3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance

3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Fabrice LECLERCQ
26 novembre 2009
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Définition
On considère une expérience aléatoire et l’ensemble des issues Ω muni
d’une loi de probabilité P. A et B sont deux événements de Ω, A étant
de probabilité non nulle. La probabilité de B sachant que A est réalisé est
notée PA (B) et est définie par le quotient :
PA (B) =
P(A ∩ B)
P(A)
Théorème
P(A ∩ B) = P(A) × PA (B)
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Définition
Dire que trois événements forment une partition de Ω signifie que, les
événements pris deux à deux sont toujours disjoints et la réunion des trois
est l’ensemble Ω.
Ω
A3
A1
A2
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Théorème
Si les événements A1 , A2 , A3 , ... An forment une partition de Ω alors la
probabilité de l’événement B de l’ensemble Ω est :
P(B) = P(B ∩ A1 ) + P(B ∩ A2 ) + · · · + P(B ∩ An )
= PA1 (B) × P(A1 ) + PA2 (B) × P(A2 ) + · · · + PAn (B) × P(An )
Ω
A3
A1
B
A2
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Méthode 30
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois
fournisseurs A1 , A2 et A3 .
25% des pièces proviennent du fournisseur A1 , 40% des pièces
proviennent du fournisseur A2 et le reste provient du fournisseur A3 .
5% des pièces provenant du fournisseur A1 , 10% de celles provenant du
fournisseur A2 et 0, 1% de celles provenant du fournisseur A3 ont un
défaut.
On prend au hasard une des pièces.
1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois
fournisseurs A1 , A2 et A3 .
25% des pièces proviennent du fournisseur A1 , 40% des pièces
proviennent du fournisseur A2 et le reste provient du fournisseur A3 .
5% des pièces provenant du fournisseur A1 , 10% de celles provenant du
fournisseur A2 et 0, 1% de celles provenant du fournisseur A3 ont un
défaut.
On prend au hasard une des pièces.
1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
Fabrice LECLERCQ
b
D
b
D
b
D
b
D
b
D
b
D
A1
b
b
A2
b
A3
b
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois
fournisseurs A1 , A2 et A3 .
25% des pièces proviennent du fournisseur A1 , 40% des pièces
proviennent du fournisseur A2 et le reste provient du fournisseur A3 .
5% des pièces provenant du fournisseur A1 , 10% de celles provenant du
fournisseur A2 et 0, 1% de celles provenant du fournisseur A3 ont un
défaut.
On prend au hasard une des pièces.
1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
Fabrice LECLERCQ
b
D
b
D
A1
b
25
0,
0, 4
b
A2
D
b
b
0,
35
D
b
D
b
D
A3
b
b
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Pour fabriquer un objet, un artisan achète des pièces auprès de trois
fournisseurs A1 , A2 et A3 .
25% des pièces proviennent du fournisseur A1 , 40% des pièces
proviennent du fournisseur A2 et le reste provient du fournisseur A3 .
5% des pièces provenant du fournisseur A1 , 10% de celles provenant du
fournisseur A2 et 0, 1% de celles provenant du fournisseur A3 ont un
défaut.
On prend au hasard une des pièces.
1. Construire un arbre de probabilité traduisant la situation.
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
Fabrice LECLERCQ
A1
0, 05
b
D
0, 95
b
D
b
25
0,
0, 4
b
A2
0, 1
D
b
b
0,
35
A3
0, 9
b
D
0, 001
b
D
0, 999
b
D
b
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
A1
0, 05
b
D
0, 95
b
D
b
25
0,
0, 4
b
A2
0, 1
D
b
b
0,
35
A3
0, 9
b
D
0, 001
b
D
0, 999
b
b
D
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par
l’artisan présente un défaut ».
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
A1
0, 05
b
D
0, 95
b
D
0, 1
b
D
0, 9
b
D
0, 001
b
D
0, 999
b
b
25
0,
0, 4
A2
b
b
0,
35
A3
b
D
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par
l’artisan présente un défaut ».
Comme A1 , A2 et A3 forment une partition,
P(B) = P(A1 ∩ D) + P(A2 ∩ D) + P(A3 ∩ D)
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
A1
0, 05
b
D
0, 95
b
D
0, 1
b
D
0, 9
b
D
0, 001
b
D
0, 999
b
b
25
0,
0, 4
A2
b
b
0,
35
A3
b
D
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par
l’artisan présente un défaut ».
Comme A1 , A2 et A3 forment une partition,
P(B) = P(A1 ∩ D) + P(A2 ∩ D) + P(A3 ∩ D)
= PA1 (D) × P(A1 ) + PA2 (D) × P(A2 ) + PA3 (D) × P(A3 )
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 30
Notons :
A1 : « la pièce provient du fournisseur A1 »,
A2 : « la pièce provient du fournisseur A2 »,
A3 : « la pièce provient du fournisseur A3 »,
D : « la pièce a un défaut »,
A1
0, 05
b
D
0, 95
b
D
0, 1
b
D
0, 9
b
D
0, 001
b
D
0, 999
b
b
25
0,
0, 4
A2
b
b
0,
35
A3
b
D
2. Calculer la probabilité de l’événement B : « la pièce achetée par
l’artisan présente un défaut ».
Comme A1 , A2 et A3 forment une partition,
P(B) = P(A1 ∩ D) + P(A2 ∩ D) + P(A3 ∩ D)
= PA1 (D) × P(A1 ) + PA2 (D) × P(A2 ) + PA3 (D) × P(A3 )
= 0, 05 × 0, 25 + 0, 1 × 0, 4 + 0, 001 × 0, 35
= 0, 05285
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Définition
Les événements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un
ne dépend pas de la réalisation de l’autre.
Autrement dit : PA (B) = P(B) ou PB (A) = P(A).
Autre définition
Dire que les événements A et B sont indépendants signifie que la
probabilité de l’événement « A et B » est égale au produit de leurs
probabilités : P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Méthode 31
Ce tableau de contingence permet d’étudier la fréquence de
consommation d’alcool selon le sexe d’une population de lycéens français.
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Garçon
Fille
50
22
14
5
56
33
8
2
Soient les événements suivants :
G : « Le lycéen interrogé est un garçon »
F : « Le lycéen interrogé est une fille »
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
Soient les événements suivants :
G : « Le lycéen interrogé est un garçon »
F : « Le lycéen interrogé est une fille »
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
Soient les événements suivants :
G : « Le lycéen interrogé est un garçon »
F : « Le lycéen interrogé est une fille »
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
P(G ) =
91
190
' 0, 48
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
Soient les événements suivants :
G : « Le lycéen interrogé est un garçon »
F : « Le lycéen interrogé est une fille »
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
P(G ) =
91
190
' 0, 48
P(F ) =
99
190
Fabrice LECLERCQ
' 0, 52
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
Soient les événements suivants :
G : « Le lycéen interrogé est un garçon »
F : « Le lycéen interrogé est une fille »
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
P(G ) =
91
190
' 0, 48
P(F ) =
99
190
' 0, 52
P(B) =
55
190
' 0, 29
2. Calculer PG (B) et PF (B).
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
B : « Le lycéen interrogé est un buveur occasionnel (moins d’une fois par
semaine) »
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
P(G ) =
91
190
' 0, 48
P(F ) =
99
190
' 0, 52
P(B) =
55
190
' 0, 29
2. Calculer PG (B) et PF (B).
PG (B) =
22
91
' 0, 24
PF (B) =
33
99
' 0, 33
3. « consommer de l’alcool » est-il un phénomène indépendant du sexe
du lycéen ?
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
1. Calculer P(G ), P(F ), et P(B).
P(G ) =
91
190
' 0, 48
P(F ) =
99
190
' 0, 52
P(B) =
55
190
' 0, 29
2. Calculer PG (B) et PF (B).
PG (B) =
22
91
' 0, 24
PF (B) =
33
99
' 0, 33
3. « consommer de l’alcool » est-il un phénomène indépendant du sexe
du lycéen ?
Non car PG (B) 6= P(B) et PF (B) 6= P(B)
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Méthode 31
Ce tableau de contingence permet d’étudier la fréquence de
consommation d’alcool selon le sexe d’une population de lycéens français.
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
4. Quelle aurait dû être la répartition des élèves pour avoir deux
variables indépendantes ?
```
```
Sexe
`
Garçon
Fille
Consommation `````
moins d’1 fois par semaine
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
4. Quelle aurait dû être la répartition des élèves pour avoir deux
variables indépendantes ?
```
```
Sexe
`
Garçon
Fille
Probabilité
Consommation `````
moins d’1 fois par semaine
0,29
Probabilité
0,48
0,52
1
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
4. Quelle aurait dû être la répartition des élèves pour avoir deux
variables indépendantes ?
```
```
Sexe
`
Garçon
Fille
Probabilité
Consommation `````
moins d’1 fois par semaine 0, 48 × 0, 29 0, 52 × 0, 29
0,29
Probabilité
0,48
0,52
1
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance
Méthode 31
```
```
Sexe
`
Consommation `````
Nulle
moins d’une fois par semaine
une fois par semaine
plus d’une fois par semaine
Total
3.3.1. Probabilité conditionnelle
3.3.2. Indépendance
Garçon
Fille
Total
50
22
14
5
91
56
33
8
2
99
106
55
22
7
190
4. Quelle aurait dû être la répartition des élèves pour avoir deux
variables indépendantes ?
```
```
Sexe
`
Garçon
Fille
Probabilité
Consommation `````
moins d’1 fois par semaine 0, 48 × 0, 29 0, 52 × 0, 29
0,29
Probabilité
0,48
0,52
1
Pour obtenir deux variables indépendantes, il faut
0, 48 × 0, 29 × 190 = 26 garçons buveurs occasionnels et
0, 52 × 0, 29 × 190 = 29 filles buveuses occasionnelles.
Fabrice LECLERCQ
3.3. Probabilité conditionnelle et indépendance