Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Exercice 2
Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), on considère les
points A(−1; −2),B(5; 1),C(2; 4) et E(53; 26).
1. Déterminer par le calcul les coordonnées du point Dtel
que ABCD soit un parallélogramme.
2. Les points A,Bet Esont-ils alignés ?
Exercice 3
Soit un parallélogramme ABCD,Ile milieu de [AD],Mle
point de [AB]situé au tiers à partir de Aet Nle symétrique
de Ipar rapport à A.
1. Que peut-on conjecturer concernant C,Met N?
2. On se place dans le repère (A, B, D).
Déterminer les coordonnées respectives des points cités
dans l’énoncé puis prouver le résultat conjecturé.
3. Soit Kle point défini par # » AK =3
4
# »
AB.
Les droites (DK)et (IM )sont-elles parallèles ?
Exercice 4
Soit ABC un triangle. On considère les points suivants :
•Edéfini par # » AE =3
4
# »
AB ;
•Fmilieu de [BC];
•Gdéfini par # » AG =3
2
# »
AC.
Prouver que les points E,Fet Gsont alignés.
Exercice 5
Considérons la situation décrite par la figure ci-dessous :
A
C
B
I
J
K
1. Établir que # » AJ =3
4
# »
AB +1
4
# »
AC.
2. Les points I,Jet Ksont-ils alignés ?
Exercice 6
Soit ABC un triangle, Iet Jles milieux respectifs des côtés
[AB]et [AC],Met Nles points tels que ABJM et CIAN
sont des parallélogrammes et Ple milieu de [M N].
Prouver que les droites (AP )et (BC)sont parallèles.
Exercice 7
Soient un segment [AB],Cson milieu, Det Eles points
tels que CBDE est un parallélogramme et Fle point du
segment [EB]situé au tiers de sa longueur en partant de E.
Le but de l’exercice est de démontrer que les points A,F
et Dsont alignés.
1. Première méthode : Calcul vectoriel
a) Exprimer # » AF puis # » F D en fonction de # » ED et # » BE.
b) En déduire une égalité liant # » AF et # » F D, l’interpréter
et conclure.
2. Seconde méthode : Géométrie analytique
a) Donner les coordonnées de chacun des points de
l’énoncé dans le repère (E;
# »
ED;
# »
EC).
b) Calculer les coordonnées respectives de # » DA et # » DF
puis conclure.
Exercice 8
On considère un parallélogramme ABCD,Ple milieu de
[AD]et Rest le symétrique de Bpar rapport à P.
1. Faire une figure.
2. En se plaçant dans un repère que l’on définira, prouver
que Dest le milieu de [CR]
Exercice 9
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A(−2; 4),B(4; −4) et C(−1; 0).
Un élève a réalisé la figure sur une feuille non quadrillée
et son camarade a effacé les axes du repère (voir figure ci-
dessous).
Retrouver ces axes en justifiant les différentes étapes.
•
•
•
A
B
C
Exercice 10
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
donne les points A(−2; −1),B(6; 1),C(5; 5) et D(−3; 3).
1. Réaliser une figure puis prouver que le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme.
2. Le parallélogramme ABCD est-il un rectangle ?
Exercice 11
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J),
on considère les points A(−4; −2),B(0; 5),C(8; 4) et
D(4; −3).
1. Réaliser une figure puis prouver que le quadrilatère
ABCD est un parallélogramme.
2. Prouver que le parallélogramme ABCD est un losange.
Exercice 12
Sur la figure ci-dessous, OABC est un rectangle tel que
OA = 8 cm et OC = 7 cm, Dest le milieu de [OA]et E
celui de [CD].
A
BC
D
O
E
7cm
8cm

Le but de l’exercice est de vérifier si le triangle ABE est
équilatéral ou non.
1. On nomme Iet Jles points appartenant respectivement
à[OA]et [OC]tels que OI =OJ = 1 cm.
Que peut-on dire du repère (O, I, J)? Donner, sans jus-
tifier, les coordonnées des points O,A,B,Cet Ddans
ce repère.
2. Calculer les coordonnées du point E.
3. Calculer la longueur exacte du segment [BE], en donner
une valeur approchée à 10−2près puis conclure.
Exercice 13
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les
points A(2; 8),B(−6; 4) et C(−4; 0).
1. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure
de l’exercice. Conjecturer la nature du triangle ABC.
2. Prouver la conjecture émise à la question précédente.
3. Calculer les coordonnées du point M, milieu de [AC].
4. Soit Dle symétrique de Bpar rapport à M. Calculer
les coordonnées de D.
5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
On justifiera la réponse sans effectuer le moindre calcul.
6. a) Développer, réduire et ordonner (4x+ 4)(x−4).
b) Dans cette question, xdésigne un réel et Ele point
de coordonnées (x;x).
Déterminer algébriquement la valeur de xsachant
que Eest un point distinct de Det que le triangle
ACE est rectangle en E.
7. Démontrer, sans aucun calcul, que les points A,B,C,D
et Esont situés sur un même cercle que l’on précisera.
Exercice 14
Dans le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J),
on donne A(−5; 2),B(3; 6),C(7; 3) et D(−5; −3).
1. Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
2. Prouver que ABCD est un trapèze.
3. On note N,J,Ket Lles milieux respectifs de [AB],
[BC],[CD]et [DA].
a) Déterminer algébriquement les coordonnées de L.
b) Lire les coordonnées respectives des points N,Jet
Kpuis vérifier que N JKL est un parallélogramme.
4. Déterminer la nature du triangle ABK.
Exercice 15
Le plan étant muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A(−2; 5),B(6; −1) et C(8; 10).
1. Faire une figure et placer les points A,Bet C.
Que peut-on conjecturer concernant le triangle ABC ?
2. Réaliser les calculs nécessaires pour valider la conjecture
émise à la question précédente.
3. Calculer les coordonnées du point K, milieu de [AB].
4. Prouver, sans aucun calcul, que le triangle BIC est rec-
tangle en K.
5. Calculer une valeur approchée de la mesure de l’angle
’
ABC à0,1◦près.
Exercice 16
Dans un repère orthonormé (O, I, J), on considère les
points A(3; 3),B(2; −2) et C(−2; 4).
1. Calculer les longueurs AB,AC et BC (on donnera les
valeurs exactes).
En déduire la nature du triangle ABC.
2. Soit Kle centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
Tracer ce cercle sur la figure puis calculer les coordon-
nées de Ket la valeur exacte du rayon du cercle.
3. Ce cercle coupe l’axe des abscisses en deux points Eet F.
On convient que Eest le point qui, des deux, a la plus
petite abscisse.
a) Quelle est l’ordonnée des points Eet F?
b) Déterminer les valeurs exactes des abscisses respec-
tives des points Eet F.
Exercice 17
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(0; 4),
B(−4; −4) et C(4; 0).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Calculer les coordonnées du point D, milieu de [AC].
3. Prouver que (BD)est la bissectrice de l’angle ’ ABC.
4. Calculer une valeur approchée au degré près de la me-
sure de l’angle ’ ABC.
Exercice 18
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(4; 8),
B(−4; 4) et C(8; 0).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ?
2. Calculer les coordonnées du point H, milieu de [BC].
3. Calculer les coordonnées du centre Eet le rayon du
cercle circonscrit au triangle AHC.
4. Ce cercle coupe l’axe des abscisses en deux points, Cet F.
Lire les coordonnées de Fpuis prouver que la droite
(BF )est tangente au cercle en F.
Exercice 19
Le plan est muni d’un repère orthonormal (O, I, J).
On considère les points A(2; 8),B(−3; 3),C(4; −4),
T(−1; 1),Sle mileu de [AT ]et Udéfini par # » AU =1
4
# »
AC.
1. Faire une figure. Conjecturer la nature du triangle ABC.
2. Effectuer les calculs permettant de valider la conjecture
réalisée à la question précédente.
3. Prouver que les points B,Tet Csont alignés.
4. Calculer les coordonnées du point S.
5. Déterminer par le calcul les coordonnées du point U.
6. Les points B,Set Usont-ils alignés ? Justifier.
7. Les droites (AB)et (T U )sont-elles parallèles ? Justifier.
Exercice 20
Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, I, J), on
considère les points A(6; 7),B(−4; 2),C(1; −3) et P(1; 2).
1. Faire une figure et placer les points A,B,Cet Ppuis
conjecturer la nature du triangle ABC.
2. Effectuer les calculs nécessaires permettant de valider la
conjecture émise à la question précédente.
3. a) Calculer les coordonnées du milieu Kde [BC].
b) Calculer les coordonnées des vecteurs # » KP et # » P A puis
prouver que les points A,Ket Psont alignés.
c) Sans aucun calcul, justifier que le triangle ABK est
rectangle en K.
4. Soit Ele point défini par # » BE = 3
# »
BP .
Placer le point Esur la figure puis lire les coordonnées
des vecteurs # » BA et # » CE. Que peut-on en déduire ?
5. Soit Dle point de coordonnées (61; 26).
Les droites (AB)et (CD)sont-elles parallèles ? Justifier.