Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité
Limites et opérations
lim f
l
l
l
lim g
m
lim f+g
l+m
Fi
lim f
l
l>0
l<0
0
l>0
l<0
0
lim g
m
lim f*g
l*m
Fi
Fi
lim f
l
l
0
0
l
lim g
m
0
0
0
l>0
l<0
0
l>0
l<0
0
lim
g
f
m
l
Fi
0
l
0
Fi
Fi
Fi
Fi
Limites et comparaisons
Théorèmes admis :
 Si
)(lim xg x
et pour
tout réel
Ax
,
)()( xgxf 
alors
)(lim xf x
 Si pour tout réel
x
« assez
voisin » de a,
)()()( xhxfxg 
et
si
lxg
ax  )(lim
et
lxh
ax  )(lim
, alors
lxf
ax  )(lim
 Si pour tout réel
x
M,
)()()( xhxfxg 
et si
lxg
x )(lim
et
lxh
x  )(lim
, alors
lxf
x )(lim
Limites et composition
Si
lxg
ax  )(lim
et
mxh
lx  )(lim
,
alors
mxgh
ax  )(lim 
Fonctions polynômes, fonctions
rationnelles
Il n’existe pas de méthode
unique pour trouver la limite

d’un polynôme ou d’un quotient
de polynômes. Cependant, voici
les astuces les plus utiles :
)()(lim aPxP
ax 
 Mettre le terme de plus
haut degré en facteur.
 Si la limite est une
racine du dénominateur, étudier
le signe du dénominateur de
part et d’autre de cette racine
pour déterminer pour savoir si
celui-ci tend vers
0
ou
0
.
 Si x tend vers une racine
commune au numérateur et au
dénominateur, factoriser par
cette valeur puis résoudre
comme pour le premier point.
Asymptotes
 Si
lxf
x )(lim
et / ou
lxf
x )(lim
, alors la droite
d’équation
ly
est asymptote
horizontale à
f
C
.
 Si
)(lim xf
ax
x ax
et / ou
)(lim xf
ax
x ax
, alors la droite
d’équation
ax
est asymptote
verticale à
f
C
.
 Si
0)()(lim 
baxxf x
et
/ ou
0)()(lim 
baxxf x
, alors la
droite d’équation
baxy
est
asymptote oblique à
f
C
.
 Soit
f
définie par
)()( xhbaxxf 
. Si
0)(lim 
xh x
et / ou
0)(lim 
 xh x
, alors la
droite d’équation
baxy
est
asymptote oblique à
f
C
.
Continuité
Soit
f
une fonction définie sur
un intervalle I et a un réel de I.
On dit que
f
est continue en a
si
)()(lim afxf
ax 
.
Toutes les fonctions polynômes,
rationnelles, trigonométriques
sont continues sur tout intervalle
I où elles sont définies.
On dit que
f
est continue sur
un intervalle I si
f
est continue
en tout réel de I.
Théorème admis des valeurs
intermédiaires
Soit
f
une fonction définie et
continue sur un intervalle I et a,
b deux réels de I. Pour tout réel
k compris entre
)(af
et
)(bf
, il
existe un réel c compris entre a
et b tel que
kcf )(
.

Théorème de la bijection
Soit
f
une fonction définie,
continue et strictement
monotone sur [a;b]. Pour tout
réel k compris entre
)(af
et
)(bf
, il existe un unique réel c
compris entre a et b tel que
kcf )(
.
Approximation affine
L’équation réduite de la
tangente à
f
C
au point
d’abscisse a est
fy
’
)())((afaxa 
.
Si x est « voisin » de a, on a :
fafxf  )()(
’
))((axa 
hax 
pour h proche
de 0 :
fhafhaf *)()( 
’
)(a
Dérivée d’une fonction
composée
Soit u et v deux fonctions
dérivables sur R,
uvf 
est
dérivable sur R et
f
’
)('*))((')()( xuxuvxuvx  
)(xf
f
’
)(x
n
xu ))((
)('))(( 1xuxun n
)(xu
)(2 )(' xuxu
)(
1
xu
))²(( )('xu xu
))(sin( xu
))(cos()(' xuxu 
))(cos( xu
)))(sin(()(' xuxu 
)(xu
e
)(
)(' xu exu 
Branches asymptotiques
Soit
))(;( xfxM
, le coefficient
directeur de la droite (OM) est
x
xf )(
.
 Si
x
xf
x
)(
lim
,
branche asymptotique de
direction (Oy).
 Si
0
)(
lim 
x
xf
x
, branche
asymptotique de direction (Ox).
 Si
a
x
xf
x
)(
lim
, où
*Ra
et
baxxf
x )(lim
, alors
D :
baxy
est asymptote
oblique à
f
C
.