Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Exercice 2
Exercice 8
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), on considère les
points A (−1; −2), B (5; 1), C (2; 4) et E (53; 26).
On considère un parallélogramme ABCD, P le milieu de
[AD] et R est le symétrique de B par rapport à P .
1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel
que ABCD soit un parallélogramme.
1. Faire une figure.
2. En se plaçant dans un repère que l’on définira, prouver
que D est le milieu de [CR]
2. Les points A, B et E sont-ils alignés ?
Exercice 9
Exercice 3
Soit un parallélogramme ABCD, I le milieu de [AD], M le
point de [AB] situé au tiers à partir de A et N le symétrique
de I par rapport à A.
1. Que peut-on conjecturer concernant C, M et N ?
A
•
2. On se place dans le repère (A, B, D).
Déterminer les coordonnées respectives des points cités
dans l’énoncé puis prouver le résultat conjecturé.
# » 3# »
3. Soit K le point défini par AK = AB.
4
Les droites (DK) et (IM ) sont-elles parallèles ?
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A (−2; 4), B (4; −4) et C (−1; 0).
Un élève a réalisé la figure sur une feuille non quadrillée
et son camarade a effacé les axes du repère (voir figure cidessous).
Retrouver ces axes en justifiant les différentes étapes.
Exercice 4
C
•
Soit ABC un triangle. On considère les points suivants :
# »
# »
• E défini par AE = 34 AB ;
• F milieu de [BC] ;
# »
# »
• G défini par AG = 23 AC.
Prouver que les points E, F et G sont alignés.
Exercice 5
Considérons la situation décrite par la figure ci-dessous :
C
•
I
B
Exercice 10
J
K
A
B
# » 3# » 1# »
1. Établir que AJ = AB + AC.
4
4
2. Les points I, J et K sont-ils alignés ?
Exercice 6
Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des côtés
[AB] et [AC], M et N les points tels que ABJM et CIAN
sont des parallélogrammes et P le milieu de [M N ].
Prouver que les droites (AP ) et (BC) sont parallèles.
Exercice 7
Soient un segment [AB], C son milieu, D et E les points
tels que CBDE est un parallélogramme et F le point du
segment [EB] situé au tiers de sa longueur en partant de E.
Le but de l’exercice est de démontrer que les points A, F
et D sont alignés.
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
donne les points A (−2; −1), B (6; 1), C (5; 5) et D (−3; 3).
1. Réaliser une figure puis prouver que le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme.
2. Le parallélogramme ABCD est-il un rectangle ?
Exercice 11
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J),
on considère les points A (−4; −2), B (0; 5), C (8; 4) et
D (4; −3).
1. Réaliser une figure puis prouver que le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme.
2. Prouver que le parallélogramme ABCD est un losange.
Exercice 12
Sur la figure ci-dessous, OABC est un rectangle tel que
OA = 8 cm et OC = 7 cm, D est le milieu de [OA] et E
celui de [CD].
C
B
1. Première méthode : Calcul vectoriel
# »
# »
# »
# »
a) Exprimer AF puis F D en fonction de ED et BE.
# »
# »
b) En déduire une égalité liant AF et F D, l’interpréter
et conclure.
7 cm
E
2. Seconde méthode : Géométrie analytique
a) Donner les coordonnées de chacun des points de
# » # »
l’énoncé dans le repère (E; ED; EC).
# »
# »
b) Calculer les coordonnées respectives de DA et DF
puis conclure.
O
D
8 cm
A
Le but de l’exercice est de vérifier si le triangle ABE est
équilatéral ou non.
1. On nomme I et J les points appartenant respectivement
à [OA] et [OC] tels que OI = OJ = 1 cm.
Que peut-on dire du repère (O, I, J) ? Donner, sans justifier, les coordonnées des points O, A, B, C et D dans
ce repère.
2. Calculer les coordonnées du point E.
3. Calculer la longueur exacte du segment [BE], en donner
une valeur approchée à 10−2 près puis conclure.
Exercice 13
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les
points A (2; 8), B (−6; 4) et C (−4; 0).
1. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure
de l’exercice. Conjecturer la nature du triangle ABC.
2. Prouver la conjecture émise à la question précédente.
3. Calculer les coordonnées du point M , milieu de [AC].
4. Soit D le symétrique de B par rapport à M . Calculer
les coordonnées de D.
2. Soit K le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Tracer ce cercle sur la figure puis calculer les coordonnées de K et la valeur exacte du rayon du cercle.
3. Ce cercle coupe l’axe des abscisses en deux points E et F .
On convient que E est le point qui, des deux, a la plus
petite abscisse.
a) Quelle est l’ordonnée des points E et F ?
b) Déterminer les valeurs exactes des abscisses respectives des points E et F .
Exercice 17
Dans un repère orthonormé, on considère les points A (0; 4),
B (−4; −4) et C (4; 0).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Calculer les coordonnées du point D, milieu de [AC].
’
3. Prouver que (BD) est la bissectrice de l’angle ABC.
4. Calculer une valeur approchée au degré près de la me’
sure de l’angle ABC.
Exercice 18
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
On justifiera la réponse sans effectuer le moindre calcul.
Dans un repère orthonormé, on considère les points A (4; 8),
B (−4; 4) et C (8; 0).
6. a) Développer, réduire et ordonner (4x + 4)(x − 4).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
b) Dans cette question, x désigne un réel et E le point
de coordonnées (x; x).
Déterminer algébriquement la valeur de x sachant
que E est un point distinct de D et que le triangle
ACE est rectangle en E.
7. Démontrer, sans aucun calcul, que les points A, B, C, D
et E sont situés sur un même cercle que l’on précisera.
Exercice 14
2. Calculer les coordonnées du point H, milieu de [BC].
3. Calculer les coordonnées du centre E et le rayon du
cercle circonscrit au triangle AHC.
4. Ce cercle coupe l’axe des abscisses en deux points, C et F .
Lire les coordonnées de F puis prouver que la droite
(BF ) est tangente au cercle en F .
Exercice 19
2. Prouver que ABCD est un trapèze.
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J).
On considère les points A (2; 8), B (−3; 3), C (4; −4),
# » 1# »
T (−1; 1), S le mileu de [AT ] et U défini par AU = AC.
4
1. Faire une figure. Conjecturer la nature du triangle ABC.
3. On note N , J, K et L les milieux respectifs de [AB],
[BC], [CD] et [DA].
2. Effectuer les calculs permettant de valider la conjecture
réalisée à la question précédente.
Dans le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J),
on donne A (−5; 2), B (3; 6), C (7; 3) et D (−5; −3).
1. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
a) Déterminer algébriquement les coordonnées de L.
b) Lire les coordonnées respectives des points N , J et
K puis vérifier que N JKL est un parallélogramme.
4. Déterminer la nature du triangle ABK.
Exercice 15
Le plan étant muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A (−2; 5), B (6; −1) et C (8; 10).
1. Faire une figure et placer les points A, B et C.
Que peut-on conjecturer concernant le triangle ABC ?
2. Réaliser les calculs nécessaires pour valider la conjecture
émise à la question précédente.
3. Calculer les coordonnées du point K, milieu de [AB].
4. Prouver, sans aucun calcul, que le triangle BIC est rectangle en K.
5. Calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle
’ à 0,1◦ près.
ABC
Exercice 16
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les
points A (3; 3), B (2; −2) et C (−2; 4).
1. Calculer les longueurs AB, AC et BC (on donnera les
valeurs exactes).
En déduire la nature du triangle ABC.
3. Prouver que les points B, T et C sont alignés.
4. Calculer les coordonnées du point S.
5. Déterminer par le calcul les coordonnées du point U .
6. Les points B, S et U sont-ils alignés ? Justifier.
7. Les droites (AB) et (T U ) sont-elles parallèles ? Justifier.
Exercice 20
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A (6; 7), B (−4; 2), C (1; −3) et P (1; 2).
1. Faire une figure et placer les points A, B, C et P puis
conjecturer la nature du triangle ABC.
2. Effectuer les calculs nécessaires permettant de valider la
conjecture émise à la question précédente.
3. a) Calculer les coordonnées du milieu K de [BC].
# » # »
b) Calculer les coordonnées des vecteurs KP et P A puis
prouver que les points A, K et P sont alignés.
c) Sans aucun calcul, justifier que le triangle ABK est
rectangle en K.
# »
# »
4. Soit E le point défini par BE = 3BP .
Placer le point E sur la figure puis lire les coordonnées
# »
# »
des vecteurs BA et CE. Que peut-on en déduire ?
5. Soit D le point de coordonnées (61; 26).
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Justifier.