Chp.1 Eléments d`algèbre et Notations

Eléments d’Algèbre et Notations
Ce chapître rassemble les fondamentaux d’Algèbre Linéaire utiles pour la
suite du cours et précise les notations et la terminologie qui y seront employées.
On y introduit la notion de partie convexe d’un espace vectoriel qui joue un rôle
essentiel en Optimisation, ainsi qu’une typologie d’ensembles convexes remarquables : hyperplans , cônes , simplexes , polyèdres , qui apparaissent naturellement dans la formalisation des problèmes d’optimisation.
1.1 Espaces de dimension finie
Structure d’espace vectoriel
Un espace de dimension finie est, d’abord, un espace vectoriel. Ses éléments,
quelle que soit leur nature réelle, seront donc génériquement appelés vecteurs .
Par espace vectoriel, on entend ici un espace vectoriel sur R, c’est-à-dire un ensemble E dont on peut ajouter deux éléments quelconques, ou multiplier l’un
d’entre-eux par un facteur réel arbitraire, de façon à obtenir un nouvel élément
de E . La combinaison de ces deux opérations permet de fabriquer des combinaisons linéaires . La combinaison linéaire de n éléments {e (1), . . . , e (n )}
d’un espace vectoriel E , affectés des coefficients réels x 1 , . . . , x n est la somme :
∑ni=1 x i e (i ) .
Bases et dimension
Un espace de dimension finie est un espace vectoriel E qui contient une
partie finie {e (1), . . . , e (n )} telle que tout élément x de E s’écrive de manière
unique comme combinaison linéaire des e (i ) :
n
x = ∑ x i e (i )
(1.1)
i =1
On dit alors que l’ensemble :
B = {e (1), . . . , e (n )}
(1.2)
1.1. ESPACES DE DIMENSION FINIE
3
est une base de E , et, en ordonnant les vecteurs de B selon l’ordre d’énumération choisi pour écrire (1.2), de e (1) à e (n ), que x i est la i ème coordonnée de x
dans cette base. L’algèbre linéaire nous apprend que, dans un espace de dimension finie E , toutes les bases ont le même nombre d’éléments. Ce nombre est la
dimension de l’espace E .
Exemples fondamentaux
Exemple 1.1.1 L’archétype des espaces de dimension finie est l’espace Rn des nuplets (x 1 , . . . , x n ) de réels x 1 , . . . , x n . Une base de l’espace Rn est formée des n
vecteurs e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n) dont tous les termes sont nuls, sauf, pour chaque indice i ,
le i ème qui vaut un. Tout n-uplet x = (x 1 , . . . , x n ) de réels s’écrit en effet de manière
unique comme combinaison linéaire : x = ∑ni=1 x i e (i ) des e (i ).
Exemple 1.1.2 L’espace M R (m, n ) des m × n matrices réelles, c’est-à-dire des tableaux rectangulaires de m × n réels comportant m lignes et n colonnes, est un
espace de dimension finie dont une base est formée des m × n matrices M (i , j )
dont tous les termes sont nuls sauf celui situé sur la i ème ligne et la j ème colonne
de M (i , j ) qui vaut un ( 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) . Toute m × n matrice réelle A se
décompose en effet de manière unique comme combinaison linéaire :
n
m
j
A = ∑ ∑ A i M (i , j )
i =1 j =1
j
des M (i , j ), où, pour tout couple d’indices (i , j ) ( 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n), A i désigne
le terme situé sur la i ème ligne et la j ème colonne de A.
Exemple 1.1.3 L’espace Rn [x ] des polynômes à coefficients réels, de degré au
plus égal à n est un espace de dimension finie n + 1 dont une base est :
{1, X , X 2 , . . . , X n }
Les exemples d’espaces de dimension finie considérés dans ce cours et les
exercices qui l’accompagnent seront toujours l’un des espaces Rn , M R (m, n ),
Rn [x ], ou l’un de leurs sous-espaces. Lorsque E est l’un quelconque de ces espaces, l’expression « base naturelle » de E fera toujours référence aux bases décrites dans les exemples précédents (Exemples 1.1.1 à 1.1.3).
Zéro d’un espace vectoriel
Tout espace vectoriel possède un élément neutre additif, un « vecteur nul » :
le n- uplet formé de n zéros, la m × n matrice nulle, le polynome nul , . . . etc. On
fera simplement référence à cet élément, dans tout espace vectoriel E , comme
au « zéro » de E , que l’on notera : « 0E ».
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
4
1.2 Calcul matriciel et conventions d’écriture
Utilisation d’O CTAVE
GNU-Octave (http ://www.gnu.org/software/octave) est un logiciel libre de
calcul numérique. O CTAVE est un langage interprété offrant une interface de
haut niveau vers de nombreuses librairies de routines mathématiques comme
(1)
L APACK . Plusieurs graphiques utilisés dans ce cours sont générés sous O C TAVE , et, au détour d’un exemple ou d’un exercice, il arrivera que l’on écrive
quelques lignes de code permettant de reproduire un graphique ou un calcul.
On adoptera donc systématiquement dans le texte les conventions d’écriture d’O CTAVE :
– « A ⋆ B » pour désigner le produit de deux matrices A et B .
– « A ′ » pour désigner la « transposée » d’une matrice A (2).
Ecriture matricielle des vecteurs de Rn
Comme M ATLAB dont il est un clone, O CTAVE est particulièrement adapté
aux calculs vectorisés. Sous O CTAVE, la structure de données de base est la matrice. Tout (ou presque) est une matrice : un graphe 2D, par exemple, est, fondamentalement, une matrice, un réel une 1 × 1 matrice, et le produit de deux
réels un produit matriciel. Un n-uplet x = (x 1 , . . . , x n ) de réels sera saisi comme
une n × 1 matrice avec la commande : x = [ x1 x2 . . . xn ], ou comme une 1 × n
matrice avec la commande : x = [ x1 ; x2 ; . . . ; xn ], le point-virgule marquant le
passage à la ligne dans l’écriture de la matrice.
On fera souvent usage de calculs utilisant les propriétés de l’addition et du
produit de matrices, ainsi que de la propriété fondamentale de la transposition :
( A ⋆ B )′ = B ′ ⋆ A ′
(1.3)
Dans l’esprit de la programmation O CTAVE, on identifiera systématiquement, dans
ces calculs, tout n-uplet de réels à une matrice colonne, de format n × 1.
Exemple 1.2.1 Si x = (x 1 , . . . , x n ) et y = ( y 1 , . . . , y n ) sont deux n-uplets de réels,
on écrira : ∑ni=1 x i y i = x ′ ⋆ y = y ′ ⋆ x .
t Ce choix d’identifier dans la pratique du calcul matriciel tout n-uplet de réels à une
matrice colonne plutôt qu’à une matrice ligne est imposé par le souci de compatibilité
avec la convention usuelle d’écriture de la « matrice » d’une application linéaire : un
tableau de réels qui caractérise toute « application linéaire » d’un espace de dimension
finie E dans un autre F dans des bases respectives prescrites de E et de F (Voir : § 1.3
Définition 1.3.2).
1. Package bien connu d’Algèbre Linéaire écrit en Fortran.
j
2. Si A est une m × n matrice, sa transposée A ′ est la matrice de terme général : ( A ′ )i = A ij
( 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m).
1.3. APPLICATIONS LINÉAIRES
5
1.3 Applications linéaires
Définition 1.3.1 Une application L ∶ E ↦ F d’un espace vectoriel E dans un
autre F est dite « linéaire » si, pour toute combinaison linéaire : x = ∑ni=1 x i e (i )
d’éléments e (1), . . . , e (n ) de E , affectés des coefficients réels x 1 , . . . , x n :
n
n
i =1
i =1
L ( ∑ x i e (i )) = ∑ x i L (e (i ))
(1.4)
Matrice d’un application linéaire
Si E est un espace de dimension finie, et B E = {e (1), . . . , e (n )} est une base
de E , toute application linéaire L ∶ E ↦ F est déterminée de manière unique par
(1.4) et par la donnée des n vecteurs L (e (i )) ( 1 ≤ i ≤ n). Lorque F est également de dimension finie, chacun de ces vecteurs est lui-même déterminé par la
donnée de ses coordonnées dans une base quelconque de F .
Définition 1.3.2 On appelle matrice de l’application linéaire L ∶ E ↦ F dans des
bases respectives B E = {e (1), . . . , e (n )} et B F = { f (1), . . . , f (m )} de E et de F , la
j
m × n matrice réelle A de terme général A i ( 1 ≤ i ≤ m ) , ( 1 ≤ j ≤ n ) telle que :
m
L (e (i )) = ∑ A ij f ( j )
j =1
( 1 ≤ i ≤ n)
(1.5)
Toute application linéaire L est donc complètement déterminée par la formule :
n
n
m
L ( ∑ x i e (i )) = ∑ ∑ A ij x i f ( j )
i =1
(1.6)
i =1 j =1
combinant (1.4) et (1.5), et par la donnée de sa matrice A dans les bases :
B E = {e (1), . . . , e (n )}, et :
B F = { f (1), . . . , f (m )}
Pour tout élément : x = ∑ni=1 x i e (i ) de E , les coordonnées y 1 , . . . , y m de L (x )
dans la base B F sont alors calculées par le produit matriciel :
⎛ y1 ⎞
⎛ x1 ⎞
⎜ ⋮ ⎟ = A ⋆⎜ ⋮ ⎟
⎝ ym ⎠
⎝ xn ⎠
(1.7)
t Lorsque : E = F , et : B E = B F = B , on dit simplement que A est la matrice de L « dans la
base B ».
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
6
Pour un couple de bases données dans E et F respectivement, l’écriture de la
matrice d’une application linéaire L ∶ E ↦ F nécessite de classer les vecteurs de
chacune de ces bases dans un ordre prescrit. Il y a donc autant de matrices possibles pour un choix de bases donné que de façon d’ordonner les vecteurs de l’une
et l’autre base . Lorsqu’on énumère les vecteurs d’une base, ils sont implicitement, sauf indication contraire, supposés classés dans l’ordre d’énumération.
Exemple 1.3.1 L’application L ∶ R2 [x ] ↦ R2 [x ] qui, à tout polynôme P de degré
au plus égal à 2 associe l’unique solution polynômiale de l’équation différentielle :
ẏ (x ) = y (x ) − P (x )
est linéaire. Sa matrice dans la base {1, x, x 2 } de R2 [x ] est la matrice triangulaire :
⎛ 1 0 0 ⎞
A=⎜ 1 1 0 ⎟
⎝ 1 2 2 ⎠
Espaces d’applications linéaires
Pour tout couple d’espaces vectoriels E et F , on note L (E , F ) l’ensemble de
toutes les applications linéaires de E dans F .
Proposition 1.3.1 L (E , F ) est un espace vectoriel sur R pour l’addition et la multiplication scalaire définies par :
∀x ∈ E , (L 1 + L 2 )(x ) = L 1 (x ) + L 2 (x ), e t ∶ ∀x ∈ E , ∀ξ ∈ R, (ξ L )(x ) = ξ L (x )
Proposition 1.3.2 Lorsque E et F sont des espaces de dimensions finies, de dimensions respectives n et m, l’espace L (E , F ) est de dimension n × m. Si en outre
B E = {e (1), . . . , e (n )} est une base de E et B F = { f (1), . . . , f (m )} une base de F ,
une base de L (E , F ) est formée des n × m applications linéaires L (k, l ) ∶ E ↦ F
( 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m) définies par :
n
L (k, l )( ∑ x i e (i )) = x k f (l )
( 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m )
i =1
(1.8)
Preuve : Si A est la matrice de l’application linéaire L ∶ E ↦ F dans les bases B E
et B F , (1.6) implique, pour tout vecteur : x = ∑ni=1 x i e (i ) dans E :
n
m
n
m
L (x ) = ∑ ∑ A ij x i f ( j ) = ∑ ∑ A ij L (i , j )(x )
i =1 j =1
i =1 j =1
1.4. ISOMORPHISMES D’ESPACES VECTORIELS
7
i
donc : L = ∑ni=1 ∑m
j =1 A j L (i , j ) , et la décomposition est unique puisque :
n
m
m
m
j =1
j =1
L = ∑ ∑ C ij L (i , j ) ⇒ L (e (i )) = ∑ C ij f ( j ) = ∑ A ij f ( j )
i =1 j =1
( 1 ≤ i ≤ n)
d’où, par unicité de la décomposition des L (e (i )) dans la base B F :
C ij = A ij
(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m )
1.4 Isomorphismes d’espaces vectoriels
(3)
Intuitivement, un isomorphisme d’espaces vectoriels est une bijection
L ∶ E ↦ F permettant d’identifier deux espaces vectoriels E et F . Pour que cette
identification respecte la structure d’espace vectoriel, l’image de toute combinaison linéaire d’éléments de E doit être la combinaison linéaire correspondante de leurs images dans F , autrement dit L doit être linéaire (Définition
1.3.1) :
Définition 1.4.1 On dit que deux espaces vectoriels E et F sont « isomorphes »
lorsqu’il existe une bijection linéaire de E dans F .On appelle « isomorphisme d’espace vectoriel » toute bijection linéaire d’un espace vectoriel dans un autre.
Exemple 1.4.1 L’application de Rn dans M R (1×n ) qui à tout n-uplet (x 1 , . . . , x n )
fait correspondre la matrice [x 1 , . . . , x n ] est un isomorphisme naturel de Rn sur
M R (1 × n ).
t L’isomorphisme analogue de Rn sur M R (n × 1) est celui utilisé systématiquement dans
la pratique du calcul matriciel pour identifier vecteurs de Rn et matrices colonnes (Voir :
§1.2).
Exemple 1.4.2 Si E et F sont de dimensions finies, respectivement n et m, l’application de L (E , F ) dans M R (m, n ) qui, à toute application linéaire de E dans
F , fait correspondre sa matrice dans des bases prescrites de E et de F , est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Deux espaces vectoriels isomorphes peuvent en fait être regardés comme
deux copies d’un même modèle mathématique. En particulier ils ont la même
dimension :
Proposition 1.4.1 Si L ∶ E ↦ F est un isomorphisme d’espace vectoriel, E est de
dimension finie, et {e (1), . . . , e (n )} est une base de E , {L ( e (1)) , . . . , L (e (n ))}
est une base de F . En particulier, E et F ont même dimension.
3. Isomorphisme : du Grec : « ι σoς » « égal », et : « µoρφη » « forme ».
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
8
Preuve : Puisque L est surjective , tout vecteur y de F est l’image d’un vecteur
x = ∑ni=1 x i e (i ) , donc s’écrit : y = ∑ni=1 x i L (e (i )) , et cette décomposition est
unique, puisque, L étant également injective :
n
n
n
i =1
i =1
i =1
y = ∑ ξi L (e (i )) ⇒ y = L ( ∑ ξi e (i )) ⇒ x = ∑ ξi e (i )
d’où, par unicité de la décomposition de x dans la base {e (1), . . . , e (n )} :
( 1 ≤ i ≤ n)
x i = ξi
Réciproquement, tout espace de dimension finie n est isomorphe à Rn :
Théorème 1.4.1 Si E est un espace de dimension finie, et B = {e (1), . . . , e (n )}
une base de E , l’application :
n
ΛB ∶ Rn ↦ E ∶ (x 1 , . . . , x n ) ↦ ∑ x i e (i )
(1.9)
i =1
est un isomorphisme naturel de Rn sur E , associé au choix de la base B .
Preuve : La linéarité de l’application ΛB est immédiate. Le fait qu’elle soit une
bijection est conséquence directe de l’unicité de la décomposition de tout élément de E dans la base B . Lorsqu’on munit Rn de sa base naturelle, et E de la
base B , la matrice de l’application linéaire ΛB est la « matrice identité d’ordre
n»:
⎛ 1
In = ⎜
⋱
⎝ 0
0 ⎞
⎟
(1.10)
1 ⎠
t Lorsque E est un espace de dimension finie, et B = {e (1), . . . , e (n )} une base de E , on
fera toujours référence dans la suite à l’application ΛB définie par (1.9) comme à « l’isomorphisme naturel » de Rn sur E , « associé » à la base B.
Corollaire 1.4.1 Deux espaces de dimensions finies, de même dimension, sont
toujours isomorphes.
Preuve : Soient E et F deux espaces de dimensions finies, de même dimension, B E = {e (1), . . . , e (n )} une base de E , et B F = { f (1), . . . , f (n )} une base de
F . L’application linéaire :
n
ΛB ○ ΛB −1 ∶ x = ∑ x i e (i ) ∈ E
F
E
i =1
À
ΛB −1
E
est un isomorphisme de E sur F .
(x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn
À
n
∑ x i f (i ) ∈ F
ΛB i =1
F
1.5. RANG D’UNE APPLICATION LINÉAIRE
9
1.5 Rang d’une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels, et L ∶ E ↦ F une application linéaire
de E dans F .
Proposition 1.5.1 L’ensemble : L (E ) = { y ∈ F ∣ y = L (x )} , image de E par L, est
un sous-espace vectoriel de F . Lorsque E est de dimension finie, L (E ) est de dimension finie, au plus égale à la dimension de E .
Preuve : Le fait que L (E ) soit un sous-espace vectoriel de F est une conséquence immédiate de la linéarité de L (Définition 1.3.1) : la condition (1.4) garantit en effet trivialement que L (E ) contient toute combinaison linéaire d’un
nombre quelconque de ses éléments :
n
n
n
i =1
i =1
i =1
∑ x i L (e (i )) = L ( ∑ x i e (i )) ⇒ ∑ x i L (e (i )) ∈ L (E )
Si en outre E est de dimension finie, et B = {e (1), . . . , e (n )} est une base de
E , la collection C des parties de l’ensemble I = {1, . . . , n } définie par :
C = { J ⊂ I ∣ y ∈ L (E ) ⇒ y = ∑ x j L (e ( j ) )}
j ∈J
est finie , et, par hypothèse, contient I . Elle contient donc nécessairement une
partie J minimale au sens de l’inclusion, et l’ensemble : {L (e j )) ∣ j ∈ J } est alors
une base de L (E ). Tout élément de L (E ) s’écrit en effet de manière unique comme
combinaison linéaire des e ( j ) ( j ∈ J ) :
- Par définition de J , il est combinaison linéaire des e ( j ) ( j ∈ J ), et :
∑ x j L (e ( j )) = ∑ y j L (e ( j )) ⇒ x j = y j ( j ∈ J )
j ∈J
j ∈J
car si l’un des x j était distinct de y j , le vecteur L (e ( j )) correspondant serait
combinaison linéaire des L (e (k ) (k ∈ J , k ≠ j ), ce qui contredirait la minimalité
de J .
Définition 1.5.1 Lorsque E est de dimension finie, on appelle « rang » d’une application linéaire L ∶ E ↦ F , et on note : « rang (L ) », la dimension du sous-espace
L (E ) de F :
rang (L ) = dim L (E )
(1.11)
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
10
Théorème du rang
Définition 1.5.2 On appelle « noyau » d’une application linéaire L ∶ E ↦ F , et on
note : « ker L », l’image réciproque par L du zéro de F
ker L = L −1 (0F ) = {x ∈ E ∣ L (x ) = 0F }
(1.12)
Théorème 1.5.1 Lorsque E est de dimension finie : dim E = n, la somme des dimensions du noyau et de l’image de toute application linéaire L ∶ E ↦ F est n :
dim E = dim(ker L ) + dim L (E )
(1.13)
Corollaire 1.5.1 Si : rang (L ) = dim E , L est injective.
Corollaire 1.5.2 Si E et F sont deux espaces de dimensions finies, de même dimension, toute injection linéaire de E dans F est une bijection.
Preuve : Si L ∶ E ↦ F est injective : dim(ker L ) = 0 , et le théorème du rang implique : dim L (E ) = dim E = dim F , donc : L (E ) = F .
Exemple 1.5.1 Pour tout polynôme P , l’équation différentielle :
y ′ (x ) = y (x ) + P (x )
a une unique solution polynômiale de même degré que P .
Preuve : L’application L ∶ Rn [x ] ↦ Rn [x ] ∶ Q ↦ Q ′ − Q est une injection linéaire.
Rang d’une matrice
Définition 1.5.3 On appelle « espace image », ou, simplement « image », d’une
m × n matrice A , et on note « imA » le sous-espace Λ( Rn ) de Rm où Λ est l’application linéaire : Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x .
Définition 1.5.4 On appelle « rang » d’une m × n matrice réelle A, et on note
rang ( A ) , le rang de l’application linéaire Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x , c’est-à-dire la
dimension du sous-espace : imA = Λ( Rn ) de Rm .
Proposition 1.5.2 Soient E et F deux espaces de dimensions finies. Le rang de
la matrice de toute application linéaire L ∶ E ↦ F dans des bases prescrites quelconques de E et de F est le rang de L.
1.5. RANG D’UNE APPLICATION LINÉAIRE
11
Preuve : Soient B E = {e (1), . . . , e (n )} et B F = { f (1), . . . , f (m )} des bases respectives de E et de F , et A la matrice de L dans ces bases (Définition 1.3.2).
Les coordonnées y 1 , . . . , y m dans la base B F de l’image par L de tout vecteur :
x = ∑ni=1 x i e (i ) sont calculées par le produit scalaire (1.7), autrement dit l’application linéaire : Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x se décompose sous la forme :
Λ ∶ (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn
À
n
m
∑ x i e (i ) ∈ E À ∑ y j f ( j ) ∈ F
ΛB E i =1
L j =1
À
( y 1 , . . . , y m ) ∈ Rm
ΛB −1
F
où : ΛB E ∶ Rn ↦ E , et : ΛB F ∶ Rm ↦ F sont les isomorphismes naturels de Rn et
R m sur E et F respectivement, associés aux bases respectives B E et B F de E et
de F (Théorème 1.4.1), c’est-à-dire : Λ = ΛB −1 ○ L ○ ΛB .
F
E
Puisque la restriction de ΛB −1 à L ○ ΛB ( Rn ) est un isomorphisme du sousF
E
espace L ○ ΛB ( Rn ) de F sur son image dans Rn :
E
dim ΛB −1 [L ○ ΛB ( Rn )] = dim [ L ○ ΛB ( Rn )]
F
E
E
(1.14)
(Proposition 1.4.1), et, puisque ΛB E est un isomorphisme de Rn sur E :
dim [ L ○ ΛB ( Rn )] = dim L (E )
(1.15)
E
(Proposition 1.4.1). Finalement, en combinant (1.14) et (1.15) :
rang (Λ) = dim ΛB −1 [ L ○ ΛB ( Rn )] = dim [L ○ ΛB ( Rn )] = dim L (E ) = rang (L )
F
E
E
Noyau d’une matrice
Définition 1.5.5 On appelle « noyau » d’une m × n matrice réelle A, et on note
« ker A » le noyau de l’application linéaire Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x , c’est-à- dire
l’ensemble :
ker A = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x = 0 Rm }
(1.16)
des solutions du système d’équations linéaires : (S) A ⋆ x = 0 Rm , x ∈ Rn ?
Du théorème du rang (Théorème 1.5.1) appliqué à Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x ,
il résulte immédiatement :
Proposition 1.5.3 Pour toute m × n matrice réelle A :
dim (ker A ) + rang ( A ) = n
(1.17)
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
12
Calcul explicite du rang
Théorème 1.5.2 On ne change pas le rang d’une matrice en ajoutant à une ligne
ou à une colonne une combinaison linéaire des autres
Preuve : Soient A une m × n matrice réelle quelconque, et B = {e (1), . . . , e (n )}
une base de Rn . L’image de Rn par l’application linéaire : Λ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A ⋆ x
est l’ensemble :
n
n
i =1
i =1
L (Λ) = { A ⋆( ∑ x i e (i ) ∣ (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn } = {∑ x i A ⋆ e (i ) ∣ (x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn }
des combinaisons linéaires des A ⋆ e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n). Lorsque B est la base naturelle de Rn , les A ⋆ e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n) sont les colonnes de la matrice A, et on ne
change pas l’ensemble des combinaisons linéaires des A ⋆ e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n), donc
on ne change pas le rang de A (Définition 1.5.4) en ajoutant à l’une d’entre-elles
une combinaison linéaire des autres.
Le noyau de l’application Λ est le sous espace :
ker(Λ) = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x = 0R m }
des solutions du système homogène d’équations linéaires de matrice A :
(S) A ⋆ x = 0 Rm ,
x ∈ Rn ?
On ne change pas le noyau, donc on ne change pas le rang de l’application linéaire Λ (Théorème 1.5.1) en ajoutant à une équation de ce système une combinaison linéaire des autres, donc en ajoutant à une ligne de la matrice A une
combinaison linéaire des autres.
La méthode de calcul du rang d’une n × n matrice réelle donnée A est un
algorithme itératif utilisant le théorème 1.5.2 pour transformer, à chaque étape,
la matrice A en une matrice A + de même format que A , obtenue en ajoutant
à une ligne ou une colonne de A une combinaison linéaire des autres, jusqu’à
ce que la dimension du noyau de l’application linéaire Λ+ ∶ Rn ↦ Rm ∶ x ↦ A + ⋆ x
apparaisse de manière évidente . On se contentera ici de détailler un exemple
élémentaire dans lequel le résultat est obtenu après une seule opération :
⎛ 1 2 3 ⎞
Exemple 1.5.2 A = ⎜ 4 5 6 ⎟ ⇒ rang ( A ) = 2 .
⎝ 8 7 6 ⎠
– Travail sur les lignes L i ( 1 ≤ i ≤ 3) :
⎛ 1 2 3 ⎞ L1
A = ⎜ 4 5 6 ⎟ L2
⎝ 8 7 6 ⎠ L3
3 ⎞ L1 ↦ L+
⎛ 1 2
1
A = ⎜ 0 −3 −6 ⎟ L 2 − 4 L 1 ↦ L +
1
⎝ 0 −9 −18 ⎠ L 3 − 8 L 1 ↦ L +3
+
1.6. FORMES LINÉAIRES
13
L’ensemble des solutions du système homogène de matrice A + est clairement de dimension un : la dernière équation est redondante et une nouvelle étape ( L 3 − L 2 ↦ L 3 ) la ferait disparaître. L’ensemble des solutions est
la droite vectorielle de R3 dirigée par le vecteur (1, −2, , 1) :
ker A + = {(x 1 , x 1 , x 3 ) ∈ R3 ∣ x 1 = x 3 , x 2 = −2 x 3 }
Du théorème du rang (Théorème 1.5.1), on déduit : rang ( A ) = 2 .
– Travail sur les colonnes C i ( 1 ≤ i ≤ 3) :
C1
⎛ 1
A=⎜ 4
⎝ 8
C2
2
5
7
C3
3 ⎞ L1
6 ⎟ L2
6 ⎠ L3
C 1+
⎛ 1
+ ⎜ 4
A =
⎝ 8
C 2+ C 3+
0
0 ⎞ C 1 ↦ C 1+
−3 −6 ⎟ C 2 − 2C 1 ↦ C 2+
−9 −18 ⎠ C 3 − 3C 1 ↦ C 3+
Pour un résultat identique : cette fois l’ensemble des solutions du système
homogène de matrice A + est la droite vectorielle de R3 dirigée par le vecteur
(0, −2, 1) :
ker A + = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ R3 ∣ x 1 = 0, x 2 = −2 x 3 }
t Pour le calcul du rang, il est possible de travailler simultanément sur les lignes et les
colonnes. Il est ausi possible de permuter deux lignes ou deux colonnes.
1.6 Formes linéaires
Définition 1.6.1 On appelle « forme linéaire » sur un espace vectoriel E toute
application linéaire de E dans R.
L’espace R est toujours implicitement supposé muni de la base réduite au
seul réel « 1 ». Lorsque E est un espace de dimension finie, et B = {e (1), . . . , e (n )}
une base de E , on dit que la matrice d’une forme linéaire ℓ ∶ E ↦ R dans les
bases B et {1} est la matrice de ℓ « dans la base B ».
Exemple 1.6.1 On appelle « projection » de Rn sur le i ème espace facteur la forme
linéaire :
p i ∶ Rn ↦ R ∶ x = (x 1 , . . . , x n ) ↦ x i
( 1 ≤ i ≤ n)
(1.18)
Sa matrice dans la base naturelle de Rn est la 1 × n matrice dont tous les termes
sont nuls sauf le i ème qui vaut un.
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
14
Exemple 1.6.2 L’application tr ∶ M R (n ) ↦ R qui, à toute n × n matrice réelle A
associe sa trace : trA = ∑ni=1 A ii est une forme linéaire sur M R (n ). En classant les
n 2 matrices M (i , j ) ( 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) de la la base naturelle de M R (n ) dans
l’ordre lexicographique (4), sa matrice, de format 1 × n 2 , s’obtiendrait en écrivant
bout à bout les n lignes de la matrice identité d’ordre n 2 .
Représentation matricielle
En identifiant tout n-uplet x = (x 1 , . . . , x n ) de réels à une n × 1 matrice, on
peut écrire, si E est un espace de dimension finie, ℓ ∶ E ↦ R une forme linéaire
sur E , et B = {e (1), . . . , e (n )} une base de E :
n
n
i =1
i =1
l ( ∑ x i e (i )) = ∑ x i l (e (i )) = x ′ ⋆ a = a ′ ⋆ x
(1.19)
où : a = (ℓ(e (1)), . . . , ℓ(e (n ))) .
Hyperplans
Définition 1.6.2 On appelle « hyperplan« d’un espace vectoriel E tout sousespace vectoriel H de E de « codimension » un, c’est-à-dire distinct de E , et tel
que, pour tout vecteur v de E n’appartenant pas à H :
H + R v = {x + ξv ∣ x ∈ H , ξ ∈ R} = E
(1.20)
t Lorsque H est un sous-espace vectoriel d’un espace de dimension finie E ne contenant
pas v, (1.20) équivaut à dire que, pour toute base B de H , B ∪ { v } est une base de E .
Si E est de dimension n, les hyperplans de E sont donc simplement les sous-espaces
vectoriels de E de dimension n − 1.
Proposition 1.6.1 H est un hyperplan de l’espace vectoriel E si et seulement si
H = ℓ−1 (0), où ℓ est une forme linéaire non identiquement nulle sur E .
Preuve : Soient H un hyperplan de E , et v un élément de E n’appartenant pas
à H . Tout élément de E se décompose, par hypothèse, sous la forme : x + ξ v , où
x est un élément de H et ξ un réel, et cette décomposition est unique puisque,
v n’appartenant pas à H :
x + ξ1 v = y + ξ2 v ⇒ (ξ1 − ξ2 ) v = y − x ∈ H ⇒ ξ1 = ξ2 ⇒ y = x
Ainsi : H = ℓ−1 (0) , où ℓ est la forme linéaire :
ℓ ∶ E ↦ R ∶ x +ξv ↦ ξ
4. (i , j ) < (k, l ) si et seulement si : i < k , ou : i = k et j < l .
1.7. SOUS-ESPACES AFFINES
15
non identiquement nulle puisque : ℓ(v ) = 1. Réciproquemment, si H = ℓ−1 (0),
et v est un élément quelconque de E tel que ℓ(v ) ≠ 0 , tout élément y de E
s’écrit : y = x + ξ v , où :
ξ = ℓ( y ) ℓ(v )−1 , et :
x = y − ξ v ∈ ℓ−1 (0)
Donc H est un hyperplan de E .
Dual d’un espace de dimension finie
Définition 1.6.3 On appelle « dual » algébrique d’un espace vectoriel E l’espace
vectoriel L (E , R) des formes linéaires définies sur E .
Proposition 1.6.2 Tout espace de dimension finie est isomorphe à son dual.
Preuve : Le dual de tout espace E de dimension n est isomorphe à M R (1 × n )
(Exemple 1.4.2), donc de même dimension que E (Corollaire. 1.4.1).
1.7 Sous-espaces affines
Définition 1.7.1 On appelle « sous-espace affine » d’un espace vectoriel E tout
ensemble de la forme :
(F) = v + F = {v + x ∣ x ∈ F }
(1.21)
où F est un sous-espace vectoriel de E , et v un élément donnés dans E . On dit que
F est « sous-jacent » à (F).
t Pour différencier sous-espaces affines et sous-espaces vectoriels, on désignera toujours
les premiers par une majuscule calligraphiée placée entre parenthèses : (F ) pour un
sous-espace, (D) pour une droite, . . . etc, et les seconds par une majuscule d’imprimerie : F , D, . . . etc.
Proposition 1.7.1 Pour tout sous-espace affine (F) d’un espace vectoriel E , il
existe un unique sous-espace vectoriel F sous-jacent à (F). On dit que F est « l’espace sous-jacent », ou simplement le « sous-jacent » de (F).
Preuve : Supposons que F et G soient deux sous-espaces vectoriels de E , tels
que :
v + F = w +G
(1.22)
Puisque G est un sous-espace de E , il contient l’élément nul additif de E , et
(1.22) implique en particulier que w doit appartenir à v + F . Par conséquent,
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
16
w − v doit appartenir à F . Mais alors G = v − w + F est contenu dans F . En inversant les rôles des couples (v, F ) et (w,G ), on conclut à l’inclusion réciproque
de F dans G, et finalement à l’égalité de F et de G.
Définition 1.7.2 On appelle « dimension » d’un sous-espace affine (F) d’un espace de dimension finie E la dimension de l’espace vectoriel sous-jacent à (F) .
Exemple 1.7.1 Pour tout vecteur v dans E , le singleton {v } est un sous-espace
affine dont le sous-jacent est réduit au zéro de E . Sa dimension est zéro.
Hyperplans affines
Définition 1.7.3 On appelle « hyperplan affine » d’un espace vectoriel E , tout
sous-espace affine de E dont le sous-jacent est un hyperplan.
Proposition 1.7.2 Les hyperplans affines de tout espace vectoriel E sont les ensembles de la forme ℓ−1 (c ), où ℓ est une forme linéaire non identiquement nulle
sur E , et c un réel quelconque.
Preuve : De la définition 1.7.1 combinée à la proposition 1.6.1, il résulte que
(H) est un hyperplan affine si et seulement si il existe une forme linéaire ℓ ∶ E ↦ R ,
non identiquement nulle, telle que :
(H) = v + ℓ−1(0) = ℓ−1 ○ ℓ (v )
Equation d’un hyperplan affine
Définition 1.7.4 On appelle « équations » d’une partie S d’un espace de dimension finie E dans une base B = {e (1), . . . , e (n )} de E tout système d’équations :
(S) F j (x 1 , . . . , x n ) = 0
( 1 ≤ j ≤ m)
(1.23)
tel que : x = ∑ni=1 x i e (i ) appartienne à S si et seulement si (x 1 , . . . , x n ) est solution de (S) .
t Une même partie S de E peut, en général, être caractérisée, dans une base donnée de
E , par différents systèmes d’équations. Lorsqu’elle peut être caractérisée par une seule
équation : (E) F (x1 , . . . , xn ) = 0 , tout système d’équations non redondant de S est réduit à une seule équation, multiple de (E). On dit alors que (E) est « une équation » de
S, et, lorsqu’elle est écrite sous la forme la plus naturelle, que c’est « l’équation » de S.
1.8. PARTIES CONVEXES D’UN ESPACE VECTORIEL
17
Proposition 1.7.3 Un hyperplan affine (H) d’un espace de dimension finie E
peut être caractérisé, dans toute base B = {e (1), . . . , e (n )} de E , par une équation
de la forme : ∑ni=1 a i x i = c , où c et les a i ( 1 ≤ i ≤ n) sont des réels donnés. Une
équation de l’unique hyperplan H sous-jacent à (H) est alors : ∑ni=1 a i x i = 0 .
Preuve : Si E est un espace de dimension finie, et B = {e (1), . . . , e (n )} une base
quelconque de E , toute forme linéaire ℓ ∶ E ↦ R sur E est caractérisée par :
n
n
i =1
i =1
ℓ ( ∑ x i e (i )) = ∑ a i x i
où : a i = ℓ(e (i )) ( 1 ≤ i ≤ n). Le résultat est donc conséquence de la proposition
1.7.2, et l’unique hyperplan H sous-jacent à (H) est : H = ℓ−1 (0) (Proposition
1.6.1).
Exemple 1.7.2 Un hyperplan affine de R2 est une droite (D). Une équation de
(D) dans une base quelconque de R2 sera de la forme : a 1 x 1 + a 2 x 2 = c.
Exemple 1.7.3 Un hyperplan affine de R3 est un plan (P). Une équation de (P)
dans une base quelconque de R3 sera de la forme : a I x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c.
Exemple 1.7.4 Dans R3 , toute droite affine (D) est l’intersection de deux plans
affines. Des équations de (D) seront donc de la forme :
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = c, et : b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = d
1.8 Parties convexes d’un espace vectoriel
Définition 1.8.1 On dit qu’une combinaison linéaire ∑ni=1 x i e (i ) de n éléments
e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n) d’un espace vectoriel E est une « combinaison convexe », si tous les
x i ( 1 ≤ i ≤ n) sont positifs ou nuls, et si leur somme vaut un :
n
∑ x i = 1, et : x i ≥ 0 ( 1 ≤ i ≤ n )
(1.24)
i =1
Définition 1.8.2 On dit qu’une partie C d’un espace vectoriel E est « convexe », ou
simplement que c’est « un convexe » de E , lorsque C contient toute combinaison
convexe d’un nombre quelconque d’éléments de C .
Exemple 1.8.1 Tout sous-espace affine d’un espace vectoriel E (un ensemble réduit à un point, une droite, un hyperplan,. . . etc) est convexe.
18
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
Caractérisation des parties convexes
Définition 1.8.3 Pour tout couple (x, y ) d’éléments d’un espace vectoriel E , on
appelle « segment joignant x à y dans E », et on note [ x, y ] , l’ensemble des combinaisons convexes de x et de y :
[ x, y ] = {t x + (1 − t ) y ∣ 0 ≤ t ≤ 1}
(1.25)
Théorème 1.8.1 Une partie C d’un espace vectoriel E est convexe si et seulement
si elle contient le segment joignant deux quelconques de ses points :
x ∈ C , y ∈ C ⇒ [ x, y ] = {t x + (1 − t ) y ∣ 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ C
(a) Un ensemble convexe
(1.26)
(b) Un enemble non convexe
Preuve : Par définition, toute partie convexe doit contenir toute combinaison
convexe de deux quelconques de ses éléments (Définition 1.8.2), donc vérifier
(1.26). Réciproquement, soient C une partie quelconque de E vérifiant (1.26),
n un entier non nul, et e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n) n éléments quelconques de C . Montrons
que le plus grand entier m compris entre 1 et n, tel que C contienne toute combinaison convexe des e (i ) ( 1 ≤ i ≤ m) est égal à n :
+1
Sinon il devrait exister une combinaison convexe : x = ∑m
i =1 x i e (i ) des m + 1
premiers e (i ) n’appartenant pas à C , et cette combinaison convexe devrait nécessairement être telle que : 0 < x m +1 < 1 . Par définition de m, la combinaison
−1
convexe : y = ∑m
i =1 x i (1 − x m +1 ) e (i ) des e (i ) ( 1 ≤ i ≤ m) appartiendrait alors
à C , mais pas : x = x m +1 e (m + 1) + (1 − x m +1 ) y , contredisant ainsi (1.26).
Donc : m = n, et C contient toute combinaison convexe des e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n).
le résultat valant pour tout entier n et tout choix des e (i ) ( 1 ≤ i ≤ n) dans C , C
est convexe (Définition 1.8.2).
1.9. QUELQUES PARTIES CONVEXES REMARQUABLES
19
Corollaire 1.8.1 Toute intersection d’ensembles convexes est convexe.
Enveloppe convexe
Définition 1.8.4 On appelle « enveloppe convexe » d’une partie S d’un espace vectoriel E l’ensemble des combinaisons convexes d’éléments de E . On note : « co S »
l’enveloppe convexe de S.
Exemple 1.8.2 Tout segment [ a, b ] (Définition 1.8.3) est l’enveloppe convexe
de ses extrémités : [ a, b ] = co {a, b } .
Exemple 1.8.3 Dans R2 , le triangle (T ) de sommets : O = (0, 0) , A = (0, 1) , et :
B = (1, 0) est l’enveloppe convexe de ses sommets : (T ) = co {O, A, B }
Définition 1.8.5 On appelle « simplexe » l’enveloppe convexe de toute partie finie
d’un espace vectoriel.
Exemple 1.8.4 Un triangle, un rectangle, un trapèze de R2 , un cube de R3 , . . . etc
sont des simplexes.
1.9 Quelques parties convexes remarquables
Demi-espaces
Définition 1.9.1 Pour toute forme linéaire ℓ ∶ E ↦ R sur un espace vectoriel E ,
non identiquement nulle, et toute constante rélle c, on appelle « demi-espaces »
« ouverts » (resp. « fermés ») délimités par l’hyperplan : (H) = ℓ−1 (c ) , les ensembles :
(H)+ = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) > c }, e t ∶ (H)− = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) < c }
(1.27)
respectivement :
(H)+ = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) ≥ c }, e t ∶ (H)− = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) ≤ c }
(1.28)
Proposition 1.9.1 Tout demi-espace est convexe.
Preuve : Pour toute forme linéaire ℓ ∶ E ↦ R , et tout réel c, (H)+ = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) > c }
est convexe puisque :
x, y ∈ (H)+, 0 ≤ t ≤ 1
⇒ ℓ ( t x + (1 − t ) y ) = t ℓ(x ) + (1 − t ) ℓ( y ) > t c + (1 − t ) c = c
⇒ t x + (1 − t ) y ∈ (H)+
CHAPITRE 1. ELÉMENTS D’ALGÈBRE ET NOTATIONS
20
(Théorème 1.8.1). Le résultat analogue pour (H )+ est obtenu en remplaçant l’inégalité stricte par une inégalité large. Finalement :
(H)− = {x ∈ E ∣ − ℓ(x ) > −c } et : (H )− = {x ∈ E ∣ − ℓ(x ) ≥ −c }
sont également convexes.
Polyèdres
(5)
Définition 1.9.2 On appelle polyèdre d’un espace vectoriel E toute intersection
finie de demi-espaces fermés de E .
Exemple 1.9.1 Dans R2 , le triangle : T = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x i ≥ 0, i = 1, 2, x 1 + x 2 ≥ 1}
est un polyèdre, intersection de trois demi-espaces fermés.
Plus généralement, si A est une m × n matrice réelle quelconque, et b un
élément quelconque de Rm , l’ensemble : S = {x ∈ Rn ∥ A ⋆ x ≤ b } est un polyèdre
de Rn , intersection de m demi-espaces fermés.
Proposition 1.9.2 Tout polyèdre est convexe
Preuve : C’est une intersection de convexes donc un convexe (Corollaire 1.8.1).
Cônes
Définition 1.9.3 Si x est un élément quelconque d’un espace vectoriel E , on appelle « cône de sommet x » toute partie C de E telle que :
y ∈ C , t > 0 ⇒ x + t (y − x ) ∈ C
(1.29)
Exemple 1.9.2 Pour tout sous-espace affine (F) d’un espace vectoriel quelconque
E , et tout élément x de (F) , (F) est un cône de sommet x.
Exemple 1.9.3 Dans Rn, le « cône positif » : C = {(x 1 , . . . , x n ) ∈ Rn ∣ x i ≥ 0 ( 1 ≤ i ≤ n )}
est un cône convexe dont le sommet est le zéro de Rn .
Définition 1.9.4 Pour toute partie S et tout élément x de E , on dit que le cône :
K = x + ] 0, +∞[ (S − x ) = {x + t ( y − x ) ∣ t ≥ 0, y ∈ S }
est le cône de sommet x « engendré par S ».
5. Du grec : πoλυǫδρoν, de πoλυς : « beaucoup », et : ǫδρα : « base », ou : « face ».
(1.30)
CHAPITRE 1. EXERCICES
21
Exemple 1.9.4 Pour tout couple d’éléments x et y d’un espace vectoriel E , on appelle « demi-droite » « issue » de x et « dirigée » par y le cône de sommet x engendré
par le singleton { y }
Exemple 1.9.5 Le cône positif de R3 (Exemple 1.9.3) est le cône de sommet 0 R3
engendré par le simplexe : S = co {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} (Définition 1.8.5).
Proposition 1.9.3 Pour toute partie convexe C et tout élément x de E , le cône de
sommet x engendré par C est convexe.
Fig. 1.1 – Cône convexe de sommet O de R2 , engendré par
une partie S non convexe de R2 .
t Le cône de la figure 1.1 est l’intersection de deux demi-espaces limités par les droites
tangentes à S issues de O. Chacun de ces demi-espaces est ouvert ou fermé selon que
l’on considère que le point de contact de la tangente qui le délimite appartient ou non
à S.
Exercices
Exercice 1.1
Trouver, avec le moins de calculs possibles, le rang des matrices :
⎛ 1
1 −1 ⎞
⎛ 0
⎜ 2
A = ⎜ −1 0
1 ⎟ B =⎜
⎜ 1
⎝ 1 −1 0 ⎠
⎝ −1
1
1
2
0
0
1
1
0
−1 1
−1 −3
Réponse: rang A = 2 , rang B = 3 , rang C = 2 .
⎞
⎛ 1 2
⎟
⎜ 2 3
⎟ C =⎜
⎟
⎜ 3 4
⎠
⎝ 4 5
3
4
5
6
4
5
6
7
5
6
7
8
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
CHAPITRE 1. EXERCICES
22
Exercice 1.2
Quelle est l’équation de l’unique plan affine de R3 passant par les points :
A = (1, 2, 3) , B = (2, 3, 1) , C = (1, 1, 1) ?
Réponse: 4 x 1 − 2 x 2 + x 3 = −3.
Exercice 1.3
Soient E un espace vectoriel, ℓ ∶ E ↦ R une forme linéaire sur E , et c une
constante réelle quelconques. Prouver que, si une partie convexe C de E ne
rencontre pas l’hyperplan affine : (H) = ℓ−1 (c ) , elle est toute entière contenue dans l’un des demi-espaces ouverts :
(H)+ = {x ∈ E ∣ ℓ(x ) > c }, ou :
(H)− = {x ∈ Rn ∣ ℓ(x ) < c }
Exercice 1.4 (Sommets d’un polyèdre)
Pour tout polyèdre S = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ b } , où A est une m × n matrice réelle,
et b un vecteur de Rm donnés, et tout point x de S, on note :
J A (x ) = { j ∈ {1, 2, . . . , m } ∣ ( A ⋆ x − b ) j = 0}
(6)
1. On suppose : S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x 1 + x 2 ≥ 1, x i ≥ 0, i = 1, 2}
a. Représenter graphiquement cet ensemble.
b. Déterminer A et b tels que : S = {x ∈ R2 ∣ A ⋆ x ≤ b } .
c. Discuter, en fonction de la position du point : x = (x 1 , x 2 ) dans S, la valeur de l’entier ∣ J A (x )∣ .
2. Dans le cas général, vérifier que, pour tout point x dans S, les six assertions
suivantes sont équivalentes :
(a) x∈/ co (S /{x })
(b) S/{x} est convexe.
(c) x n’appartient à aucun segment [ y, z ] contenu dans S pour lequel y et z
sont distincts de x.
(d) Il n’existe aucun vecteur v dans Rn tel que : x + v , et : x − v appartiennent à S.
6. Un point astreint à rester dans S est un point assujeti à vérifier m inégalités. Dans le language de l’Optimisation, m « contraintes » d’inégalité linéaires. L’ensemble J A (x ) s’interprète
alors comme l’ensemble des indices des contraintes « saturées » au point x.
CHAPITRE 1. EXERCICES
23
(e) Il n’existe aucun vecteur v de Rn tel que :
∣( A ⋆ v ) j ∣ ≤ (b − A ⋆ x ) j
( 1 ≤ j ≤ m)
(1.31)
(f) Il n’existe aucun vecteur v dans Rn tel que :
j ∈ J A (x ) ⇒ ( A ⋆ v ) j = 0
(1.32)
3. On dit qu’un élément a de S est un « sommet » de S si il n’appartient pas à
l’enveloppe convexe de S /{a }.
a. Déduire de la question précédente que a est un sommet de S si et seulement si la matrice A (x ) obtenue en supprimant de A les lignes dont
(7)
l’indice n’appartient pas à J A (x ) est de rang n ≤ m.
b. Quels sont les sommets de : S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x 1 + x 2 ≥ 1, x i ≥ 0, i = 1, 2} ?
de : S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ x 1 + x 2 ≤ 1, x i ≥ 0, i = 1, 2} ?
Exercice 1.5 (Simplexes)
On se propose de montrer qu’un polyèdre S = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ b } non vide
ne contenant aucune demi-droite est un simplexe , et qu’il est l’enveloppe
convexe de ses sommets (Voir Exercice 1.9.3) (8) . A cette fin, on associe à tout
point x de S l’ensemble :
J A (x ) = { j ∈ {1, 2, . . . , m } ∣ ( A ⋆ x − b ) j = 0}
et la matrice A (x ) obtenue en supprimant de A les lignes dont l’indice n’appartient pas à J A (x ), avec la convention :
« Si J A (x ) est vide, A (x ) = [ ] est la matrice vide, de rang zéro »
et on considère la propriété :
P(k ) ∶ « Tout point x de S en lequel : rang A (x ) = k (s’il en existe) appartient à l’enveloppe convexe des sommets de S »
1. On suppose P(k ) vraie pour un indice k donné(1 ≤ k ≤ n), et on considère
un point donné x dans S tel que : rang A (x ) = k − 1.
a. Pourquoi a-t-on nécessairement : ker A (x ) ≠ {0 Rn } ?
b. On choisit un vecteur v non nul dans ker A (x ). Prouver que si S ne
contient aucune demi-droite, il existe nécessairement un réel strictement positif t 1 et un réel strictement négatif t 2 tels que :
rang A (x + t i v ) = k
(i = 1, 2)
7. Dans le language de l’Optimisation : « La matrice des contraintes saturées au point a ».
8. On montrera ultérieurement que tout simplexe est un polyèdre ne contenant aucune demidroite : il y a donc en fait identité entre « simplexes » et « polyèdres ne contenant aucune demidroite ».
CHAPITRE 1. EXERCICES
24
c. Ecrire x comme combinaison convexe de : x + t 1 v , et de : x + t 2 v . Déduire qu’il appartient à l’enveloppe convexe des sommets de S.
d. Conclure que P(k − 1) est vraie.
(9)
2. Déduire alors du résultat de l’exercice 1.9.3 , que, si S est un polyèdre non
vide ne contenant aucune demi-droite, P(k ) est vraie pour tout entier k de
0 à m. Conclure.
3. Prouver finalement que S ne contient aucune demi-droite si et seulement
si le cône : C = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ 0} ne contient pas d’autre élément que le
zéro de Rn .
4. Conclure qu’un polyèdre non vide : S = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ b } est l’enveloppe
convexe de ses sommets si et seulement si : C = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x ≤ 0} = {0 Rn } .
Que peut-on dire alors du rang de la matrice A ?
Exercice 1.6 (Problèmes de « Programmation Linéaire »)
Un problème de programmation linéaire est un problème qui consiste à minimiser (ou maximiser) une forme linéaire sur un polyèdre . Cet exercice traite
un exemple élémentaire de problème de programmation linéaire :
(P)
(3 x1 + x2 )
Min
s.c. 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 24
4 x1 − x2 ≥ 8
−x 1 + 2 x 2 ≥ 0
x i ≥ 0, i = 1, 2
1. Prouver que :
S = {(x 1 , x 2 ) ∈ R2 ∣ 3 x 1 +2 x 2 ≤ 24, 4 x 1 − x 2 ≥ 8, − x 1 +2 x 2 ≥ 0, x i ≥ 0, i = 1, 2}
est un simplexe non vide.
2. Déduire que, pout tout (x 1 , x 2 ) dans S, il existe un sommet (a 1 , a 2 ) de S tel
que : 3 a 1 + a 2 ≤ 3 x 1 + x 2 .
3. Montrer que S a au plus : C 52 = 10 sommets. Déduire que l’un de ces sommets est solution de (P).
4. Trouver tous les sommets de S et résoudre (P).
Réponse: La solution est : (
16 8
, ).
7 7
9. « x est un sommet de S si et seulement si : rang A (x ) = n », autrement dit : si « P(n ) est
vraie ».
CHAPITRE 1. EXERCICES
25
Exercice 1.7 ( ∗)
On dispose d’un stock de barres d’aluminium de six mètres. Un chantier nécessite 126 longueurs de 2m60, 60 longueurs de 2m10, et 72 longueurs de
1m10. Combien de barres de six mètres seront elles nécessaires ? Une stratégie naïve consiste à couper 63 barres de 6m. en deux longueurs de 2m10
et une chute de 80cm, puis 30 barres de 6m. en deux longueurs de 2m10,
récupérer les 30 chutes de 1.80m pour couper 30 longueurs de 1.10m, et, finalement couper les 42 longueurs manquantes de 1.10m dans 9 barres de
6m. supplémentaires, pour un total de 102 barres. Peut-on faire mieux ?
Pour répondre à cette question on considère la matrice :
⎛ 2 1 1 0 0 0 ⎞
⎜ 0 1 0 2 1 0 ⎟
⎝ 0 1 3 1 3 5 ⎠
Chaque colonne de cette matrice correspond à une stratégie de découpe : la
première colonne correspond à la découpe de deux longueurs de 2.60m dans
une barre de 6m, laissant une chute de 80cm, la seconde à la découpe d’une
longueur de 2m60, d’une longueur de 2m10, et d’une longueur de 1.10m,
laissant une chute de 20cm, . . . etc.
Le problème posé peut alors être formalisé comme le problème de programmation linéaire :
6
(P)
Min
s.c.
( ∑ xi )
i =1
2 x 1 + x 2 + x 3 ≥ 126
x 2 + 2 x 4 + x 5 ≥ 60
x 2 + 3 x 3 + x 4 + 3 x 5 + 5 x 6 ≥ 72
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ≤ 102
x i ≥ 0 (i = 1..6)
que l’on récrit formellement :
(P)
Min
ℓ(x )
s.c. A ⋆ x ≤ b
où ℓ est la forme linéaire : ℓ ∶ R6 ↦ R ∶ x = (x 1 , . . . , x 6 ) ↦ ∑6i =1 x i , A une 10 × 6
matrice réelle, et b un vecteur de R9 .
1. Expliciter A et b.
2. Vérifier que la stratégie de découpe naïve : x = (63, 0, 0, 30, 0, 9) est un sommet du polyèdre : S = {x ∈ R6 ∣ A ⋆ x ≤ b } .
3. En utilisant les résultats de l’exercice 1.9.3, vérifier que S est un simplexe, et
l’enveloppe convexe de ses sommets.
CHAPITRE 1. EXERCICES
26
4. Prouver que S a au plus : C 96 = 84 sommets, et que l’un de ces sommets est
solution de (P).
5. Montrer que si (63, 0, 0, 30, 0, 9) n’est pas solution, un sommet solution devra avoir au moins trois coordonnées nulles.
6. Vérifier que, pour toute solution x = (x 1 , . . . , x 6 ) de (P), x 1 et l’une des trois
coordonnées : x 2 , x 4 , et x 5 doivent être non nuls.
7. Vérifier que S possède un seul sommet dont quatre coordonnées sont nulles
fournissant une meilleure stratégie que la stratégie naïve : (63, 0, 0, 30, 0, 9) .
8. Pour trouver un sommet solution, il reste alors neuf cas à étudier. Lesquels ?
9. O CTAVE propose une fonction prédéfinie : « glpk » permettant de résoudre
un problème de programmation linéaire mis sous la forme, dite « standard » :
(P)
Min
s.c.
c′ ⋆ x
A⋆x = b
x ≥0
en entrant la commande : xopt= glpk(c,A,b).
Découvrez la solution de (P) en entrant sous O CTAVE la suite des commandes :
A=[2 1 1 0 0 0; 0 1 0 2 1 0; 0 1 3 1 3 5];
A=[A -eye(3)]; b=[126 60 72]’;
c=[ones(1,6) zeros(1,3)]’;
xopt=glpk(c,A,b)
Expliquer
(10)
.
Exercice 1.8 ( ∗)
Soient A une p × n et C une q × n matrices réelles, b un vecteur de Rp , et d
un vecteur de Rq .
1. A quelle condition l’ensemble : S = {x ∈ Rn ∣ A ⋆ x = b, C ⋆ x ≤ d } est-il un
simplexe ?
2. Lorsque S est un simplexe, comment trouver ses sommets ?
10. eye(n) retourne la matrice identité d’ordre n