Frag A (énoncé et solution proposés par Dany

Frag A (énoncé et solution proposés par Dany-Jack Mercier[ )
Hyperplans et formes linéaires
E désigne un espace vectoriel sur le corps commutatif K.
1) Soit H un sous-espace vectoriel de E. On rappelle que la codimension de H est, lorsqu’elle
existe, la dimension de l’espace vectoriel quotient E=H, soit codim H = dim E=H. Montrer
l’équivalence entre :
i) codim H = 1,
ii) H est le noyau d’une forme linéaire non nulle,
iii) Il existe une droite D véri…ant E = H © D.
Un sous-espace vectoriel H véri…ant l’une de ces propriétés est appelé un hyperplan de E. En…n,
une forme linéaire non nulle l ”dé…nit l’hyperplan H” si et seulement si H = Ker l.
2) Montrer que si H est un hyperplan, pour tout a 2
= H on a E = H © Ka.
3) Démontrer que deux formes linéaires dé…nissent le même hyperplan si et seulement si elles
sont proportionnelles.
4) Véri…er qu’un hyperplan est un sous-espace vectoriel maximal dans l’ensemble des sousespaces vectoriels de E distincts de E. Envisager la réciproque.
5) Montrer qu’un hyperplan d’un espace vectoriel normé est fermé ou partout dense.
6) Dans cette question, on suppose que E est un espace de Hilbert. On considère un hyperplan
H = Ker l où l 2 E ¤ n f0g. En utilisant le résultat connu suivant lequel, dans un espace de
Hilbert, tout sous-espace vectoriel complet possède un supplémentaire orthogonal, démontrer
que l’hyperplan H est fermé si et seulement si l est continue.
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Solution :
1) ² i) ) ii) H est le noyau de la surjection canonique s : E ! E=H. L’espace vectoriel E=H
de dimension 1 sera isomorphe à K, autrement dit il existe un isomorphisme ' : E=H ! K.
On constate que la forme linéaire ' ± s n’est pas nulle et de noyau H.
² ii) ) iii) Soit H = Ker l où l est une forme linéaire non nulle. Choisissons un vecteur a
n’appartenant pas à H et montrons que E = Ka © H. Soit x 2 E. Si x = ¸a + h avec ¸ 2 K
et h 2 H, alors l (x) = ¸l (a), d’où ¸ = l(x)
= H. On trouve ensuite
l(a) . Notons que l (a) 6= 0 car a 2
h = x ¡ l(x)
l(a) a. On a montré que, si la décomposition de x dans Ka + H existait, alors elle serait
unique et donnée par
µ
¶
l (x)
l (x)
x=
a+ x¡
a :
(¤)
l (a)
l (a)
0
[uesv0001] v1.00° Document téléchargeable sur le site http://perso.wanadoo.fr/megamaths
c 2003, Dany-Jack Mercier - Vous pouvez faire une copie de ces notes pour votre usage personnel.
°
[
IUFM Guadeloupe, Morne Ferret, BP399, Pointe-à-Pitre cedex 97159, France ( [email protected])
1
On véri…e ensuite que (¤) est bien la décomposition de x dans Ka + H. On a bien
8
< l(x) a 2 Ka;
l(a)
³
´
: l x ¡ l(x)
a
= 0 ) x ¡ l(x)
l(a)
l(a) a 2 H;
ce qui prouve iii)
² iii) ) i) On a de façon très classique et sans condition de dimensions,
E = H © D ) E=H ' D:
Véri…ons le ici. Tout x 2 E s’écrit de façon unique x = h + d où h 2 H et d 2 D, et l’on peut
dé…nir l’application linéaire
f : D ¡! E=H
:
d 7¡!
d:
L’application est injective car f (d) = 0 entraîne d 2 D \ H = f0g, et surjective puisque si
:
:
:
x 2 E=H, x s’écrit x = h + d où h 2 H et d 2 D, et donc x = d = f (d).
2) Cela a déja été démontré dans la question précédente, pour l’implication ii) ) iii).
3) Soient H = Ker l = Ker l0 et a 2
= H. On sait qu’alors E = Ka © H et que tout x s’écrit
x = ¸a + h avec ¸ 2 K et h 2 H. De l (x) = ¸l (a) et l0 (x) = ¸l0 (a), on déduit
8x 2 E
¸=
l (x)
l0 (x)
= 0
) 8x 2 E
l (a)
l (a)
l (x) =
l (a) 0
l (x)
l0 (a)
soit
8x 2 E
l=
l (a) 0
l;
l0 (a)
et les formes linéaires l et l0 sont proportionnelles. La réciproque est évidente.
4) Soient H un hyperplan et F un sous-espace vectoriel de E contenant strictement H. Il
existe un vecteur a 2 F nH et d’après ce qui précède, E = Ka © H ½ F ½ E, d’où F = E.
Réciproquement, si H est maximal et si a 2 EnH, le sous-espace vectoriel Ka © H contient
strictement H donc sera égal à E. Cela signi…e que H est un hyperplan d’après la première
question.
5) Si l’hyperplan H n’est pas fermé, H 6½ H et il est facile de voir que l’adhérence H de H
est un sous-espace vectoriel de E. En e¤et, si x et y sont dans H, ils s’écrivent x = lim xn et
y = lim yn où (xn ) et (yn ) désignent des suites de H, et si ¸ 2 K, alors
x + ¸y = lim (xn + ¸yn ) 2 H:
Le caractère maximal de H entraîne H = E.
6) Si l est continue, H = l¡1 (0) est fermé dans E. Réciproquement, supposons H = Ker l
fermé dans E. H est fermé dans un espace de Hilbert, donc complet et cela entraîne l’existence
d’un supplémentaire orthogonal H ? de H (et d’une projection orthogonale sur H, cf. Ramis
2
II.2.1.2). Comme H est un hyperplan, H ? ' E=H sera une droite vectorielle. Notons la
H ? = Ka où a est un vecteur unitaire. On peut écrire
8x 2 E
x = ¸a + h avec ¸ 2 K et h 2 H:
D’après le théorème de Pythagore, kxk2 = ¸2 + khk2 , donc j¸j · kxk et
jl (x)j = j¸j jl (a)j · jl (a)j : kxk :
Cette dernière inégalité signi…e que l est une application linéaire continue, de norme klk · jl (a)j.
Remarque : L’équivalence annoncée est en fait véri…ée sans l’hypothèse ”E est un espace
de Hilbert”, mais demanderait alors une preuve di¤érente.
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