I . Probabilité conditionnelle 1. Définition : Soit Ω un univers muni d

I . Probabilité conditionnelle
1. Définition : Soit Ω un univers muni d’une probabilité P et A un événement de probabilité non nulle.
Pour tout événement B on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A réalisé, le réel :
Dans la pratique, la connaissance de
permet de calculer
,
et de manière symétrique si A et B sont de probabilité non nulle on a :
P( A  B) = PA (B)  P(A) = PB (A)  P(B) .
La probabilité conditionnelle apparaît donc comme un moyen de calculer la probabilité d’une intersection.
Exemple : une expérience aléatoire consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée.
Si le résultat est face (noté f ) on lance un dé tétraédrique. Si le résultat est pile (noté ) on lance un dé cubique
On note 4 l’événement « obtenir le 4 après le lancer du dé »
On obtient donc
et
alors que
Remarques :
et donc
mais
enfin
Propriétés :
L’application qui à tout événement B associe le réel
En particulier on a :
1.
Ω
, définit une nouvelle probabilité sur l’univers Ω.
2.
3. si A et B sont incompatibles
Preuve : Soit Ω = {x1 ; x2 ;…… ; xn} et quitte à renuméroter, considérons que les k premières éventualités sont les
éléments de A et écrivons les lois pour P puis pour P A : comme P({xi
Event.
x1
x2
…
…..
Conclusion :
xk
xk+1
…
xn
0
0
0
Total
définit bien aussi une loi de probabilité sur l’univers Ω (nombres tous positifs de somme totale 1).