Frag A (énoncé et solution proposés par Dany

FragA(énoncéetsolutionproposésparDany-JackMercier[)
Hyperplansetformeslinéaires
Edésigneunespacevectorielsurlecorpscommutatif K.
1)Soit Hunsous-espacevectorielde E.Onrappellequelacodimensionde Hest,lorsqu’elle
existe,ladimensiondel’espacevectorielquotient E=H,soit codim H=dim E=H.Montrer
l’équivalenceentre:
i) codim H=1,
ii) Hestlenoyaud’uneformelinéairenonnulle,
iii)Ilexisteunedroite Dvéri…ant E=H©D.
Unsous-espacevectoriel Hvéri…antl’unedecespropriétésestappeléunhyperplande E.En…n,
uneformelinéairenonnulle l”dé…nitl’hyperplan H”sietseulementsi H=Ker l.
2)Montrerquesi Hestunhyperplan,pourtout a=2HonaE=H©Ka.
3)Démontrerquedeuxformeslinéairesdé…nissentlemêmehyperplansietseulementsielles
sontproportionnelles.
4)Véri…erqu’unhyperplanestunsous-espacevectorielmaximaldansl’ensembledessous-
espacesvectorielsde Edistinctsde E.Envisagerlaréciproque.
5)Montrerqu’unhyperpland’unespacevectorielnorméestferméoupartoutdense.
6)Danscettequestion,onsupposeque EestunespacedeHilbert.Onconsidèreunhyperplan
H=Ker loù l2E¤nf0g.Enutilisantlerésultatconnusuivantlequel,dansunespacede
Hilbert,toutsous-espacevectorielcompletpossèdeunsupplémentaireorthogonal,démontrer
quel’hyperplan Hestfermésietseulementsi lestcontinue.
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Solution:
1) ²i) )ii) Hestlenoyaudelasurjectioncanonique s:E!E=H.L’espacevectoriel E=H
dedimension 1seraisomorpheàK,autrementditilexisteunisomorphisme ':E=H !K.
Onconstatequelaformelinéaire '±sn’estpasnulleetdenoyau H.
²ii) )iii)Soit H=Ker loù lestuneformelinéairenonnulle.Choisissonsunvecteur a
n’appartenantpasàHetmontronsque E=Ka ©H.Soit x2E.Si x=¸a +havec ¸2K
et h2H,alors l(x)=¸l (a),d’où ¸=l(x)
l(a).Notonsque l(a)6=0car a=2H.Ontrouveensuite
h=x¡l(x)
l(a)a.Onamontréque,siladécompositionde xdans Ka+Hexistait,alorselleserait
uniqueetdonnéepar
x=l(x)
l(a)a+µx¡l(x) l(a)a¶:(¤)
0[uesv0001]v1.00°Documenttéléchargeablesurlesitehttp://perso.wanadoo.fr/megamaths
c
°2003,Dany-JackMercier-Vouspouvezfaireunecopiedecesnotespourvotreusagepersonnel.
[IUFMGuadeloupe,MorneFerret,BP399,Pointe-à-Pitrecedex97159,France([e-mail])
1

Onvéri…eensuiteque (¤)estbienladécompositionde xdans Ka +H.Onabien
8
<
:
l(x)
l(a)a2Ka;
l³x¡l(x)
l(a)a´=0)x¡l(x) l(a)
a2H;
cequiprouveiii)
²iii) )i)Onadefaçontrèsclassiqueetsansconditiondedimensions,
E=H©D)E=H 'D:
Véri…onsleici.Tout x2Es’écritdefaçonunique x=h+doù h2Het d2D,etl’onpeut
dé…nirl’applicationlinéaire
f:D¡! E=H
d7¡!
:
d:
L’applicationestinjectivecar f(d)=0entraîne d2D\H=f0g,etsurjectivepuisquesi
:
x2E=H,xs’écrit x=h+doù h2Het d2D,etdonc : x=
:
d=f(d).
2)Celaadéjaétédémontrédanslaquestionprécédente,pourl’implicationii) )iii).
3)Soient H=Ker l=Ker l0et a=2H.Onsaitqu’alors E=Ka ©Hetquetout xs’écrit
x=¸a +havec ¸2Ket h2H.De l(x)=¸l (a)et l0(x)=¸l0(a),ondéduit
8x2E¸=
l(x)
l(a)
=
l
0
(x)
l
0
(a)
)8x2El(x)= l(a)
l
0
(a)
l
0
(x)
soit
8x2El=
l(a)
l
0
(a)
l
0
;
etlesformeslinéaires let l0sontproportionnelles.Laréciproqueestévidente.
4)Soient Hunhyperplanet Funsous-espacevectorielde Econtenantstrictement H.Il
existeunvecteur a2FnHetd’aprèscequiprécède, E=Ka ©H½F½E,d’où F=E.
Réciproquement,si Hestmaximaletsi a2EnH,lesous-espacevectoriel Ka ©Hcontient
strictement HdoncseraégalàE.Celasigni…eque Hestunhyperpland’aprèslapremière
question.
5)Sil’hyperplan Hn’estpasfermé, H6½ Hetilestfaciledevoirquel’adhérence Hde H
estunsous-espacevectorielde E.Ene¤et,si xet ysontdans H,ilss’écrivent x=lim xnet
y=lim ynoù (xn)et (yn)désignentdessuitesde H,etsi ¸2K,alors
x+¸y =lim(x
n+¸yn)2H:
Lecaractèremaximalde Hentraîne H=E.
6)Si lestcontinue, H=l¡1(0) estfermédans E.Réciproquement,supposons H=Ker l
fermédans E.HestfermédansunespacedeHilbert,donccompletetcelaentraînel’existence
d’unsupplémentaireorthogonal H?de H(etd’uneprojectionorthogonalesur H,cf.Ramis
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II.2.1.2).Comme Hestunhyperplan, H?'E=H seraunedroitevectorielle.Notonsla
H?=Ka où aestunvecteurunitaire.Onpeutécrire
8x2Ex=¸a +havec ¸2Ket h2H:
D’aprèslethéorèmedePythagore, kxk2=¸2+khk2,donc j¸j·kxket
jl(x)j=j¸jjl(a)j·jl(a)j:kxk:
Cettedernièreinégalitésigni…eque lestuneapplicationlinéairecontinue,denorme klk·jl(a)j.
Remarque :L’équivalenceannoncéeestenfaitvéri…éesansl’hypothèse”Eestunespace
deHilbert”,maisdemanderaitalorsunepreuvedi¤érente.
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