Eléments de calcul topologique Notes/Résumé de cours

Eléments de calcul topologique
Notes/Résumé de cours - MPRI - Janvier 2007
Frédéric Chazal
INRIA Futurs, France ∗
October 30, 2007
1 Avertissement
Ces notes ont pour but de fournir un support et un aide-mémoire pour le cours.
Elles ne constituent pas un cours complet et ne doivent pas être considérées comme
une version définitive. Elles contiennent la présentation et quelques preuves détail-
lées de certains points abordés dans le cours. De nombreux résultats et de nom-
breuses preuves ont été volontairement omis et remplacés par des références bibli-
ographique précise.
Les exercices présents dans ces notes sont généralement assez élémentaires. Il
est conseillé de les faire afin de s’assurer de la bonne compréhension du cours.
Il est possible (et même probable) que certaines coquilles soient encore présentes
dans le document. N’hésitez pas à me les signaler.
2 Préliminaires mathématiques et topologiques
Dans cette section, on introduit les notions mathématiques qui seront utilisées dans
la suite du cours. Par soucis de concision, les définitions et les résultats ne sont pas
toujours donnés dans leur forme générale. On se limite à la forme la plus simple
nécessaire dans la suite du cours.
2.1 Homéomorphie et isotopie
Lorsqu’on fait de la topologie, on considère que deux espaces topologiques Xet Y
sont topologiquement les mêmes s’ils sont homéomorphes.
Définition 2.1 Deux espaces topologiques X et Y sont homéomorphes s’il existe
une bijection h :X→Y qui soit continue ainsi que son inverse.
∗email: [email protected]
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Ainsi, un cercle et un polygone simple fermé 1dans le plans sont homéomor-
phes. En revanche, un cercle et un segment ne sont pas homéomorphes (le démon-
trer).
Lorsqu’on s’intéresse à des sous-ensembles Xet Yde Rk, comme par ex-
emple des surfaces dans R3, on peut considérer une notion plus forte que celle
d’homéomorphie : la notion d’isotopie.
Définition 2.2 Une isotopie entre X et Y est une application continue F :X×
[0,1]→Rktelle que F(.,0)est l’application identité X, F(X,1) = Y, et pour tout
t∈[0,1], F(.,t)est un homéomorphisme sur son image. Une isotopie ambiante
entre X et Y est une application continue F :Rk×[0,1]→Rktelle que F(.,0)
est l’application identité de Rk, F(S,1) = S′, et pour tout t ∈[0,1], F(.,t)est un
homéomorphisme de Rk.
Intuitivement, la définition précédente signifie qu’on peut déformer continue-
ment Xsur Ysans “l’auto-intersecter” ni modifier sa topologie. En restreignant
une isotopie ambiante entre Xet YàX×[0,1]on obtient une isotopie entre Xet
Y. Dans les cas considérés dans la suite la réciproque est également vraie : si X
et Ysont isotopes, il existe une isotopie ambiante entre Xet Y(voir [27]). Ainsi
les deux notions précédentes sont équivalentes dans notre cas. En revanche, des
sous-ensembles de Rkpeuvent être homéomorphes sans être isotopes. C’est par
exemple le cas entre un tore plongé dans R3de façon standard et un tore noué tels
que ceux de la figure 1 (attention, bien que ceci ait l’air clair, ce n’est pas si facile
à démontrer!)
Figure 1: Deux surfaces de R3homéomorphes à un tore mais qui ne sont pas
isotopes
1Un polygone Pdu plan formé d’arêtes e1,···enconsécutives (i.e l’extrémité de eiest l’origine
de ei+1) est simple si seules deux arêtes consécutives peuvent s’intersecter, cette intersection étant
alors réduite a une de leurs extrémités. Pest fermé si l’extrémité de enest l’origine de e1.
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2.2 Homotopie
Dans la suite, nous aurons besoin de caractériser et de comparer la topologie de
différents espaces topologiques (en général des “formes"’ représentées par des
sous-ensembles compacts de Rk). Pour cela, on considère différents invariants
topologiques. Ce sont des objets mathématiques (nombres, groupes, etc...) qu’on
associe à chaque espace et qui ont la propriété que si deux espaces sont homéo-
morphes, alors leurs invariants topologiques sont les mêmes. en général, décider si
deux espaces sont homéomorphes est une tache très difficile. On travaille donc
souvent avec des notions d’équivalence entre espaces qui sont plus faible que
l’homéomorphie et qui assurent encore que certains invariants topologiques sont
les mêmes pour des espaces équivalents.
Equivalence d’homotopie Etant donnés deux espaces topologiques XetY, deux
applications continues f0:X→Yet f1:X→Ysont dites homotopes si il ex-
iste une application continue H,H:[0,1]×X→Y, telle que ∀x∈X,H(0,x) =
f0(x)et H(1,x) = f1(x). La notion d’homotopie permet d’introduire la notion
d’équivalence d’homotopie suivante (voir [23] pages 171-172 ou [32] pages 108
pour plus de details).
Définition 2.3 Deux espaces X et Y ont le même type d’homotopie (ou sont ho-
motopiquement équivalent) si il existe des applications continues f :X→Y et
g:Y→X telles que g◦f est homotope à l’application identité de X et f ◦g est
homotope à l’application identité de Y.
Le type d’homotopie (i.e. la classe d’équivalence d’homotopie) est clairement un
invariant topologique : si deux espaces Xet Ysont homéomorphes, alors ils ont
le même type d’homotopie. En général, la réciproqie est fausse. Intuitivement,
l’équivalence d’homotopie entre espaces topologiques induit une correspondance
bijective entre les composantes connexes, les “cycles”, les “trous”, les “cavités” et
les autres caractéristiques topologiques de dimension plus grande des deux espaces.
Cette intuition sera établie plus précisément dans la suite.
Dans le cas où Y⊂Xet gest l’inclusion canonique : ∀y∈Y,g(y) = y, on peut
prouver l’équivalence d’homotopie entre Xet Yà l’aide de la caractérisation suiv-
ante.
Proposition 2.4 SiY ⊂X et s’il existe une application continue H, H :[0,1]×X→
X telle que :
• ∀x∈X,H(0,x) = x
• ∀x∈X,H(1,x)∈Y
• ∀y∈Y,∀t∈[0,1],H(t,y)∈Y
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alors, X et Y ont le même type d’homotopie.
Si on remplace la troisième propriété de H par la propriété plus forte : ∀y∈Y,∀t∈
[0,1],H(t,y) = y, alors H definit une rétraction par déformation de X sur Y.
Exercice 2.5 Donner un exemple de deux espaces qui ont le même type d’homotopie
mais qui ne sont pas homéomorphes.
Le groupe fondamental Voir première partie du cours de M. Pocchiola.
2.3 Complexes simpliciaux
Soit S={v0,v1,···,vd}un ensemble de d+1 points de Rk. Les points de Ssont
dits affinement indépendants si
d
∑
i=0tivi=0 et d
∑
i=0ti=0=⇒t0=t1=···=td=0
Dans ce cas, l’enveloppe convexe de Sest un simplexe de dimension d (ou d-
simplexe). En d’autres termes, un d-simplexe est l’enveloppe convexe d’un en-
semble de (d+1)points affinement indépendants. Par convention, l’ensemble
vide est un simplexe de dimension −1. Ainsi, les 0-simplexes sont les points, les
1-simplexes les segments, les 2-simplexes les triangles, les 3-simplexes les tétraè-
dres, etc...
Les faces d’un simplexe sont les simplexes engendrés par les sous-ensembles de
ses sommets. La dimension d’une face est sa dimension en tant que simplexe, i.e.
le nombre de sommets qui l’engendre moins un. Si
τ est une face d’un simplexe
σ , on note τ ≤ σ .
Par exemple, si v0v1v2est un triangle, l’ensemble de ses faces (listé par dimen-
sions croissantes) est {/0,v0,v1,v2,v0v1,v1v2,v2v0,v0v1v2}.
Définition 2.6 Un complexe (simplicial) K est une union finie de simplexes telle
que :
1) toute face d’un simplexe de K est aussi un simplexe de K,
2) l’intersection de deux simplexes de K est soit vide, soit un simplexe de dimension
inférieure ou égale qui est leur face commune de dimension maximale.
Des exemples de complexes sont donnés figures 3 et 2. Les triangulations de
polygones du plan ou plus généralement de surfaces sont des exemples de com-
plexes.
Les simplexes formant un complexe sont appelés ses faces. Le j-squelette d’un
complexe Kest l’ensemble des j-faces de K. On dit que K est de dimension n (ou
est un n-complexe) si la plus grande des dimensions de ses faces est n. On dit
qu’un n-complexe Kest homogène ou de dimension pure si chacune de ses faces
est incidente à au moins une face de dimension n. L’exemple de la figure 3 est de
dimension 3 mais n’est pas homogène.
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Figure 2: Les graphes et les triangulations de surfaces sont des exemples partic-
uliers de complexes simpliciaux.
Exemple de complexe Ceci n’est pas un complexe
Figure 3: Exemples de complexes
A tout complexe Kcorrespond un sous-ensemble de Rk(parfois appelé le do-
maine de K). Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité nous désignerons indifféremment
le complexe Kvu comme structure combinatoire et le sous-ensemble de Rklui
correspondant.
A tout n-complexe homogène K, on associe le bord de K, noté b(K), qui est le
sous-complexe homogène de dimension n−1 constitué des n−1-faces incidentes
à une seule n-face de Kauxquelles on ajoute toutes leurs faces.
Exercice 2.7 Montrer qu’un complexe Kest connexe si et ssi son 1-squelette est
connexe.
Exercice 2.8 Décrire un complexe simplicial dans R3qui soit homéomorphe à une
boule fermée. Décrire un complexe qui soit homéomorphe à une sphère, puis un
qui soit homéomorphe à un tore.
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