Les nombres complexes

Les nombres complexes
Table des mati`eres
1 Approche historique 2
2 D´efinition 2
3 Repr´esentation graphique des nombres complexes 3
4 Op´erations sur les nombres complexes 4
4.1 Addition et soustraction de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 Multiplication de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Inverse d’un nombre complexe non nul : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.4 Quotient de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe 5
5.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.3 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4 Propri´et´es du module et de l’argument : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Notation exponentielle 7
7 Interpr´etation g´eom´etrique 8
8 R´esolution d’´equations du second degr´e dans C8
8.1 Racine carr´ee dans C............................................ 8
8.2 Equations du second degr´e dans C.................................... 8
1

Lyc´ee JB de BAUDRE `a AGEN Acad´emie de Bordeaux
1 Approche historique
L’´etude des ´equations du second degr´e termin´ee, les math´ematiciens alg´ebristes de la renaissance italienne ont
tent´e d’´etablir une m´ethode de r´esolution des ´equations du troisi`eme degr´e. C’est-`a-dire, d´eterminer les solutions
de l’´equation :
ax3+bx2+cx +d= 0 avec a6= 0
Remarquons qu’une division par a(non nul), suivie d’un changement de variable X=x+b
3apermet de se ramener
`a l’´equation :
X3+pX +q= 0.
Puis en posant X=u+ven imposant la condition 3uv =−p, l’´equation s’´ecrit finalement :
u3+v3=−q
u3v3=−p3
27
qui revient `a r´esoudre un probl`eme du second degr´e. ✍
En 1545, J´erˆome Cardan (Giordano Cardano de son vrai nom) publie dans son livre Ars Magna ✍, des formules
de r´esolution d’une ´equation de la forme X3=pX +q. On d´emontre que si 27q2+ 4p3≥0, alors le r´eel
α=3
s−q
2+r27q2+ 4p3 4×27 +3
s−q
2−r27q2+ 4p3 4×27 est une solution de l’´equation.
Bombelli applique ce r´esultat dans le cas o`u 27q2+ 4p3≤0. Il introduit pour cela, un nombre dont le carr´e est
´egal `a -1 (Euler trois si`ecles plus tard, le notera i).
Ainsi ´ecrit-il : −121 = 121i2= (11i)2.
En appliquant la formule de Cardan `a l’´equation x3= 15x+ 4, on obtient pour solution α=3
√2 + 11i+3
√2−11i.
En remarquant que (2 + i)3= 2 + 11iet (2 −i)3= 2 −11i, on trouve la solution α= 2 + i+ 2 −i= 4.
2 D´efinition
Il existe un ensemble de nombres not´e C,contenant R, appel´e ensemble des nombres complexes tels que :
–Ccontient tous les nombres r´eels.
– les r`egles de calculs sur les nombres r´eels, se prolongent aux nombres complexes.
– il existe un nombre not´e itel que i2=−1.
– tout nombre complexe zs’´ecrit de mani`ere unique z=x+iy,o`u xet ysont deux nombres r´eels.
D´efinition 1 La forme z=x+iy d’un nombre complexe o`u xet ysont des r´eels est dite
forme alg´ebrique de z; le nombre r´eel xest la partie r´eelle de zet le nombre r´eel y
est la partie imaginaire de z.On ´ecrit Re(z) = xet Im(z) = y.
Exemple 1
- Le nombre complexe z= 2 −4iest tel que Re(z) = 2 et Im(z) = −4.
- Le nombre complexe z=√2−i√5 est tel que Re(z) = √2 et Im(z) = −√5.
- Le nombre complexe z=−8iest tel que Re(z) = 0 et Im(z) = −8.
- Le nombre complexe z= 10 est tel que Re(z) = 10 et Im(z) = 0.
✍. Si la somme Set le produit Pde deux racines x1et x2sont connus alors x1et x2sont solutions de l’´equation X2 −SX +P= 0.
✍. En fait, il aurait vol´e les formules `a Tartaglia, qui les aurait vol´ees `a Scipio Del Ferro...
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- Le nombre complexe z=i+ 6 est tel que Re(z) = 6 et Im(z) = 1.
Remarques :
- Si la partie imaginaire de zest nulle alors zest en nombre r´eel.
- Si la partie r´eelle de zest nulle, on dit que zest un imaginaire pur.
3 Repr´esentation graphique des nombres complexes
En 1811, Gauss ´ecrivit :
”De mˆeme qu’on peut repr´esenter tout le domaine des r´eels par moyen d’une ligne droite..., de
mˆeme on peut se figurer les r´eels et les imaginaires au moyen d’un plan o`u chaque point, d´etermin´e
par son abscisse xet son ordonn´ee y, repr´esente en mˆeme temps la quantit´e x+iy”.
D´efinition 2 Dans un rep`ere orthonormal (O;~u;~v), le nombre complexe z=x+iy est
repr´esent´e par le point Mde coordonn´ees (x;y). On dit que :
- Le point Mest le point image du nombre complexe z.
- Le nombre complexe z=x+iy est l’affixe du point Met du vecteur −−→ OM.
O
M1(z1)
M2(z2)
Le point M1est l’image du nombre complexe z1= 3 + 4iet l’affixe de M2est le nombre complexe z2=i−2.
Un point Md’affixe un r´eel, se trouve sur l’axe des abscisses ; un point Md’affixe un imaginaire pur, se trouve
sur l’axe des ordonn´ees.
D´efinition 3 On appelle conjugu´e de z=x+iy, not´e ¯z, le nombre complexe ¯z=x−iy.Les
points images de M(z)et M′(¯z)sont donc sym´etriques par rapport `a l’axe des abscisses
(Ox).
O
M(z)
M′(¯z)
- Si zest un r´eel alors z= ¯zet r´eciproquement.
- Si zest un imaginaire pur alors z=−¯zet r´eciproquement.
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Remarquons de plus que quelque soit le nombre complexe z=x+iy,zׯz=x2+y2, c’est-`a-dire zׯzest
toujours un nombre r´eel.
D´efinition 4 Soit Aet Bdeux points du plan complexe d’affixes respectives zAet zB. Alors
l’affixe du vecteur −−→ AB est zB−zA.
Exemple 2 On consid`ere les points Aet Bd’affixes respectives zA=−3−iet zB= 4 + 2i.
Alors le vecteur −−→ AB a pour affixe z−→
AB =zB−zA= 7 + 3i.
4 Op´erations sur les nombres complexes
Les r`egles d’op´eration sur les r´eels se prolongent naturellement aux nombres complexes.
4.1 Addition et soustraction de nombres complexes
Proposition 1 Soit z1et z2deux nombres complexes. Alors :
Addition Re(z1+z2) = Re(z1) + Re(z2)et Im(z1+z2) = Im(z1) + Im(z2).
Soustraction Re(z1−z2) = Re(z1)−Re(z2)et Im(z1−z2) = Im(z1)−Im(z2).
Exemple 3 (3 −3i) + (−1 + 6i) = 2 + 3i; 8i−(9 + 3i) = −9 + 5i;...
4.2 Multiplication de nombres complexes
Proposition 2 Soit z1=x1+iy1et z2=x2+iy2deux nombres complexes. Alors :
z1×z2= (x1×x2−y1×y2) + i(x1×y2+x2×y1)
Cette r`egle est g´en´erale et th´eorique ; des connaissances sur la distributivit´e de la classe de quatri`eme suffisent
pour multiplier deux nombres complexes comme le montrent les exemples suivants.
Exemple 4
– (8 −3i)(5 + i) = 8 ×5 + 8 ×i−3i×5−3i×i= 40 + 8i−15i−3i2= 43 −7icar i2=−1.
– 4i(2 + 2i) = 8i+ 8i2= 8i−8.
– (4 −i)2= (4 −i)(4 −i) = 16 −4i−4i+i2= 15 −8i
Le dernier exemple est une identit´e remarquable ; elles restent valables dans C.
4.3 Inverse d’un nombre complexe non nul :
Proposition 3 Tout nombre complexe non nul z=x+iy admet un inverse 1
z.On a alors :
1
z=1 x+iy =x−iy (x+iy)×(x−iy)=¯z x2+y2.
Exemple 5
- Soit z= 3 −2iun nombre complexe. Alors 1
z=3 + 2i (3 −2i)(3 + 2i)=3 + 2i 13 =3 13 +2 13i.
- Soit z= 2 + ialors 1
z=2−i (2 + i)(2 −i)=2−i 5=2 5−i 5.
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4.4 Quotient de nombres complexes
Proposition 4 Soit z1=x1+iy1et z2=x2+iy2deux nombres complexes.
Alors :
z1
z2
=z1×1
z2
=(x1+iy1)(x2−iy2)
x22+y22=(x1×x2−y1×y2) + i(x1×y2+x2×y1) x22+y22
En pratique, on utilise la r`egle suivante :
z1
z2
=z1ׯz2
z2ׯz2
=z1ׯz2
|z2|2
On se ram`ene ainsi `a la division par un nombre r´eel, distributive dans la somme.
Exemple 6
1. 3 + 2i
2 + i=(3 + 2i)(2 −i) (2 + i)(2 −i)=8 + i 5
2. 3i−4
2i=i(3i−4) 2i×i=−3−4i −2=3 + 4i 2
Exercice 1
1. D´eterminer la forme alg´ebrique de Z= (3 −4i)2−(i−2)2, de Y=2 + 3i
5i−2iet de X=1 i+ 1 +1 i+ 2.
2. Soit aun nombre r´eel et zle nombre complexe z=2 + ia
1 + i.Pour quelle(s) valeur(s) de a:
(a) zest un r´eel ?
(b) zest un imaginaire pur ?
5 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe
5.1 Module d’un nombre complexe
D´efinition 5 Soit zun nombre complexe de la forme z=x+iy o`u xet ysont deux r´eels.
On appel module de z, not´e ρ=|z|, le nombre r´eel positif ρd´efini par ρ=|z|=px2+y2.
Interpr´etation g´eom´etrique : Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal (O;~u;~v) si Mest le point
d’affixe zalors |z|=OM.
Remarques :
- Si |z|= 0 alors z= 0 et O=M.
- Le module de zest toujours un nombre r´eel positif.
-zׯz=|z|2
M
Ox
y
ρ
θ
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