Module 12: Raisonnement logique

Module 12: Raisonnement logique
II-A) Implication ou proposition conditionelle:
la proposition « si A , alors B » est une implication.
On dit aussi « A implique B » et on le note
A⇒B
. A représente l'hypothèse et B la conclusion.
II-B) Démontrer qu'une implication est vraie:
Pour démontrer que l'implication
A⇒B
est vraie, on suppose que A est vraie, et on montre que B est alors vraie.
L'implication «si I est le milieu du segment [AB], alors IA=IB» est vraie.
II-C) Réciproque d’une implication:
La proposition réciproque de «si A, alors B» est «si B, alors A».
La réciproque d'une implication vraie peut être vraie ou fausse.
Exemples:
1) L'implication «si ABC est un triangle rectangle en A, alors
AB2AC2=BC2
est vraie ; elle est connue sous
le nom de théorème de Pythagore.
Sa réciproque : si
AB2AC2=BC2
, alors ABC est un triangle rectangle en A
est également vraie; elle est connue sous le nom de réciproque du théorème de Pythagore.
2) L'implication «si x=3, alors x²=9» est vraie.
Sa réciproque: «si
x2=9
, alors x=3» est en revanche fausse.
Exercices:
1) Déterminer si les implications suivantes sont
vraies ou fausses:
a) Si
x
est un nombre réel vérifiant :
1
x≤−1
, alors
x0
b) Soit
x
un nombre réel. Si
x2≥25
, alors
x≥5
ou
x≤−5
.
c) Si je vis à New York, alors je suis Américain.
2) Pour chacune des implications suivantes:
- déterminer si l'implication est vraie ou fausse;
- énoncer sa réciproque et déterminer si elle est
vraie ou fausse.
a) Si ABCD est un carré, alors: AB=CD
b) Pour tout
x≤0
, si
x2≥9
, alors
x≤−3
.
c) Si f est croissante sur
[ a ;b ]
, alors:
fa≤ fb
.
d) «si c'est un lapin, alors il a 4 pattes et 2
oreilles.»
e) «si
x=−4 alors x2
=16»
f) si ABCD est un carré, alors
AB∥CD
g) «si n est mulitple de 10, alors il est multiple
de 5»
Exercice 3: Comment démontrer que «si A alors B» est vraie ou fausse:
Astuce: 1) Pour prouver qu'elle est vraie, il faut enchaîner des propositions élémentaires dont on sait qu'elles sont
vraies.
2) Pour prouver qu'elle est fausse: en trouvant un contre exemple.
Vrai ou faux ? a) Si OA=OB, alors B est le symétrique de A par rapport à O.
b) si ABCD a ses diagonales perpendiculaires, alors ABCD est un losange.
c) Un carré a ses diagonales de même longueur.
Exercice 4: réécrire sous la forme «si.....alors....»
a) Un triangle équilatéral a trois angles de 60° .
b) un entier dontle chiffre des unités est 5 est un multiple de 5.
c) un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle.
d) Un point M de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B.
II-D) «si et seulement si», «équivaut à»:
La proposition «A si et seulement si B» est la proposition «soi A alors B» et «si B alors A».
On dit que A et B sont équivalentes: elles sont vraies en même temps, fausses en même temps.
Exemples:
a) on a: «si MNP est isocèle en M alors
MNP= MPN
» et «si
MNP= MPN
alors MNP est isocèle en M »
On peut donc écrire: «si MNP est isocèle en M si et seulement si
MNP= MPN
»
ou: «si MNP est isocèle en M équivaut à
MNP= MPN
»
b)
2x=6
équivaut à
x=3
On peut donc écrire:
2x=6⇔x=3

Exercice 5: on donne deux propositions A et B.
A-t-on:
A⇒B
,
B⇒A
,
A⇔B
?
a) Pour tout
x
réel: A:
x2=25
B:
x=−5
b) Pour tout
x
réel: A: x est le carré d'un nombre B:
x≥0
c) A: MNPS est un losange B: MNPS est un carré
d) A: MNP est un rectangle en M B: NP²=MN²+MP²
Exercice 6: dans les cas suivants, indiquer si lespropositions sont vraies et si elles forment une équivalence
( a et b sont des réels)
a) proposition 1: si
ab2=0
alors
a=0
ou
b=0
proposition 2: si a
a=0
ou
b=0
alors
ab2=0
b) proposition 1: si
ab≥0
alors
a≥0
et
b≥0
proposition 2: si
a≥0
et
b≥0
alors
ab≥0
c) proposition 1: si
a2=b2
alors
a=b
proposition 2: si
a=b
alors
a2=b2