Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité
Limites et opérations
lim f
l
l
l
lim g
m  
lim f+g l+m  
lim f
l
lim g
m
lim f*g l*m
lim f
lim g
f
lim
g
l

0



 
 
 



l>0




Fi
l<0


0

Fi
l>0


l<0


0

Fi



l
l  0 0      
l
m0
0
0 l>0 l<0 0 l>0 l<0 0 
l
 Fi       0
m
   
   
Fi Fi Fi Fi
Limites et comparaisons
Théorèmes admis :
g(x) et pour
 Si xlim

tout réel x A , f(x) g(x) alors
lim f(x)
x
 Si pour tout réel x « assez
voisin » de a, g(x) f(x)h(x) et
g(x)l et lim
h(x)l , alors
si lim
xa
xa
lim
f(x)l
xa
 Si pour tout réel x  M,
g(x)l
g(x) f(x)h(x) et si xlim

h(x)l , alors xlim
f(x)l
et xlim


Limites et composition
g(x)l et lim
h(x)m ,
Si lim
xa
xl
hg(x)m
alors lim
xa
Fonctions polynômes, fonctions
rationnelles
Il n’existe pas de méthode
unique pour trouver la limite
d’un polynôme ou d’un quotient
de polynômes. Cependant, voici
les astuces les plus utiles :
 lim P(x)P(a)
xa
 Mettre le terme de plus
haut degré en facteur.
 Si la limite est une
racine du dénominateur, étudier
le signe du dénominateur de
part et d’autre de cette racine
pour déterminer pour savoir si
celui-ci tend vers 0 ou 0 .
 Si x tend vers une racine
commune au numérateur et au
dénominateur, factoriser par
cette valeur puis résoudre
comme pour le premier point.
Asymptotes

f(x)l et / ou
Si xlim

lim f(x)l , alors la droite
x
d’équation yl est asymptote
horizontale à C f .
f(x) et / ou
 Si lim
xa
droite d’équation yaxb est
asymptote oblique à C f .
 Soit f définie par
h(x)0
f(x)axbh(x) . Si xlim

h(x)0 , alors la
et / ou xlim

droite d’équation yaxb est
asymptote oblique à C f .
Continuité
Soit f une fonction définie sur
un intervalle I et a un réel de I.
On dit que f est continue en a
f(x) f(a) .
si lim
xa
Toutes les fonctions polynômes,
rationnelles, trigonométriques
sont continues sur tout intervalle
I où elles sont définies.
On dit que f est continue sur
un intervalle I si f est continue
en tout réel de I.
Théorème admis des valeurs
intermédiaires
x a
lim
f(x) , alors la droite
xa
x a
d’équation xa est asymptote
verticale à C f .
f(x)(axb)0 et
 Si xlim

f(x)(axb)0 , alors la
/ ou xlim

Soit f une fonction définie et
continue sur un intervalle I et a,
b deux réels de I. Pour tout réel
k compris entre f(a) et f(b) , il
existe un réel c compris entre a
et b tel que f(c)k .
Théorème de la bijection
Soit f une fonction définie,
continue et strictement
monotone sur [a;b]. Pour tout
réel k compris entre f(a) et
f(b) , il existe un unique réel c
compris entre a et b tel que
f(c)k .
Approximation affine
L’équation réduite de la
tangente à C f au point
d’abscisse a est
y  f ’ (a)(x  a)  f(a) .
Si x est « voisin » de a, on a :
 f(x)  f(a)  f ’ (a)(x  a)
 x  a  h pour h proche
de 0 : f(a  h)  f(a)  h* f ’ (a)
Dérivée d’une fonction
composée
Soit u et v deux fonctions
dérivables sur R, f  v  u est
dérivable sur R et
f ’ (x)  v  u(x)  v'(u(x))*u'(x)
f(x)
f ’ (x)
n
(u(x))
n(u(x))n1u'(x)
u(x)
1
u(x)
u'(x)
2 u (x)

u'(x)
(u(x))²
sin( u(x))
cos(u(x))
u'(x)cos(u(x))
u'(x) (sin( u(x)))
eu(x)
u'(x)eu(x)
Branches asymptotiques
Soit M(x; f(x)) , le coefficient
directeur de la droite (OM) est
f(x)
.
x
f(x)
  ,
 Si xlim
 x
branche asymptotique de
direction (Oy).
f(x)
 0 , branche
 Si xlim
 x
asymptotique de direction (Ox).
f(x)
 a , où
 Si xlim
 x
aR* et lim f(x)  ax b , alors
x
D : yaxb est asymptote
oblique à C f .