Module 12: Raisonnement logique II-A) Implication ou proposition conditionelle: la proposition « si A , alors B » est une implication. On dit aussi « A implique B » et on le note A ⇒ B . A représente l'hypothèse et B la conclusion. II-B) Démontrer qu'une implication est vraie: Pour démontrer que l'implication A ⇒ B est vraie, on suppose que A est vraie, et on montre que B est alors vraie. L'implication «si I est le milieu du segment [AB], alors IA=IB» est vraie. II-C) Réciproque d’une implication: La proposition réciproque de «si A, alors B» est «si B, alors A». La réciproque d'une implication vraie peut être vraie ou fausse. Exemples: 1) L'implication «si ABC est un triangle rectangle en A, alors AB 2AC 2 =BC 2 est vraie ; elle est connue sous le nom de théorème de Pythagore. Sa réciproque : si AB 2AC 2 =BC 2 , alors ABC est un triangle rectangle en A est également vraie; elle est connue sous le nom de réciproque du théorème de Pythagore. 2) L'implication «si x=3, alors x²=9» est vraie. Sa réciproque: «si x 2 =9 , alors x=3» est en revanche fausse. Exercices: 1) Déterminer si les implications suivantes sont vraies ou fausses: a) Si x est un nombre réel vérifiant : 1 ≤−1 , alors x x0 b) Soit x un nombre réel. Si x 2≥25 , alors x≥5 ou x≤−5 . c) Si je vis à New York, alors je suis Américain. 2) Pour chacune des implications suivantes: - déterminer si l'implication est vraie ou fausse; - énoncer sa réciproque et déterminer si elle est vraie ou fausse. a) Si ABCD est un carré, alors: AB=CD b) Pour tout x≤0 , si x 2≥9 , alors x≤−3 . c) Si f est croissante sur [ a ; b ] , alors: f a ≤ f b . d) «si c'est un lapin, alors il a 4 pattes et 2 oreilles.» e) «si x =−4 alors x 2 =16» f) si ABCD est un carré, alors AB∥CD g) «si n est mulitple de 10, alors il est multiple de 5» Exercice 3: Comment démontrer que «si A alors B» est vraie ou fausse: Astuce: 1) Pour prouver qu'elle est vraie, il faut enchaîner des propositions élémentaires dont on sait qu'elles sont vraies. 2) Pour prouver qu'elle est fausse: en trouvant un contre exemple. Vrai ou faux ? a) Si OA=OB, alors B est le symétrique de A par rapport à O. b) si ABCD a ses diagonales perpendiculaires, alors ABCD est un losange. c) Un carré a ses diagonales de même longueur. Exercice 4: réécrire sous la forme «si.....alors....» a) Un triangle équilatéral a trois angles de 60° . b) un entier dontle chiffre des unités est 5 est un multiple de 5. c) un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur est un rectangle. d) Un point M de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B. II-D) «si et seulement si», «équivaut à»: La proposition «A si et seulement si B» est la proposition «soi A alors B» et «si B alors A». On dit que A et B sont équivalentes: elles sont vraies en même temps, fausses en même temps. Exemples: a) on a: «si MNP est isocèle en M alors MNP= MPN » et «si MNP= MPN alors MNP est isocèle en M » On peut donc écrire: «si MNP est isocèle en M si et seulement si MNP= MPN » ou: «si MNP est isocèle en M équivaut à MNP=MPN » b) 2x=6 équivaut à x=3 On peut donc écrire: 2x=6 ⇔ x=3 Exercice 5: on donne deux propositions A et B. A-t-on: A⇒B , B⇒ A , A⇔B ? a) Pour tout x réel: A: x2 =25 B: x =−5 b) Pour tout x réel: A: x est le carré d'un nombre B: x≥0 c) A: MNPS est un losange B: MNPS est un carré d) A: MNP est un rectangle en M B: NP²=MN²+MP² Exercice 6: dans les cas suivants, indiquer si lespropositions sont vraies et si elles forment une équivalence ( a et b sont des réels) a) proposition 1: si ab2=0 alors a=0 ou b=0 proposition 2: si a a=0 ou b=0 alors ab2=0 ab≥0 alors a≥0 et b≥0 a≥0 et b≥0 alors ab≥0 b) proposition 1: si proposition 2: si c) proposition 1: si a 2=b2 alors a=b 2 proposition 2: si a=b alors a =b2