ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie

ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée, où n est un entier naturel non nul.
A-t-on plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce ?
On note P(n) la probabilité d’obtenir n piles en lançant 2n fois la pièce. Exprimer P(n) en fonction de n.
P( n + 1 )
2n + 1
=
Montrer que, pour n ∈ N∗ ,
.
P( n )
2( n + 1 )
On désigne par X le nombre de piles en lançant 2n fois la pièce . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X et préciser son espérance mathématique.
Partie B : Une urne contient 10 boules : 7 boules rouges toutes numérotées 1, et 3 boules jaunes toutes numérotées 0.
On tire simultanément 2 boules de cette urne. On considère les événements A : « les deux boules sont de la même
couleur » et B : « les deux boules sont de couleurs différentes ». Déterminer les probabilités P(A) et P(B).
On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité de
X et préciser son espérance mathématique.
CORRIGE : Partie A : Il s’agit d’un schéma de Bernouilli avec 2n lancers et une probabilité de succès pour chaque
4
8 1 1
lancer de ½ . La probabilité d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce est =  4     
  2   2 
6
8− 4
=
70 35
=
et la
28 128
12−6
12  1   1 
924 231
280
35
probabilité d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce est =  6      = 12 =
; donc on a
<
=
2
1024
1024 128
  2   2 
plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce .
n
2 n− n
k
2 n−k
n+1
2( n+1 )−( n+1 )
1
 2( n +1 )   1   1 
 2( n+1 )  1
=  n +1  2 n+2 .
; de plus P(n + 1) =  n +1     
2n
2

 2   2 

2
( 2 n + 2 )!
 2( n +1 )  1
n +1  2 n+ 2

P( n + 1 ) 
2n + 1
( n + 1 )!( n + 1 )! 1 ( 2n + 2 )( 2n + 1 )
2
=
=
× =
=
D’où, pour n ∈ N∗ ,
.
( 2n )!
P( n )
4
4( n + 1 )2
2( n + 1 )
 2nn  1
  2n
n! n!
 2
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres 2n et ½ ; d’où
2n  1   1 
On a P(n) =  n     
  2   2 
= 

2n 
n 
2n  1   1 
p( X = k ) =  k     
. L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres = n.
  2   2 
Partie B : P(A) = P(« obtenir deux boules rouges » ou « obtenir deux boules jaunes ») = P(« obtenir deux boules
rouges » ) + P(« obtenir deux boules jaunes ») =
 7
 
 2
 10 
 
2
 3
 
2
+ 10 =
 
2
7 1
8
7
. P(B) = 1 - P(A) =
.
+ =
15 15 15
15
La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules jaunes ») =
1
;
15
7
; et P(X = 1) = P(« obtenir une boule jaune et une boule rouge ») =
15
7
1
7
7 7
. Son espérance mathématique est E(X) = 0 × + 1× + 2 × = .
15
15
15
15 5
P(X = 2) = P(« obtenir deux boules rouges ») =