Modélisation du trafic routier sous forme d`un jeu de

Modélisation du trac routier sous forme d'un jeu
de congestion et calcul de son équilibre
Lahna IDRES1 and Mohammed Said RADJEF 1
1
Laboratoire LAMOS, Département de Recherche Opérationnelle,
Faculté des Sciences Exactes, Université de Béjaia
{ilahna,radjefms}@yahoo.fr
Résumé :
Cette dernière décennie a été marquée par une augmentation signicative du
nombre de véhicules personnels, induisant une congestion de la circulation dans
la plupart des villes et causant un impact négatif sur la santé publique (pollution, stresses, accidents . . .etc.) ainsi que des pertes économiques. En eet, un
réseau congestionné entraîne un temps improductif, source d'un ralentissement
des activités sociales et commerciales.
L'application des outils mathématiques pour remédier au problème de la
congestion routière s'avère d'une aide précieuse. On y trouve essentiellement
l'utilisation de la programmation mathématique, de l'optimisation combinatoire
et plus récemment la théorie des jeux.
Le fait de prendre en compte la rationalité des agents fait de la théorie des
jeux une approche adaptée à la modélisation de diérents problèmes liés au trac
routier.
Selon le problème étudié et la modélisation proposée, les travaux eectués
sont classés en quatre catégories[3] : les jeux contre un démon, les jeux entre
conducteurs, les jeux entre autorités et enn les jeux entre autorité et conducteurs.
Notre travail s'inscrit dans la deuxième catégorie, c'est-à-dire celle des jeux
entres conducteurs, où l'interaction entre les véhicules est prise en compte. On
y trouve essentiellement le modèle de Rosenthal(1973) [5], qui est déni comme
un jeu sous forme normale classique, auquel on ajoute un ensemble de ressources
d'où les joueurs puisent leurs stratégies, i.e. chaque stratégie est un sous ensemble
de l'ensemble de ressources. En se basant sur ce modèle, nous dénirons le jeu
de congestion de la manière suivante : l'ensemble des joueurs sera constitué de
l'ensemble des usagers de la route (conducteurs), leurs stratégies seront les différents itinéraires reliant leur point de départ à leur destination, l'ensemble des
ressources sera composé des routes constituant les diérents itinéraires, l'utilité
de chaque joueur sera fonction du nombre d'usagers utilisant la même route.
Nous chercherons alors une distribution des usagers sur les diérents itinéraires
de telle sorte qu'aucun d'entre eux n'ait intérêt à changer, d'une manière unilatérale, son itinéraire, ce qui revient à trouver l'équilibre de Nash.
Le premier résultat sur les conditions d'existence d'équilibre de Nash dans
les jeux de congestion fût énoncé par Rosenthal. Il stipule que pour les jeux
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L. Idres, and M.S. Radjef.
de congestion où les joueurs ont tous les mêmes fonctions d'utilité et le même
impacte sur le trac routier, le jeu admet au moins un équilibre de Nash en stratégies pures. D'autres conditions ont été élaborées en se basant sur la topologie
du réseau routier [4] ou encore sur la structure de l'ensemble des stratégies des
joueurs [1]. Nous nous focaliserons sur les résultats de Rosenthal pour garantir
l'existence d'un équilibre de Nash du jeu de congestion considéré.
Le premier algorithme polynomial permettant de trouver l'équilibre de Nash
dans un jeu de congestion a été élaboré en 2009 par Fotakis et al. [2]. Les auteurs
prouvent son ecacité uniquement pour les réseaux parallèles (des réseaux où
les itinéraires sont complètement disjoints). En utilisant le même principe que
l'algorithme de Fotakis et al., nous avons construit un algorithme que nous appliquons à des réseaux quelconques. Nous montrons qu'il existe deux cas pour
lesquels l'algorithme peut ne pas donner de solution d'équilibre. Une procédure
de vérication a été alors ajoutée à l'algorithme et a été testé à sept réseaux de la
ville de Béjaia, ainsi qu'à un Benchmark. Cette procédure vise à vérier à chaque
itération de l'algorithme, si l'un des deux cas se présente, alors l'algorithme sera
interrompu, dans le cas échéant on aboutit à une solution qui est un équilibre de
Nash. Aucun de ces deux cas n'a été rencontré dans les huit réseaux testés. An
d'obtenir un équilibre de Nash dans tous les cas de gure, nous avons remplacé
la procédure de vérication par une procédure de rectication, qui interviendra
à la n de l'algorithme, et aura comme rôle de vérier si la distribution obtenue
est un équilibre de Nash. Dans le cas contraire, les itinéraires seront classés dans
un ordre décroissant de leurs temps de parcours, puis en partant de l'itinéraire
dont le temps est le plus grand, on vérie si les usages aectés à ce dernier ont
intérêt de prendre l'un des itinéraires dont le temps de parcours est inférieur.
Dans ce cas, les usagers seront réaectés, on obtient alors un nouveau classement
des itinéraires et on répète la procédure jusqu'à ce que la distribution soit un
équilibre de Nash.
Références
1. Ackermann, H., Roling, H., Vocking, B. : Pure Nash equilibria in player-specic
and weighted congestion games. Theoretical Computer Science, Volume 410, Issue
17,pp. 1552-1563 (2009)
2. Fotakis, D., Kontogiannis, S., Koutsoupias, E., Mavronicolas, M., Spirakis, P. : The
structure and complexity of Nash equilibria for a selsh routing game. Theoretical
computer science, pp. 3305-3326 (2009)
3. Hollander, Y., Prashker, J.N. : The applicability of non-cooperative game theory in
transport analysis. Transportation, 33 :481–496 (2006)
4. Milchtaich, I. : Network topology and the eciency of equilibrium. Games and
Economic Behaviour, 57 (2006)
5. Rosenthal, R.W. : A class of game possessing pure-strategy Nash equilibria. Int. J.
Game Theor. 2, 65-67(1973)
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