Table des mati`eres Cours VIII. Théorie des topos et faisceaux

Table des mati`eres
Cours VIII. Th´eorie des topos et faisceaux Nisnevich .................. 1
1. Pr´efaisceaux ................................................................ 1
2. Cribles ...................................................................... 2
3. Sites et topologies de Grothendieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4. Faisceaux sur un site . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5. Structures sur les faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
6. Foncteurs continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
R´ef´erences .................................................................... 13
COURS VIII
TH´ EORIE DES TOPOS ET FAISCEAUX NISNEVICH
Dans toute cette partie, on fixe une cat´egorie essentiellement petite S.(1)
1. Pr´efaisceaux
On note Ens la cat´egorie des ensembles.
D´efinition VIII.1. — Un pr´efaisceau sur Sest un foncteur contravariant
F:Sop →Ens.
Un morphisme de pr´efaisceaux sur Sest une transformation naturelle. On note PFx(C) la
cat´egorie des pr´efaisceaux sur S.
Exemple VIII.1. — On a d´ej`a vu cette d´efinition dans le cas o`u Sest la cat´egorie des ouverts
d’un espace topologique (par. II.1.2.a). On l’utilisera particuli`erement dans le cas o`u Sest la
cat´egorie essentiellement petite LSdes S-sch´emas lisses s´epar´es de type fini.
VIII.1.0.a. — Si Xest un objet de S, le foncteur HomS(−, X) d´efinit un pr´efaisceau, que l’on
appelle le pr´efaisceau repr´esent´e par X. On dit qu’un pr´efaisceau Fest repr´esentable s’il existe
un objet Xde Set un isomorphisme F'γX. Rappelons le lemme de Yoneda :
Lemme VIII.1. — Pour tout pr´efaisceau Fsur Set tout objet Xde S, le morphisme cano-
nique
HomS(HomS(−, X), F )→F(X), η 7→ ηX(1X)
est un isomorphisme.
En cons´equence, le foncteur
S→PFx(S), X 7→ HomS(−, X)
est pleinement fid`ele. On peut donc identifier, et c’est ce que l’on fera par la suite, un objet Xde
Savec le pr´efaisceau HomS(−, X) qu’il repr´esente.
(1)Plus g´en´eralement, on peut utiliser la th´eorie des univers expos´ee dans [AGV73, I] pour fonder la th´eorie des
topos.
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VIII.1.0.b. — Tout comme la cat´egorie des ensembles, la cat´egorie des pr´efaisceaux admet des
petites limites projectives et inductives : celles-ci se calculent termes `a termes(2). Notons le corol-
laire imm´ediat du lemme de Yoneda :
Corollaire VIII.1.1. — Soit Fun pr´efaisceau sur S.
On note S/F la cat´egorie ayant pour :
– objets : les morphismes de pr´efaisceaux X→Fo`u Xest un objet de S.
– morphismes de X0/F →X/F : les diagrammes commutatifs :
X0//
B
B
B
B
BX.
~~}
}
}
}
}
F
Alors, la fl`eche canonique :
lim
−→
X/F ∈S/F
X!−→ F
est un isomorphisme.
2. Cribles
VIII.2.0.c. — Comme on l’a d´ej`a rappel´e pour les limites, la cat´egorie des pr´efaisceaux sur S
h´erite de certaines propri´et´es de la cat´egorie des ensembles. Ainsi, ´etant donn´es deux pr´efaisceaux
Fet Gsur S, on dira que Gest un sous-pr´efaisceau de Fsi pour tout objet Xde S,G(X) est
un sous-ensemble de F(X). On parlera de mˆeme de la r´eunion et de l’intersubsection d’une famille
de sous-pr´efaisceaux.
D´efinition VIII.2. — Soit Xun objet de S. Un crible de Xest un sous-pr´efaisceau Rdu
pr´efaisceau repr´esent´e par X.
La relation d’inclusion des sous-pr´efaisceaux de Xinduit une relation d’ordre sur les cribles de
X. Si Ret R0sont deux cribles de X, on dira que Rest plus fin que R0si R⊂R0.
Un tel crible Rest encore ´equivalent `a la donn´ee d’une classe R0de fl`eches de Stelle que :
1. Tout ´el´ement fde R0a pour but X.
2. Pour toute fl`eche fde R0et toute fl`eche gde S,f◦gappartient `a R0.
On passe de ce point de vue au point de vue de la d´efinition en associant `a la classe R0le pr´efaisceau
qui a un objet Yde Sassocie l’ensemble des fl`eches de R0ayant pour source Y. La notation
f∈Rfera r´ef´erence `a l’interpr´etation du crible Ren tant que classe. Notons au passage que R0
coincide avec les objets de la cat´egorie S/R – voir corollaire VIII.1.1. Cette cat´egorie est d’ailleurs
une sous-cat´egorie pleine de S/X.
Exemple VIII.2. — Consid´erons une fl`eche f:W→X. On dit que fest un ´epimorphisme si
pour tout couple de fl`eches (g, g0) : X→X0,g◦f=g0◦fimplique g=g0. Il revient au mˆeme de
demander que la fl`eche induite sur les pr´efaisceaux
HomS(−, W )→HomS(−, X)
est un monomorphisme. Autrement dit, West un crible de X.
(2)On peut exprmier cela en disant que, pour tout objet Xde S, le foncteur PFx(S)→S, F 7→ F(X) commute
aux limites projectives et aux limites inductives.

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D´efinition VIII.3. — Soit (fi:Xi→X)i∈Iune famille de fl`eches de S. On d´efinit le crible
engendr´ee par la famille (fi) comme l’ensemble des fl`eches
{f:Y→X| ∃i∈I, hi:Y→Xi, f =fihi}
(consid´er´ee `a isomorphisme pr`es par rapport `a la source Y).
On le note hXi→X, i ∈Ii.
Exemple VIII.3. — Si Sest la cat´egorie Ouv(T) des ouverts d’un espace topologique Tet
(Ui)i∈Iest un recouvrement ouvert de T, le crible hUi→T, i ∈Iiest encore l’ensemble des
recouvrements ouverts (Vi)i∈Ide Tqui sont plus fin que (Ui).
VIII.2.0.d. — Soit f:Y→Xun morphisme de S, et Run crible de X. Le produit fibr´e
R×XYest bien d´efinit dans la cat´egorie PFx(S). De plus, c’est un crible de Yqui correspond `a
la classe suivante :
{g:W→Y| ∃f◦g∈R}
On notera ce crible Rfet on l’appellera le crible de Xobtenu par changement de base suivant f.
Exemple VIII.4. — Supposons que Sadmette des produits fibr´es. Alors, si Rest le crible
repr´esent´e par un ´epimorphisme p:W→Xde S, le crible Rfest le pr´efaisceau repr´esent´e par
le produit fibr´e W×XYdans S. S’il existe une famille (Xi→X)i∈Ide fl`eches de Stelle que
R=hXi→X, i ∈Ii, alors Rf=hXi×XY→Y, i ∈Ii
VIII.2.0.e. — Si f:Y→Xest un fl`eche de R, il est imm´ediat que Rfcoincide avec le
pr´efaisceau repr´esent´e par Y(vu comme crible trivial de Y). On d´eduit de cette remarque et du
lemme de Yoneda le lemme suivant :
Lemme VIII.2. — Soit Run crible de X. Alors, la fl`eche canonique
lim
−→
(Y→X)∈R
Y!−→ R
est un isomorphisme, o`u la limite inductive est index´ee par la cat´egorie S/R.
3. Sites et topologies de Grothendieck
D´efinition VIII.4. — Une topologie (de Grothendieck) Tsur la cat´egorie Sest la donn´ee pour
chaque objet Xde S, d’un ensemble T(X) de cribles de Xtels que :
(T1) Si R∈T(X), pour toute fl`eche f:Y→X,Rf∈T(Y)
(T2) Soit R0un crible de Xet Run ´el´ement de T(X). Si pour toute fl`eche f:Y→Xde R, le
crible R0fappartient `a T(Y), alors R0∈T(X)
(T3) Le crible trivial Xappartient `a T(X).
Les ´el´ements de T(X) sont appel´es les cribles T-couvrants de X.
On dit encore que le couple (S, T ) est un site.
La relation d’ordre sur les cribles de Xinduit une relation d’ordre sur T(X). Les axiomes
pr´ec´edents entrainent la propri´et´e suivante :
Lemme VIII.3. — Soit (S, T )un site. Alors, pour tout objet Xde S, et tous cribles R,R0de
X, les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees :
1. Si Ret R0sont T-couvrants, R∩R0est T-couvrant.
2. Supposons que Rsoit T-couvrant. Alors, si Rest plus fin que R0,R0est T-couvrant.
3. L’ensemble ordonn´e T(X)est filtrant.

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D´emonstration. — La troisi`eme propri´et´e est cons´equence des deux autres, et du fait que T(X)
est non vide `a cause de l’axiome (T3).
Consid´erons la premi`ere propri´et´e. Soit f:Y→Xun fl`eche de R. Alors, d’apr`es la remarque
du paragraphe VIII.2.0.e, (R∩R0)f=Y; c’est un crible T-couvrant de Yet on conclut d’apr`es
(T2).
Consid´erons la deuxi`eme propri´et´e, R⊂R0. Soit f:Y→Xune fl`eche de R. Appliquant
`a nouveau loc. cit. R0f=Yest un crible couvrant de Y. L’axiome (T2) permet `a nouveau de
conclure.
Exemple VIII.5. — Soit Xun espace topologique, Ouv(X) la cat´egorie des ouverts de X. Si
l’on note T(U) l’ensemble des cribles d’un ouvert Ude Xde la forme hUi→U, i ∈Iipour un re-
couvrement ouvert (Ui) de U(exemple VIII.3), alors Test un topologie sur Ouv(X). Lorsque Xest
un sch´ema, on appelle cette topologie la topologie de Zariski ; on note XZar le site correspondant.
D´efinition VIII.5. — Si Tet T0sont deux topologies sur S, on dira que Test plus fine que
T0si pour tout objet Xde S,T(X)⊂T0(X).
VIII.3.0.f. — Si (ti)i∈Iest une famille de topologies sur S, la topologie Td´efinie par la relation
T(X) = ∩i∈Iti(X)
v´erifie les axiomes (T1), (T2) et (T3). C’est donc une topologie, borne inf´erieure des topologies
(ti)i∈I.
Ainsi, il existe une unique topologie T0qui soit plus fine que toutes les topologies ti, et qui soit
minimale pour cette propri´et´e : c’est la borne inf´erieure de toutes les topologies plus fines que les
topologies ti. On l’appelle la topologie engendr´ee par les (ti)i∈I.
Exemple VIII.6. — La topologie sur Sd´efinie par T(X) = {X}(resp. T(X) = {cribles de X})
est la moins fine (resp. la plus fine) de toutes les topologies sur S. On l’appelle la topologie grossi`ere
(resp. topologie discr`ete).
D´efinition VIII.6. — Une pr´e-topologie sur Sest la donn´ee pour chaque objet Xde Sd’un
ensemble C(X) de familles de morphismes de but Xsatisfaisant les propri´et´es suivantes :
(PT1) Si la famille (Ui→X)i∈Iappartient `a C(X), pour toute fl`eche f:Y→Xde S, pour
tout indice i∈I, le produit fibr´e Ui×XYexiste dans Set la famille (Ui×XY→Y)i∈I
appartient `a C(Y).
(PT2) Soit (Ui→X)i∈Iun ´el´ement de C(X), et pour tout i∈I, (Vij →Ui)j∈Jiun ´el´ement de
C(Ui), alors, si l’on note Jla some disjointe des ensembles Ji, la famille
(Vij →Ui→X)(i,j)∈J
est un ´el´ement de C(X).
(PT3) La famille (1X) appartient `a C(X).
Les ´el´ements de C(X) sont appel´es les C-recouvrements de X– ou simplement les recouvrements
lorsque Cest claire.
VIII.3.0.g. — Consid´erons une pr´e-topologie Csur S. Soit Xun objet de Set Run crible de
X. On dira que Rest C-´el´ementaire si il existe un C-recouvrement (Xi)i∈Ide Xtel que
R=hXi→X, i ∈Ii.
On note tCla plus fine des topologies telle que tout crible C-´el´ementaire est tC-couvrant (cette
topologie existe d’apr`es le paragraphe VIII.3.0.f). On peut caract´eriser cette topologie comme suit :
Proposition VIII.4. — Consid´erons les notations pr´ec´edentes. Soit Xun objet de Set Run
crible de X. Alors, les conditions suivantes sonts ´equivalentes :

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(i) R∈tC(X)
(ii) Il existe un crible C-´el´ementaire R0plus fin que R.
D´emonstration. — On note T0(X) l’ensemble des cribles de Xcontenant un crible C-´el´ementaire.
Par d´efinition de T, il suffit de v´erifier que T0est une topologie sur S. L’axiome (T1) (resp.
(T3)) r´esulte clairement de l’axiome (PT1) (resp. (PT3)) de la pr´e-topologie C. Compte tenu de
l’exemple VIII.4, l’axiome (T2) r´esulte lui aussi de l’axiome analogue (PT2).
Dans les conditions de la proposition, on dira simplement que tCest la topologie engendr´ee par
la pr´e-topologie C.
Remarque VIII.1. — On peut voir les C-recouvrements de Xcomme une cat´egorie : un mor-
phisme d’un recouvrement (Ui)i∈Ivers un recouvrement (Vj)j∈Jest la donn´e d’une application
φ:I→Jet pour tout i∈I, le donn´ee d’un diagramme commutatif :
Ui//
@
@
@
@Vφ(i).
||x
x
x
x
x
X
On fera attention toutefois que la cat´egorie C(X) ainsi d´efinie n’est pas filtrante en g´en´eral : en
effet, on ne peut pas n´ecessairement ´egaliser deux fl`eches entre deux recouvrements fix´es de X.(3)
C’est l’avantage des cribles sur les recouvrements. On peut toutefois introduire une relation de pr´e-
ordre sur les recouvrements en consid´erant la relation d’ordre sur les cribles associ´es. L’ensemble
pr´e-ordonn´e correspondant devient alors filtrant.
VIII.3.0.h. — Consid´erons un sch´ema noeth´erien S. Notons que la cat´egorie LSdes S-sch´emas
s´epar´es de type fini est essentiellement petite.
D´efinition VIII.7. — Soit Xun sch´ema dans LS.
On dit qu’une famille (pi:Vi→X)i∈Ide morphismes de LSest un recouvrement Nisnevich si
les conditions suivantes sont v´erifi´ees :
1. Pour tout i∈I,piest ´etale.
2. Pour tout point xde X, il existe un indice i∈Iet un point yde Vitel que x=pi(y) et
l’extension r´esiduelle κ(y)/κ(x) induite par piest triviale.
On v´erifie ais´ement que les recouvrements Nisnevich forment une pr´e-topologie sur LS.
D´efinition VIII.8. — La topologie d´efinie par la pr´e-topologie des recouvrements Nisnevich est
appel´ee la topologie Nisnevich sur LS. On la notera Nis.
Remarque VIII.2. — Si dans la d´efinition des recouvrements pr´ec´edente, on remplace (i) par
la condition que piest une immersion ouverte, on obtient la topologie de Zariski Zar sur LS. Si
on remplace (ii) par la condition que la famille (pi) est ´epimorphisme, on obtient la topologie ´etale
´
Et sur LS. La topologie ´ Et est plus fine que Nis qui est plus fine que Zar.
Remarque VIII.3. — Comme Sest noeth´erien, tout recouvrement Nisnevich admet un recou-
vrement plus fin form´e d’une famille finie. On peut v´erifier de l`a que la topologie de Nisnevich est
encore engendr´ee par la pr´etopologie dont les recouvrements d’un sch´ema Xde LSsont des deux
formes suivantes :
1. (p:W→X) est un recouvrement Nisnevich a un seul ´el´ement.
2. (j:U→X, k :V→X) o`u jet ksont des immersions ouvertes telles que X=UqV.
(3)Ce probl`eme n’apparaˆıt par dans le site XZar car il n’existe qu’un seul morphisme entre deux objets de Ouv(X).