Fiche 8 : Droites et plans dans l`espace

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MATHEMATIQUES Série S
Nº : 32008
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Fiche Exercices
Fiche 8 : Droites et plans dans l’espace
I - Déterminer et construire le barycentre de trois points.
Méthode
Elle consiste à remplacer deux des points par leur barycentre et à tracer la droite qui passe par le barycentre partiel et par
le troisième point. Si les coefcients le permettent, on effectue un second regroupement : le barycentre cherché est le point
d’intersection des deux droites.
Exercice 1
a) Déterminer et construire
( ) ( ) ( )
{ }
G bar A,1 , B, 4 , C, 2 .=−
b) Déterminer et construire
( ) ( ) ( )
{ }
G' bar A,1 , B,1 , C, 1 .=−
II - Montrer que des droites sont concourantes, que trois points sont alignés en utilisant des barycentres
Méthodes
Elles reposent sur le fait que deux points pondérés et leur barycentre sont alignés. L’outil fondamental est l’associativité des
barycentres qui permet soit de regrouper des points pondérés, soit d’en « dégrouper ». En particulier on peut, dans un système de
points pondérés, remplacer le point pondéré
( )
X,x
par les points pondérés
( )
1
X,x
et
( )
2
X,x ,
avec
12
x x x.+=
Exercice 2
On considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, milieu de [AB], J, tel que
1
BJ BC
4,=
K, milieu de [CD] et L tel que
1
A L A D .
4
=
On désigne par G le barycentre du système
( ) ( ) ( ) ( )
{ }
A,3 , B,3 , C,1 , D,1 .
a) Déterminer le barycentre du système
( ) ( )
{ }
A, 3 , D,1
et celui du système
( ) ( )
{ }
B , 3 , C , 1 .
b) En associant les points A, B, C et D de façons différentes montrer que G est le point d’intersection des droites (IK) et (JL).
Exercice 3
Les points O, A, B et C sont tels que
OC 6OB 9OA.=−
On désigne par G1 le barycentre de
( ) ( )
{ }
B , 1 , A , 3−
et par G2 celui de
( ) ( )
{ }
C , 1 , B , 3 .−
Montrer que O, G1 et G2 sont alignés.
III - Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation
paramétrique
Méthode
On est en présence d’un système de deux équations à trois inconnues. Il suft de choisir une des inconnues pour paramètre et
de résoudre le système de deux équations à deux inconnues qu’on obtient ainsi. Les trois inconnues sont dès lors exprimées en
fonction du paramètre.
Exercice 4
Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) dénie par le système d’équations
2x 3y 5z 2 0
3x y 2z 4 0
−++=
−+−=
1
2
(E)
.
(E)

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Fiche Exercices
IV - Passer d’une représentation paramétrique d’une droite à sa caractérisation par un système de deux
équations
Méthode
Fabriquer deux combinaisons linéaires des trois équations de la représentation paramétrique éliminant le paramètre.
Il est possible qu’on ne découvre pas d’emblée des combinaisons linéaires convenables ; dans ce cas on écrit une combinaison
linéaire à coefcients a, b et c inconnus, on l’organise sous la forme
t,α+β
où
α
et
β
dépendent de a, b et c. Il suft alors de choisir
des valeurs de a, b et c telles que
0.α=
Exercice 5
Déterminer un système d’équations caractérisant la droite (D) de représentation paramétrique
x 3 2t
y 2 4t.
z 1 5t
=−
=−+
=+
V - Intersection d’une droite et d’un plan
Méthode
Après s’être assuré qu’ils sont sécants, on caractérise la droite par une représentation paramétrique et le plan par une équation. Le
remplacement de x, y et z dans l’équation du plan par leurs expressions en fonction du paramètre permet de calculer ce dernier.
Exercice 6
Etudier la position relative de la droite (D) et du plan (P) dans les cas suivants :
a)
x3t
y 2 4t
z1t
=−
=−+
=+
et
2x y 2z 1 0+−+=
b)
x3t
y 2 4t
z1t
=−
=−+
=+
et
2x y 2z 2 0+−−=
;
c)
x 3 2t
y 2 4t
z1t
=−
=−+
=+
et
2x y 2z 1 0.+−+=
VI - Déterminer une équation d’un plan déni par un repère
Méthode
On détermine un vecteur normal au plan ( Méthode : « Déterminer les coordonnées d’un vecteur orthogonal à deux vecteurs »,
che exercices n°7 « Produit scalaire dans l’espace ».) pour se ramener au cas d’un plan déni par un point et un vecteur normal.
VII - Montrer que deux droites sont coplanaires ou non
Méthode
On considère les droites (D) et (D’) de repères respectifs
( )
A,u
et
( )
A ' , u ' .
• Lorsque les vecteurs
u
et
u'
sont colinéaires les droites (D) et (D’) sont parallèles (donc coplanaires).
• Lorsque les vecteurs
u
et
u'
sont non colinéaires les droites (D) et (D’) sont coplanaires si et seulement si le point A’ appartient
au plan de repère
( )
A,u,u',
c’est-à-dire si et seulement si le vecteur
A A '
est orthogonal à un vecteur normal au plan.

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Fiche Exercices
Exercice 7
On considère les points
( )
A 1 , 0 , 1
et
( )
A ' 1 , 1 , 0 ,−
les vecteurs
( )
u 1 , 2 , 3−
et
( )
u' 2,1,1 .
Les droites (D) et (D’) de repères respectifs
( )
A,u
et
( )
A ' , u '
sont elles coplanaires ?
VIII - Intersection de deux plans caractérisés par une équation
Méthode
On s’assure que les plans sont sécants (leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires). Le système formé par leurs deux équations
caractérise alors leur droite d’intersection.
 Méthode : « Passer de la caractérisation d’une droite par un système de deux équations à une représentation paramétrique »,
che exercices n°8 « Droites et plans dans l’espace ».
IX - Résoudre un système de trois équations linéaires
Méthode
Chaque équation caractérise un plan. Lorsque deux des trois plans sont sécants, on détermine une représentation paramétrique de
leur droite d’intersection. Ensuite on étudie la position relative de cette droite et du troisième plan.
Lorsque les trois plans sont parallèles leur intersection est vide si deux d’entre eux sont disjoints, sinon les trois plans sont
confondus.
Exercice 8
Résoudre les systèmes suivants dans 3 :
a)
x 2y z 1
2x 4y z 2
3x y 2z 4
+−=
−++=
−+=
b)
xyz1
2x 3y 2z 2
3x 2y z 3
−+=
+−=
+−=
c)
xyz1
2x 3y 2z 2
3x 2y z 2
−+=
+−=
+−=
X - Déterminer la perpendiculaire commune à deux droites non coplanaires
Méthode
On considère un point H d’abscisse t dans le repère
( )
A,u
de la droite (D) et un point H’ d’abscisse t’ dans le repère
( )
A ' , u '
de
la droite (D’). On détermine les réels t et t’ de façon que le vecteur
HH '
soit orthogonal à
u
et à
u',
en résolvant le système
« 2 x 2 » obtenu en écrivant que les produits scalaires
HH ' u⋅
et
HH ' u '⋅
sont nuls.
Exercice 9
On considère les points
( )
A 1 , 0 , 1
et
( )
A ' 1 , 1 ' , 0 ,−
les vecteurs
( )
u 1 , 2 , 3−
et
( )
u' 2,1,1 .
Déterminer la perpendiculaire commune
aux droites (D) et (D’) de repères respectifs
( )
A,u
et
( )
A ' , u ' .