃. . . tels que Hi(Rn,Rn−Ki)=0.
Or ceci résulte du fait que Rn−Kest la limite inductive (réunion croissante) des
Rn−Kiet du fait que l’homologie commute aux limites inductives d’ouverts. o
+5 Lemme. Si Uest un ouvert de Rn, on a Hi(U)=0pour tout i≥n.
Démonstration. (1) Supposons d’abord que Usoit le complémentaire d’un com-
pact, c’est-à-dire U=Rn−K, avec Kcompact. On a la suite exacte (pour i≥n) :
0 = Hi+1(Rn, U)//Hi(U)//Hi(Rn)=0
(2) Supposons maintenant que Uest un ouvert borné de Rn. Soit Bune boule fermée
contenant U. Alors les ouverts Uet V=Rn−Bsont disjoints, Vet U∪Vsont des
complémentaires de compacts, et on a la suite exacte :
0 = Hi(∅) = Hi(U∩V)//Hi(U)⊕Hi(V)//Hi(U∪V) = 0
2

Comme Hi(V)=0, on obtient Hi(U)=0.
(3) Soit enfin Uun ouvert quelconque de Rn. Comme Uest la réunion croissante
d’une suite d’ouverts bornés, le fait que l’homologie commute aux limites inductives
d’ouverts montre que Hi(U)=0(toujours pour i≥n). o
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 1.
Démonstration. (théorème 1) (1) Si Uest un ouvert de Xhoméomorphe à un
ouvert de Rn, on a Hi(U) = 0 pour i≥n, donc a fortiori pour i>n.
(2) Si U=U1∪· · ·∪Ukest une union finie d’ouverts homéomorphes à des ouverts de
Rn, on raisonne par récurrence sur k. Le cas k= 0 est trivial et le cas k= 1 est traité
en (1). Supposons k≥2. Posons U0=U1∪· · ·∪Uk−1. L’ouvert U0∩Ukest homéomorphe
à un ouvert de Rn(car il est inclus dans Uk). On a donc Hi(U0∩Uk) = 0 pour i≥n.
On a aussi Hi(U0)=0pour i>npar hypothèse de récurrence. Par ailleurs, on a la
suite exacte (pour i>n) :
0 = Hi(U0)⊕Hi(Uk)//Hi(U)//Hi−1(U0∩Uk)=0
qui montre que Hi(U) = 0 pour i>n.
(3) Soit enfin Uun ouvert quelconque de X. Il est la limite inductive (union) d’un
diagramme d’ouverts qui sont tous des unions finies d’ouverts homéomorphes à des
ouverts de Rn. Le résultat vient encore du fait que l’homologie commute aux limites
inductives d’ouverts. o
On étend facilement le résultat aux variétés à bord par une méthode analogue.
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