Introduction à la théorie des jeux

Introduction à la théorie des
jeux
T. Pénard
Faculté de Sciences Économiques
Université de Rennes 1
2007-2008
A l’origine de la théorie des jeux
• Les fondateurs
– Morgenstern et Von Neumann (1944) Theory of
Games and Economic Behavior, Princeton.
– Nash quatre articles fondamentaux durant sa thèse
• " Equilibrium points in N-Person Games", 1950.
• "The Bargaining Problem", 1950, Econometrica.
• "Non-Cooperative Games", 1951, Annals of
Mathematics.
• "Two-Person Cooperative Games", 1953,
Econometrica
– Kuhn et Tucker (1950, 1953),
• Mais plusieurs français précurseurs, dont
Cournot, puis Borel et Ville.
Une théorie récompensée par
plusieurs prix Nobel d’économie
• 1994
– Nash
– Selten (1965) : équilibre de sous-jeux parfaits
– Harsanyi (1967-68) : jeu à information incomplète
• 2005
– Schelling (1960) Strategy of Conflict
• Jeu de coordination et point focal
– Aumann (1981): théorie des jeux répétés
• De futurs nobélisables ?
– Fudenberg et Tirole (1991)
– Kreps (1982),
Qu’est ce qu’un jeu ?
• Un jeu stratégique se caractérise par un
ensemble de règles de jeu spécifiant :
–
–
–
–
les joueurs
les espaces de stratégies (actions ou décisions)
la séquence des décisions
les gains ou l’utilité des joueurs (fonction des
décisions des joueurs)
– l’information à la disposition des joueurs (complète/
parfaite)
Typologie des jeux
• Jeux coopératifs / non coopératifs
– Binding agreement ? Cheap talk ?
• Jeux avec décisions simultanées /
séquentielles
• Jeux statiques/répétés (en horizon fini
ou infini)
• Jeux à information parfaite/imparfaite
• Jeux à information complète/incomplète
Définitions
• Une stratégie en théorie des jeux : un plan
d'action complet spécifiant ce que le joueur fera
à chaque étape de décision et face à chacune
des situations pouvant survenir au cours du jeu.
• Hypothèse forte sur la rationalité des joueurs
– Rationalité parfaite=capacité de compréhension du
jeu, de calcul et de raisonnement par induction à
rebours (backward induction)
– Connaissance commune du jeu= je comprends le jeu,
et je sais que les autres comprennent aussi le jeu et
je sais qu'ils savent que je comprends le jeu et je sais
qu'ils savent que je sais qu'ils comprennent aussi le
jeu, etc …
• Voir la fable des maris trompés
Comment représenter un jeu ?
• Sous forme d'arbre ou extensive
– Adapté pour des jeux avec décisions
séquentielles
• Sous forme matricielle ou normale
– Adapté pour des jeux (statiques) avec
décisions simultanées
• Exemple d'un jeu à deux joueurs 1 et 2
ayant chacun deux décisions possibles
(A1, B1) et (A2; B2).
Notion d’équilibre de Nash
• Un équilibre de Nash est un état dans lequel
aucun joueur ne souhaite modifier sa
stratégie étant donné les stratégies adoptées
par les autres joueurs.
– Chaque stratégie est une meilleure réponse aux
stratégies des autres joueurs.
• Une situation attendue ou probable lorsque
les joueurs interagissent de manière
stratégique
Stratégies dominantes
• Une stratégie dominante pour un joueur est
une stratégie qui lui donne toujours un gain
supérieur ou égal au gain qu’il peut attendre
de toutes ses autres stratégies (quelles que
soient les stratégies des autres joueurs)
– Une stratégie dominante domine toutes les autres
stratégies
– si chacun des joueurs possède une stratégie
dominante, alors il existe au moins un équilibre de
Nash consistant pour les joueurs à choisir leur
stratégie dominante
• un équilibre en stratégies dominantes est un équilibre de
Nash (réciproque non vérifiée)
Stratégies dominées
• Une stratégie dominée pour un joueur est
une stratégie qui lui donne toujours un gain
inférieur à celui d’au moins une des autres
stratégies à sa disposition (quelles que
soient les stratégies des autres joueurs).
– Une stratégie peut n'être dominée que par une seule
stratégie
• Une stratégie dominée n’est jamais jouée
– Recherche des équilibres de Nash par élimination
des stratégies dominées
Application expérimentale de
Schotter, Weigelt, Wilson (1993)
• Expérience sur des étudiants
• Jeu sous forme normale
– rôle du joueur 1 =57% de choix a
– rôle du joueur 2 =20% de choix B (stratégie
dominée)
• Jeu sous forme extensive
– rôle du joueur 1 =9% de choix a
• Interprétation : la manière de présenter un
jeu est importante => Framing
Les jeux statiques classiques
• Dilemme du prisonnier :
– E Nash sous-optimal (A1,A2) avec a1<d1 et
a2<d2,
– A1 et A2 stratégie dominante : a1>b1 et c1>d1
et a2>c2 et b2>d2
• Jeu de coordination :
– Deux équilibres de Nash (A1,A2) et (B1,B2)
avec un qui domine l’autre a1<d1, a2<d2, d2>b2
et a2 >c2, a1>b1 et d1>c1
Les jeux statiques classiques
• Bataille des sexes :
– deux équilibres de Nash (B1,A2) et (A1,B2),
chacun étant plus favorable à l’un des joueurs
– b1>c1 et b2<c2
– b2 >d2 et a1<b1 ; c1>d1 et c2>a2
• Jeu du chicken game
– Équivalent à la guerre des sexes, sauf que la
situation optimale est (A1,A2)
– (a1+a2) supérieur à (b1+b2), (c1+c2) et (d1+d2)
Engagement et crédibilité
• Commitment : un engagement sur une décision
ou une action future en réponse aux décisions
des autres joueurs
• Deux types de commitment :
– Menaces : punir ceux qui ne joueraient pas l’action
attendue
– Promesses : récompenser ceux qui joueraient l’action
attendue
• Engagement crédible (aux yeux des autres
joueurs) uniquement si son auteur a bien intérêt
à le faire le moment venu
– Si non crédible, sans aucune valeur pour les autres
Engagement et crédibilité
• Un équilibre de sous-jeu parfait est un équilibre
reposant sur des stratégies de menace et/ou de
promesse crédibles
– Une stratégie comme un ensemble de règles de
décision conditionnelles aux décisions (passées) des
autres joueurs
• Commitment comme moyen de modifier à son
avantage l’issue d’un jeu stratégique
• Comment crédibiliser un commitment ?
– « Burn bridges behind you » ou « cutting-off
communication »
• Cortès et la conquête du Mexique en 1519
– Réputation
– Mise en place d’institutions publiques ou privées
comme les contrats, les intermédiaires, …
•
Enjeux autour du futur standard
DVD
DVD : quel standard pour la future génération haute définition
– Plus de capacité de stockage
– Plus de sécurité contre le piratage
• Opposition entre Sony et Toshiba
– Format HD-DVD soutenu par Toshiba, Nec, Sanyo, TDK, …
– Format Blu-Ray soutenu par Sony et les principaux acteurs de
l’électronique grand public (Matsushita, Samsung, Panasonic, Philips,
Sharp, Hitachi, …) et des acteurs de l’informatique (Acer, HP, Dell) …
– LG et Thomson ont adhéré aux deux
• Une opposition par le biais d’annonces
– « Un standard unique est meilleur pour le consommateur, mais
naturellement nous allons continuer à promouvoir le Blu-ray »
– Le format HD-DVD « a été reconnu comme le seul format DVD de
nouvelle génération par le DVD forum ».
Enjeux autour du futur standard
DVD
– Annonce de soutien et de ralliement des éditeurs de
contenu
• Conversion du catalogue de Sony au format Blu-ray
• Walt Disney, Fox, Universal, rallié à Blu-ray
• Time Warner à HD-DVD
– Ou des fournisseurs de composants
• Soutien de HP, Microsoft et Intel au format HD-DVD
– Une majorité des PC vendus équipés d’un lecteur HD-DVD
• Analyse en termes de théorie des jeux
– Une guerre des sexes avec deux groupes d’acteur
ayant comme stratégie :
• Rallier le standard concurrent
• Maintenir son standard
– Risque d’échec de coordination
Enjeux autour du futur standard
DVD
• Comment imposer son standard ?
– Par une stratégie de commitment
• À travers les Annonces des acteurs, mais pas toujours crédible
– Facile de changer de coalition
« Sony n’est plus l’unique alternative sur le marché. Nous
devons être continuellement compétitifs et agressifs. Nous
devons être comme les Russes défendant Moscou face à
Napoléon. Nous devons nous battre comme les guerriers de
Sony que nous sommes » M. Stringer, PDG Sony
– des annonces qui peuvent modifier les anticipations des futurs
clients => Blu-Ray représente désormais « une part de plus de
90% à la fois en termes de matériels et de films » D. Walstra,
président de la Blu-Ray Disc Association
• A travers des investissements irrécupérables
– Commercialisation des premiers lecteurs Blu-Ray au Japon
Equilibre en stratégie mixte
• Une stratégie mixte pour un joueur est une
distribution de probabilité sur l’ensemble de ses
stratégies pures
– Si m stratégies pures possibles, stratégie
mixte (p1,
m
p2, …,ps,…, pm-1, pm ) tel que ∑s =1 ps = 1 où ps est la
probabilité de jouer la sième stratégie
– Dans un équilibre en stratégies mixtes, chacun
des joueurs est indifférent entre jouer sa stratégie
mixte ou jouer l’une de ses stratégies pures support
de sa stratégie mixte
• Même gain attendu
Equilibre en stratégie mixte dans
un jeu de standardisation
Standard 1 Standard 2
Standard 1
(2,1)
(0,0)
Standard 2
(0,0)
(1,2)
•Deux équilibres en stratégies pures : (S1,S1) et (S2,S2)
•Un équilibre en stratégie mixte : (2/3,1/3) pour 1 et
(1/3,2/3) pour 2
•Gain espéré en stratégie mixte=2/3
Équilibre corrélé
• Notion d’équilibre plus faible que l’équilibre de
nash
– Rôle d’un médiateur en présence d’équilibres
multiples ou d’équilibres en stratégie mixte
– Aumann
• Equilibre corrélé dans le jeu de standardisation
– Pile ou face sur S1 et S2
• Gain espéré=3/2