Les nombres complexes

Les nombres complexes
Table des matières
1 Approche historique
2
2 Définition
2
3 Représentation graphique des nombres complexes
3
4 Opérations sur les nombres complexes
4.1 Addition et soustraction de nombres complexes
4.2 Multiplication de nombres complexes . . . . . .
4.3 Inverse d’un nombre complexe non nul : . . . .
4.4 Quotient de nombres complexes . . . . . . . . .
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4
4
4
4
5
5 Forme trigonométrique d’un nombre complexe
5.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . .
5.2 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . .
5.3 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . .
5.4 Propriétés du module et de l’argument : . . . . .
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5
5
6
6
6
6 Notation exponentielle
7
7 Interprétation géométrique
8
8 Résolution d’équations du second degré dans C
8.1 Racine carrée dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Equations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
1
Lycée JB de BAUDRE à AGEN
1
Académie de Bordeaux
Approche historique
L’étude des équations du second degré terminée, les mathématiciens algébristes de la renaissance italienne ont
tenté d’établir une méthode de résolution des équations du troisième degré. C’est-à-dire, déterminer les solutions
de l’équation :
ax3 + bx2 + cx + d = 0 avec a 6= 0
b
permet de se ramener
Remarquons qu’une division par a(non nul), suivie d’un changement de variable X = x +
3a
à l’équation :
X 3 + pX + q = 0.
Puis en posant X = u + v en imposant la condition 3uv = −p, l’équation s’écrit finalement :

 u3 + v 3 = −q
p3

u3 v 3 = −
27
qui revient à résoudre un problème du second degré. ✍
En 1545, Jérôme Cardan (Giordano Cardano de son vrai nom) publie dans son livre Ars Magna ✍ , des formules
de résolution
d’une équationsde la forme X 3 = pX + q. On démontre que si 27q 2 + 4p3 ≥ 0, alors le réel
s
r
r
27q 2 + 4p3
27q 2 + 4p3
q
q
3
3
α= − +
+ − −
est une solution de l’équation.
2
4 × 27
2
4 × 27
Bombelli applique ce résultat dans le cas où 27q 2 + 4p3 ≤ 0. Il introduit pour cela, un nombre dont le carré est
égal à -1 (Euler trois siècles plus tard, le notera i).
Ainsi écrit-il : −121 = 121i2 = (11i)2 .
√
√
En appliquant la formule de Cardan à l’équation x3 = 15x + 4, on obtient pour solution α = 3 2 + 11i + 3 2 − 11i.
En remarquant que (2 + i)3 = 2 + 11i et (2 − i)3 = 2 − 11i, on trouve la solution α = 2 + i + 2 − i = 4.
2
Définition
Il
–
–
–
–
existe un ensemble de nombres noté C,contenant R, appelé ensemble des nombres complexes tels que :
C contient tous les nombres réels.
les règles de calculs sur les nombres réels, se prolongent aux nombres complexes.
il existe un nombre noté i tel que i2 = −1.
tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = x + iy,où x et y sont deux nombres réels.
Définition 1 La forme z = x + iy d’un nombre complexe où x et y sont des réels est dite
forme algébrique de z ; le nombre réel x est la partie réelle de z et le nombre réel y
est la partie imaginaire de z.On écrit Re(z) = x et Im(z) = y.
Exemple 1
- Le nombre complexe z = 2 − 4i est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = −4.
√
√
√
√
- Le nombre complexe z = 2 − i 5 est tel que Re(z) = 2 et Im(z) = − 5.
- Le nombre complexe z = −8i est tel que Re(z) = 0 et Im(z) = −8.
- Le nombre complexe z = 10 est tel que Re(z) = 10 et Im(z) = 0.
✍. Si la somme S et le produit P de deux racines x1 et x2 sont connus alors x1 et x2 sont solutions de l’équation X 2 − SX + P = 0.
✍. En fait, il aurait volé les formules à Tartaglia, qui les aurait volées à Scipio Del Ferro...
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- Le nombre complexe z = i + 6 est tel que Re(z) = 6 et Im(z) = 1.
Remarques :
- Si la partie imaginaire de z est nulle alors z est en nombre réel.
- Si la partie réelle de z est nulle, on dit que z est un imaginaire pur.
3
Représentation graphique des nombres complexes
En 1811, Gauss écrivit :
”De même qu’on peut représenter tout le domaine des réels par moyen d’une ligne droite..., de
même on peut se figurer les réels et les imaginaires au moyen d’un plan où chaque point, déterminé
par son abscisse x et son ordonnée y, représente en même temps la quantité x + iy”.
Définition 2 Dans un repère orthonormal (O; ~u; ~v ), le nombre complexe z = x + iy est
représenté par le point M de coordonnées (x; y). On dit que :
- Le point M est le point image du nombre complexe z.
−−→
- Le nombre complexe z = x + iy est l’affixe du point M et du vecteur OM .
M1 (z1 )
M2 (z2 )
b
b
b
O
Le point M1 est l’image du nombre complexe z1 = 3 + 4i et l’affixe de M2 est le nombre complexe z2 = i − 2.
Un point M d’affixe un réel, se trouve sur l’axe des abscisses ; un point M d’affixe un imaginaire pur, se trouve
sur l’axe des ordonnées.
Définition 3 On appelle conjugué de z = x+ iy, noté z̄, le nombre complexe z̄ = x− iy.Les
points images de M (z) et M ′ (z̄) sont donc symétriques par rapport à l’axe des abscisses
(Ox).
M (z)
b
b
O
b
M ′ (z̄)
- Si z est un réel alors z = z̄ et réciproquement.
- Si z est un imaginaire pur alors z = −z̄ et réciproquement.
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Remarquons de plus que quelque soit le nombre complexe z = x + iy, z × z̄ = x2 + y 2 , c’est-à-dire z × z̄ est
toujours un nombre réel.
Définition 4 Soit A et B deux points du plan complexe d’affixes respectives zA et zB . Alors
−−
→
l’affixe du vecteur AB est zB − zA .
Exemple 2 On considère les points A et B d’affixes respectives zA = −3 − i et zB = 4 + 2i.
−−
→
→ = zB − zA = 7 + 3i.
Alors le vecteur AB a pour affixe z−
AB
4
Opérations sur les nombres complexes
Les règles d’opération sur les réels se prolongent naturellement aux nombres complexes.
4.1
Addition et soustraction de nombres complexes
Proposition 1 Soit z1 et z2 deux nombres complexes. Alors :
Addition Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ) et Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ).
Soustraction Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ) et Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ).
Exemple 3 (3 − 3i) + (−1 + 6i) = 2 + 3i ; 8i − (9 + 3i) = −9 + 5i ;...
4.2
Multiplication de nombres complexes
Proposition 2 Soit z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 deux nombres complexes. Alors :
z1 × z2 = (x1 × x2 − y1 × y2 ) + i(x1 × y2 + x2 × y1 )
Cette règle est générale et théorique ; des connaissances sur la distributivité de la classe de quatrième suffisent
pour multiplier deux nombres complexes comme le montrent les exemples suivants.
Exemple 4
– (8 − 3i)(5 + i) = 8 × 5 + 8 × i − 3i × 5 − 3i × i = 40 + 8i − 15i − 3i2 = 43 − 7i car i2 = −1.
– 4i(2 + 2i) = 8i + 8i2 = 8i − 8.
– (4 − i)2 = (4 − i)(4 − i) = 16 − 4i − 4i + i2 = 15 − 8i
Le dernier exemple est une identité remarquable ; elles restent valables dans C.
4.3
Inverse d’un nombre complexe non nul :
Proposition 3 Tout nombre complexe non nul z = x+iy admet un inverse
1
.On a alors :
z
1
1
x − iy
z̄
=
=
= 2
.
z
x + iy
(x + iy) × (x − iy)
x + y2
Exemple 5
1
3 + 2i
3 + 2i
3
2
=
=
=
+ i.
z
(3 − 2i)(3 + 2i)
13
13 13
2−i
2−i
2
i
1
=
= − .
- Soit z = 2 + i alors =
z
(2 + i)(2 − i)
5
5 5
- Soit z = 3 − 2i un nombre complexe. Alors
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4.4
Académie de Bordeaux
Quotient de nombres complexes
Proposition 4 Soit z1 = x1 + iy1 et z2 = x2 + iy2 deux nombres complexes.
Alors :
z1
1
(x1 + iy1 )(x2 − iy2 )
(x1 × x2 − y1 × y2 ) + i(x1 × y2 + x2 × y1 )
= z1 ×
=
=
z2
z2
x2 2 + y 2 2
x2 2 + y 2 2
En pratique, on utilise la règle suivante :
z1 × z¯2
z1 × z¯2
z1
=
=
z2
z2 × z¯2
|z2 |2
On se ramène ainsi à la division par un nombre réel, distributive dans la somme.
Exemple 6
3 + 2i
(3 + 2i)(2 − i)
8+i
1.
=
=
2+i
(2 + i)(2 − i)
5
i(3i − 4)
−3 − 4i
3 + 4i
3i − 4
=
=
=
2.
2i
2i × i
−2
2
Exercice 1
1
1
2 + 3i
− 2i et de X =
+
.
1. Déterminer la forme algébrique de Z = (3 − 4i)2 − (i − 2)2 , de Y =
5i
i+1 i+2
2 + ia
2. Soit a un nombre réel et z le nombre complexe z =
.Pour quelle(s) valeur(s) de a :
1+i
(a) z est un réel ?
(b) z est un imaginaire pur ?
5
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
5.1
Module d’un nombre complexe
Définition 5 Soit z un nombre complexe de la forme z = x + iy où x et y sont deux
p réels.
On appel module de z, noté ρ = |z|, le nombre réel positif ρ défini par ρ = |z| = x2 + y 2 .
Interprétation géométrique : Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal (O; ~u; ~v ) si M est le point
d’affixe z alors |z| = OM .
Remarques :
y
b
ρ
- Si |z| = 0 alors z = 0 et O = M .
θ
- Le module de z est toujours un nombre réel positif.
- z × z̄ = |z|2
M
b
O
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x
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5.2
Académie de Bordeaux
Argument d’un nombre complexe
Dans un repère orthonormal (O; ~u; ~v ), on considère le point M d’affixe z non nulle.
~ ).On note arg(z) = θ + 2kπ
Un argument du nombre complexe z est une mesure en radians de l’angle (~u, OM
~ ) et k ∈ Z.
où θ = (~u, OM
Un nombre complexe non nul a donc une infinité d’argument. L’angle θ est en radians ; dans quelques cas, on
pourra l’exprimer en fonction de π.
L’angle θ vérifie la double relation :
Re(z)
;
|z|
Im(z)
.
- sinθ =
|z|
- cosθ =
5.3
Forme trigonométrique d’un nombre complexe
Un point M dans le plan peut être repéré de deux façons :
~ = x~u + y~v .
Par ses coordonnées cartésiennes x et y telles que OM
~ ) = θ.
Par ses coordonnées polaires ρ et θ telle que OM = ρ et (~u, OM
Définition 6 Le couple (ρ; θ) est la forme trigonométrique de z.On a alors :
z = ρ(cosθ + isinθ) ou z = [ρ; θ].
Exemple 7
√ π
- Le nombre complexe z = 1 + i s’écrit z = [ 2; ] sous forme trigonométrique.
4
√
2π
2π
2π
Le nombre complexe z ′ = [8;
] s’écrit z ′ = 8cos
+ i × 8sin
= −4 + 4i 3 sous forme algébrique.
3
3
3
5.4
Propriétés du module et de l’argument :
- Proposition 5 Pour tout nombre complexe z non nul, on a :
- |z̄| = |z| et arg(z̄) = −arg(z)
- | − z| = |z| et arg(−z) = arg(z) + π
- z est un nombre réel si et seulement si arg(z) = 0 ou arg(z) = π.
π
−π
- z est un imaginaire pur si et seulement si arg(z) = ou arg(z) =
.
2
2
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Académie de Bordeaux
M (z)
y
b
ρ
θ
O
b
x
b
M ′′ (−z)
b
M ′ (z̄)
Proposition 6 Pour tous nombres complexes z et z ′ , on a :
- |z × z ′ | = |z| × |z ′ | et arg(z × z ′ ) = arg(z) + arg(z ′ ).
- pour tout entier n, on a |z n | = |z|n et arg(z n ) = n × arg(z).
z
|z|
z
- | ′ | = ′ et arg( ′ ) = arg(z) − arg(z ′ ).
z
|z |
z
Démonstration : Les deux nombres complexes non nul z et z ′ s’écrivent sous la forme z = ρ(cosθ + isinθ) et
z ′ = ρ′ (cosθ ′ + isinθ ′ ). Donc : z × z ′ = ρ(cosθ + isinθ) × ρ′ (cosθ ′ + isinθ ′ ) = ρρ′ ((cosθcosθ ′ − sinθsinθ ′) +
i(cosθsinθ ′ + cosθ ′ sinθ)) = ρρ′ (cos(θ + θ ′ ) + isin(θ + θ ′ )). Donc le module de z × z ′ est ρρ′ et un argument θ + θ ′ .
6
Notation exponentielle
Considérons la fonction f définie sur R à valeurs dans C par : f (θ) = cosθ + isinθ.
Alors pour tous réels θ et θ ′ , on a f (θ + θ ′ ) = f (θ) × f (θ ′ ). La fonction f vérifie donc la propriété caractéristique
des exponentielles. On écrit donc :
cosθ + isinθ = eiθ
Définition 7 Tout nombre complexe non nul z peut s’écrire sous la forme z = ρeiθ , où ρ
est le module de z et θ un argument de z.Cette forme de z est dite exponentielle.
On peut avec cette notation résumer de nombreuses propriétés des nombres complexes.Elle est en effet compatible
avec les propriétés de l’exponentielle.
Résumé : Pour tous réels θ et θ ′ et tout entier n,on a :
– |eiθ | = 1 et arg(eiθ == θ.
eiθ
′
′
′
– eiθ × eiθ = ei(θ+θ ) ; iθ′ = ei(θ−θ ) ;e¯iθ = e−iθ
e
– (eiθ )n = einθ
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7
Académie de Bordeaux
Interprétation géométrique
Proposition 7 Soit deux points distincts A et B d’affixe respective zA et zB . Alors :
– AB = |zB − zA |
−−
→
\
→
– (−
u , AB) = arg(zB − zA )
Exercice 2 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, on considère les points A, B, C et D
d’affixes respectives zA = 5 + 5i, zB = 3 + 2i, zC = 9 − 2i et zD = 11 + i.
−−→ −−→
1. Déterminer les affixes des vecteurs AD et BC.
2. Déterminer le module et un argument de Z =
3. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.
zB − zA
.
zD − zA
Résolution d’équations du second degré dans C
8
8.1
Racine carrée dans C
Proposition 8 Dans C, le nombre réel a admet deux racines carrées :
√
√
- Si a ≥ 0, les deux racines sont a et − a ;
√
√
- Si a < 0, les deux racines sont i a et −i a.
Exemple 8
– Le nombre −4 admet dans C deux racines −2i et
√
√ 2i.
5 et
– Le nombre −20 admet dans C deux racines −2i
√
√ 2i 5.
– Le nombre 13 admet dans C deux racines − 13 et 13.
8.2
Equations du second degré dans C
Théorème 1 L’équation (E) : ax2√+ bx + c = 0 où a√6= 0 admet :
−b − ∆
−b + ∆
et x2 =
si ∆ > 0 ;
– Deux racines réelles x1 =
2a
2a
b
– Une racine réelle x0 = − si ∆ = 0 ;
2a
√
√
−b + i ∆
−b − i ∆
– Deux racines complexes conjuguées z1 =
et z2 =
si ∆ < 0.
2a
2a
Exemple 9
2
1. Le polynôme P (x)
admet deux racines complexes conjuguées car ∆ = −11. Ces deux racines
√ = z − z + 3 = 0√
1 + i 11
1 − i 11
sont : z1 =
et z2 =
.
2
2
√
√
2. L’équation z 2 + 3 = 0 admet deux racines z1 = i 3 et z2 = −i 3.
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