Chp.1 Eléments d`algèbre et Notations

Eléments d’Algèbre et Notations
Ce chapître rassemble les fondamentaux d’Algèbre Linéaire utiles pour la
suite du cours et précise les notations et la terminologie qui y seront employées.
On y introduit la notion de partie convexe d’un espace vectoriel qui joue un rôle
essentiel en Optimisation, ainsi qu’une typologie d’ensembles convexes remar-
quables : hyperplans ,cônes ,simplexes ,polyèdres , qui apparaissent naturelle-
ment dans la formalisation des problèmes d’optimisation.
1.1 Espaces de dimension finie
Structure d’espace vectoriel
Un espace de dimension finie est, d’abord, un espace vectoriel. Ses éléments,
quelle que soit leur nature réelle, seront donc génériquement appelés vecteurs .
Par espace vectoriel, on entend ici un espace vectoriel sur R, c’est-à-dire un en-
semble Edont on peut ajouter deux éléments quelconques, ou multiplier l’un
d’entre-eux par un facteur réel arbitraire, de façon à obtenir un nouvel élément
de E. La combinaison de ces deux opérations permet de fabriquer des com-
binaisons linéaires . La combinaison linéaire de néléments {e(1),...,e(n)}
d’un espace vectoriel E, affectés des coefficients réels x1,...,xnest la somme :
∑n
i=1xie(i).
Bases et dimension
Un espace de dimension finie est un espace vectoriel Equi contient une
partie finie {e(1),...,e(n)} telle que tout élément xde Es’écrive de manière
unique comme combinaison linéaire des e(i):
x=n
i=1
xie(i)(1.1)
On dit alors que l’ensemble :
B= {e(1),...,e(n)} (1.2)

1.1. ESPACES DE DIMENSION FINIE 3
est une base de E, et, en ordonnant les vecteurs de Bselon l’ordre d’énuméra-
tion choisi pour écrire (1.2), de e(1)àe(n), que xiest la ième coordonnée de x
dans cette base. L’algèbre linéaire nous apprend que, dans un espace de dimen-
sion finie E, toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est la
dimension de l’espace E.
Exemples fondamentaux
Exemple 1.1.1 L’archétype des espaces de dimension finie est l’espace Rndes n-
uplets (x1,...,xn)de réels x1,...,xn. Une base de l’espace Rnest formée des n
vecteurs e(i)(1≤i≤n) dont tous les termes sont nuls, sauf, pour chaque indice i ,
le i ème qui vaut un. Tout n-uplet x = (x1,...,xn)de réels s’écrit en effet de manière
unique comme combinaison linéaire : x =∑n
i=1xie(i)des e(i).
Exemple 1.1.2 L’espace M R(m,n)des m ×n matrices réelles, c’est-à-dire des ta-
bleaux rectangulaires de m ×n réels comportant m lignes et n colonnes, est un
espace de dimension finie dont une base est formée des m ×n matrices M(i,j)
dont tous les termes sont nuls sauf celui situé sur la i ème ligne et la j ème colonne
de M(i,j)qui vaut un ( 1≤i≤m, 1≤j≤n) . Toute m ×n matrice réelle A se
décompose en effet de manière unique comme combinaison linéaire :
A=n
i=1
m
j=1
Aj
iM(i,j)
des M(i,j), où, pour tout couple d’indices (i,j)(1≤i≤m, 1≤j≤n), A j
idésigne
le terme situé sur la i ème ligne et la j ème colonne de A.
Exemple 1.1.3 L’espace Rn[x]des polynômes à coefficients réels, de degré au
plus égal à n est un espace de dimension finie n +1dont une base est :
{1, X,X2,...,Xn}
Les exemples d’espaces de dimension finie considérés dans ce cours et les
exercices qui l’accompagnent seront toujours l’un des espaces Rn,MR(m,n),
Rn[x], ou l’un de leurs sous-espaces. Lorsque Eest l’un quelconque de ces es-
paces, l’expression « base naturelle » de Efera toujours référence aux bases dé-
crites dans les exemples précédents (Exemples 1.1.1 à 1.1.3).
Zéro d’un espace vectoriel
Tout espace vectoriel possède un élément neutre additif, un « vecteur nul » :
le n- uplet formé de nzéros, la m×nmatrice nulle, le polynome nul , . .. etc. On
fera simplement référence à cet élément, dans tout espace vectoriel E, comme
au « zéro » de E, que l’on notera : « 0E».

4 CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
1.2 Calcul matriciel et conventions d’écriture
Utilisation d’OCTAVE
GNU-Octave (http ://www.gnu.org/software/octave) est un logiciel libre de
calcul numérique. OCTAVE est un langage interprété offrant une interface de
haut niveau vers de nombreuses librairies de routines mathématiques comme
LAPACK (1). Plusieurs graphiques utilisés dans ce cours sont générés sous OC-
TAVE, et, au détour d’un exemple ou d’un exercice, il arrivera que l’on écrive
quelques lignes de code permettant de reproduire un graphique ou un calcul.
On adoptera donc systématiquement dans le texte les conventions d’écri-
ture d’OCTAVE :
– « AB» pour désigner le produit de deux matrices Aet B.
– « A′» pour désigner la « transposée » d’une matrice A(2).
Ecriture matricielle des vecteurs de Rn
Comme MATLAB dont il est un clone, OCTAVE est particulièrement adapté
aux calculs vectorisés. Sous OCTAVE, la structure de données de base est la ma-
trice. Tout (ou presque) est une matrice : un graphe 2D, par exemple, est, fon-
damentalement, une matrice, un réel une 1×1 matrice, et le produit de deux
réels un produit matriciel. Un n-uplet x=(x1,...,xn)de réels sera saisi comme
une n×1 matrice avec la commande : x= [ x1x2. .. xn], ou comme une 1 ×n
matrice avec la commande : x= [ x1; x2; . .. ; xn], le point-virgule marquant le
passage à la ligne dans l’écriture de la matrice.
On fera souvent usage de calculs utilisant les propriétés de l’addition et du
produit de matrices, ainsi que de la propriété fondamentale de la transposition :
(AB)′=B′A′(1.3)
Dans l’esprit de la programmation OCTAVE,on identifiera systématiquement, dans
ces calculs, tout n-uplet de réels à une matrice colonne, de format n ×1.
Exemple 1.2.1 Si x =(x1,...,xn)et y =(y1,...,yn)sont deux n-uplets de réels,
on écrira : ∑n
i=1xiyi=x′y=y′x .
tCe choix d’identifier dans la pratique du calcul matriciel tout n-uplet de réels à une
matrice colonne plutôt qu’à une matrice ligne est imposé par le souci de compatibilité
avec la convention usuelle d’écriture de la « matrice » d’une application linéaire : un
tableau de réels qui caractérise toute « application linéaire » d’un espace de dimension
finie Edans un autre Fdans des bases respectives prescrites de Eet de F(Voir : § 1.3
Définition 1.3.2).
1. Package bien connu d’Algèbre Linéaire écrit en Fortran.
2. Si Aest une m×nmatrice, sa transposée A′est la matrice de terme général : (A′)j
i=Ai
j
( 1 ≤i≤n, 1 ≤j≤m).

1.3. APPLICATIONS LINÉAIRES 5
1.3 Applications linéaires
Définition 1.3.1 Une application L ∶EF d’un espace vectoriel E dans un
autre F est dite « linéaire » si, pour toute combinaison linéaire : x =∑n
i=1xie(i)
d’éléments e(1),...,e(n)de E, affectés des coefficients réels x1,...,xn:
L(n
i=1
xie(i))=n
i=1
xiL(e(i)) (1.4)
Matrice d’un application linéaire
Si Eest un espace de dimension finie, et BE={e(1),...,e(n)} est une base
de E, toute application linéaire L∶EFest déterminée de manière unique par
(1.4) et par la donnée des nvecteurs L(e(i)) ( 1 ≤i≤n). Lorque Fest égale-
ment de dimension finie, chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par la
donnée de ses coordonnées dans une base quelconque de F.
Définition 1.3.2 On appelle matrice de l’application linéaire L ∶EF dans des
bases respectives BE={e(1),...,e(n)} et BF={f(1),...,f(m)} de E et de F , la
m×n matrice réelle A de terme général A j
i(1≤i≤m),(1≤j≤n)telle que :
L(e(i))=m
j=1
Ai
jf(j) (1≤i≤n)(1.5)
Toute application linéaire Lest donc complètement déterminée par la formule :
L(n
i=1
xie(i))=n
i=1
m
j=1
Ai
jxif(j)(1.6)
combinant (1.4) et (1.5), et par la donnée de sa matrice Adans les bases :
BE={e(1),...,e(n)}, et : BF={f(1),...,f(m)}
Pour tout élément : x=∑n
i=1xie(i)de E, les coordonnées y1,...,ymde L(x)
dans la base BFsont alors calculées par le produit matriciel :
y1
⋮
ym
=A
x1
⋮
xn
(1.7)
tLorsque : E=F, et : BE=BF=B, on dit simplement que Aest la matrice de L« dans la
base B».

6 CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
Pour un couple de bases données dans Eet Frespectivement, l’écriture de la
matrice d’une application linéaire L∶EFnécessite de classer les vecteurs de
chacune de ces bases dans un ordre prescrit. Il y a donc autant de matrices pos-
sibles pour un choix de bases donné que de façon d’ordonner les vecteurs de l’une
et l’autre base . Lorsqu’on énumère les vecteurs d’une base, ils sont implicite-
ment, sauf indication contraire, supposés classés dans l’ordre d’énumération.
Exemple 1.3.1 L’application L ∶R2[x] R2[x]qui, à tout polynôme P de degré
au plus égal à 2 associe l’unique solution polynômiale de l’équation différentielle :
˙
y(x)=y(x)−P(x)
est linéaire. Sa matrice dans la base {1,x,x2}de R2[x]est la matrice triangu-
laire :
A=
1 0 0
1 1 0
1 2 2
Espaces d’applications linéaires
Pour tout couple d’espaces vectoriels Eet F, on note L(E,F)l’ensemble de
toutes les applications linéaires de Edans F.
Proposition 1.3.1 L(E,F)est un espace vectoriel sur Rpour l’addition et la mul-
tiplication scalaire définies par :
∀x∈E,(L1+L2)(x)=L1(x)+L2(x),et ∶ ∀x∈E,∀ξ∈R,(ξL)(x)=ξL(x)
Proposition 1.3.2 Lorsque E et F sont des espaces de dimensions finies, de di-
mensions respectives n et m, l’espace L(E,F)est de dimension n ×m. Si en outre
BE={e(1),...,e(n)} est une base de E et BF={f(1),...,f(m)} une base de F ,
une base de L(E,F)est formée des n ×m applications linéaires L(k,l)∶EF
(1≤k≤n,1 ≤l≤m) définies par :
L(k,l)( n
i=1
xie(i))=xkf(l) (1≤k≤n,1 ≤l≤m)(1.8)
Preuve : Si Aest la matrice de l’application linéaire L∶EFdans les bases BE
et BF, (1.6) implique, pour tout vecteur : x=∑n
i=1xie(i)dans E:
L(x)=n
i=1
m
j=1
Ai
jxif(j)=n
i=1
m
j=1
Ai
jL(i,j)(x)