Equations de droite - E

O
1
m
i
j
u
Chapitre : Equations de droite – Système linéaire
I. Equations de droite
Exemple : Dans un repère (O ;
Error!
,
Error!
), on place trois points A(1 ; 2), B(4 ; -2) et C(1 ; -2).
On se propose de déterminer les équations des droites (AB) et (AC).
Soit M(x ; y) un point du plan.
 Si M est un point de la droite (AB), alors
Une équation de la droite (AB) est alors
 Si M est un point de la droite (AC), alors
Une équation de la droite (AC) est
Théorème :
Dans un repère, toute droite d a une équation de la forme :
1. si d est non parallèle à l’axe des ordonnées ;
Lorsqu’une droite d a pour équation
on dit que
2. si d est parallèle à l’axe des ordonnées.
et son équation est
Remarque : généralement toute équation de droite peut se mettre sous la forme :
Où . Cette forme est
II. Parallélisme de droites
a) vecteur directeur d’une droite
Définition : Un vecteur directeur d’une droite d est
b) conséquences
- Si A et B sont deux points quelconques et distincts de d, alors
- Si dans un repère, une droite d a pour équation d
alors le vecteur est un vecteur directeur de d.
- Dans un repère (O ;
Error!
,
Error!
),
si le vecteur , est un vecteur directeur d’une droite d,
alors
Remarque : Dans le cas d’une équation cartésienne d’une droite : ax + by + c = 0, un vecteur directeur est

Exercice : Dans le repère (O ;
Error!
,
Error!
), on donne le point A(2 ; 3) et le vecteur
Error!
Error!
.
Trouver une équation de la droite d passant par A et de vecteur directeur
Error!
.
Solution :
c) droites parallèles et coefficient directeur
Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O ;
Error!
,
Error!
),
la droite d a pour équation y = mx + p et la droite d’, y = m’x + p’.
Dire que
En effet,
Exercice : Soit d la droite d’équation 3x – 5y = 10 et le point A(2 ; 3).
Déterminer l’équation réduite de la droite d’ parallèle à d et passant par A.
Solution :
III. Systèmes linéaires
Nous nous proposons d’étudier graphiquement le système (S) { ax + by = c ;a’x + b’y = c’
a) cas où b  0 et b’  0
L’équation ax + by = c équivaut à : [1]
L’équation a’x + b’y = c’ équivaut à : [2]
Dans un repère, on note d et d’ les droites dont les équations réduites sont respectivement les équations [1] et [2].
Résoudre le système (S) revient à chercher les coordonnées des points communs aux deux droites d et d’.
Trois cas peuvent se présenter :
- d et d’ sont sécantes,
ce qui signifie que d et d’
Dans ce cas,
 d et d’ sont parallèles équivaut à
- si d et d’ sont de plus distinctes, alors
- si d et d’ sont confondues, alors

b) cas b = 0 ou b’ = 0
Alors, l’une des droites d et d’,
Par exemple si
Il est aisé dans ce cas de savoir si d et d’ sont.
Remarque : Avant de commencer la résolution d’un système
Exemple 1 : Résoudre le système { 4x – 3y = 6 [1];x + 5y = 13 [2]
Exemple 2 : Résoudre le système { 4x – 6y = 2 [1] ;6x – 9y = 3 [2]

Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
Activité 1 : Équation linéaire à deux inconnues
Une équation linéaire à deux inconnues est une équation de la forme :
ax + by = c
où a, b, c sont des nombres réels donnés et x et y sont les inconnues.
Une solution de cette équation est un couple (x ; y) qui vérifie l’égalité.
On considère l’équation (E1) : 3x – 2y = 2
1/ Trouver 3 solutions de l’équation (E1).
2/ Combien cette équation admet-elle de solutions ?
3/ On ne peut pas énumérer toutes les solutions, on va donc les représenter graphiquement en associant à chaque couple solution
(x ; y) le point du plan de coordonnées (x ; y).
a) Exprimer y en fonction de x dans l’équation (E1).
b) On appelle D1 l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient l’équation (E1).
Quelle est la nature de D1 ? Tracer D1. Retrouver les solutions précédentes.
Activité 2 : Système de deux équations
Un système linéaire de deux équation à deux inconnues est un système de la forme :
(S) : { ax + by = c;a’x + b’y = c’
où a, a’, b, b’, c et c’ sont des nombres réels donnés et x et y sont les inconnues.
Une solution de ce système est un couple (x ; y) vérifiant simultanément les deux équations.
1/ Résoudre graphiquement le système { 3x – 2y = 2;x + 2y = –4
2/ On revient au cas général. En utilisant l’interprétation graphique faite précédemment, indiquer le nombre de solutions que peut
avoir un tel système.
3/ On cherche à savoir à quelle(s) condition(s) le système admet une solution unique. On suppose dans cette question que b et b’
sont différents de 0 et on appelle D et D’ les droites associées à chacune des équations du système.
a) À quelle condition géométrique le système (S) admet-il une solution unique ?
b) Exprimer, dans chacune des équations, y en fonction de x. Donner le coefficient directeur de chacune des droites D et D’.
c) Donner une relation entre a, b, a’ et b’ pour que le système admette une solution unique.
d) Résumer les résultats obtenus.
Activité 3 : Méthodes algébriques de résolution
1/Résolution par combinaisons linéaires
On considère le système (S1) : { 2x – 3y = 5;5x + 4y = 2
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Pour obtenir x, on cherche à « éliminer » y.
Multiplier la première équation par 4 et la deuxième équation par 3. Ajouter les deux équations puis déterminer x.
c) Pour obtenir y, on cherche à « éliminer » x.
Par combien faut-il multiplier chacune des équations pour éliminer x ?Déterminer y.
2/ Résolution par substitution
On considère le système (S2) : { 3x + y = 1;6x – 5y = –12
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Exprimer y en fonction de x en utilisant la première équation.
c) Remplacer la valeur de y obtenue précédemment dans la deuxième équation.
d) Déterminer y puis x.
3/ Résolution graphique
On considère le système (S3) : { 4x – y = 7;–2x + y = –3
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Exprimer y en fonction de x dans chacune des équations.
c) Tracer sur l’écran de la calculatrice les droites correspondant aux deux équations.
d) Lire les coordonnées du point d’intersection.
e) Vérifier par un calcul
4/Cas particuliers
On considère le système (S4) : { 4x – 6y = 9;6x – 9y = 2
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Multiplier la première équation par 3
et la deuxième équation par 2.
c) Conclure.
On considère le système (S5) :
{ 2x + 6y = 8;3x + 9y = 12
a) Combien le système admet-il de solutions ?
b) Multiplier les deux équations par des nombres bien choisis
afin de rendre les coefficients de x égaux.
c) Conclure.

Fiche cours SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
Définition :
On appelle système linéaire de deux équations à deux inconnues, x et y, tout système qui peut se mettre sous la forme
(2) '''
(1)
(S) ctbxa
cbyax
où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des réels donnés.
Interprétation graphique :
Soit le système (S) dans lequel nous supposons (a ;b) (0 ;0) et (a’ ;b’) (0 ;0). Le plan étant muni d’un repère orthonormal
),,( jiO 
,
les équations (1) et (2) sont des équations cartésiennes de deux droites (D1) et(D2).
Un couple (x ;y) de nombres est solution de (S) si, et seulement si, le point M(x ;y) appartient à (D1) et à (D2).
Résoudre (S) revient donc à étudier la position relative des droites (D1) et (D2).
Mise en équation de problèmes conduisant à un système d’équations.
(D1) et (D2) sont strictement parallèles
(D1) et (D2) sont confondues
(D1) et (D2) sont sécantes
Det(S) =
Det(S) =
(S)
(S)
(S)
Propriété :
Le système (S) tel que Det(S) = ab’-a’b est non nul admet une, et une seule, solution.
Méthodes numériques de résolution :
1° Résolution par la méthode de substitution :
La méthode consiste à exprimer x (resp. y) en fonction de y (resp. x) dans une des deux équations puis à reporter cette expression
dans l’équation restante.
Exemple :
143
532
yx
yx
2° Résolution par la méthode de combinaison linéaire (d’addition ):
La méthode consiste à ajouter membre à membre les deux équations lorsque celles-ci ont des coefficients opposés pour l’une des
deux inconnues, celle-ci se trouvant alors éliminée et l’on peut donc trouver la valeur de l’inconnue restante.
Exemple :
2938
1735
yx
yx
Résolution par la méthode graphique :
On trace les droites (D1) et (D2) d’équations cartésiennes respectives ax+by=c et a’x+b’y=c’, le couple solution est alors donné par
la lecture des coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.
Exemple :
32
13
yx
yx
Résolution d’un système se ramenant à un système linéaire, changement de variable.
Soit à résoudre
5
94
0
32
)(
yx
yx
S
, on utilise alors le changement de variable :
y
Y
x
X
1
1
, le système (S) s’écrit alors
594
032
YX
YX
, après l’avoir résolu, il ne faut pas oublier que ce que l’on cherche c’est x et y, que l’on obtient en utilisant
Y
y
X
x1 et
1
.
Application :
Résoudre les systèmes : a)
753
84
yx
yx
b)
254
632
22
22
yx
yx