ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie

ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée, où n est un entier naturel non nul.
A-t-on plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce ?
On note P(n) la probabilité d’obtenir n piles en lançant 2n fois la pièce. Exprimer P(n) en fonction de n.
Montrer que, pour
n
∗
∈
N
,
1 2 1
2 1
P( n ) n
P( n ) ( n )
+ +
=
+
.
On désigne par X le nombre de piles en lançant 2n fois la pièce . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire
X et préciser son espérance mathématique.
Partie B : Une urne contient 10 boules : 7 boules rouges toutes numérotées 1, et 3 boules jaunes toutes numérotées 0.
On tire simultanément 2 boules de cette urne. On considère les événements A : « les deux boules sont de la même
couleur » et B : « les deux boules sont de couleurs différentes ». Déterminer les probabilités P(A) et P(B).
On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité de
X et préciser son espérance mathématique.
CORRIGE : Partie A : Il s’agit d’un schéma de Bernouilli avec 2n lancers et une probabilité de succès pour chaque
lancer de ½ . La probabilité d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce est =
4 8 4
8
8
4
1 1 70 35
2 2 2 128
−
= =
et la
probabilité d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce est =
6 12 6
12
12
6
1 1 924 231
2 2 2 1024
−
= =
280 35
1024 128
< =
; donc on a
plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce .
On a P(n) =
2
2
2 2
1 1 1
2 2 2
n n n
n
n n
n n
−
=
; de plus P(n + 1) =
1 2 1 1
2 2
2 1 2 1
1 1
1 1 1
2 2 2
n ( n ) ( n )
n
( n ) ( n )
n n
+ + − +
+
+ +
+ +
=
.
D’où, pour
n
∗
∈
N
,
2 2
2
2
2 1
1
2
2 2
1
1 1 2 2 2 1 2 1
1 1
2
2
1
4 4 1 2 1
2
n
n
( n )
n
n
n
( n )!
P( n ) ( n )( n ) n
( n )!( n )!
( n )!
P( n ) ( n ) ( n )
n! n!
+
+
+
+
+ + + +
+ +
= = × = =
+ +
.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres 2n et ½ ; d’où
2
2
1 1
2 2
k n k
n
k
p( X k )
−
= =
. L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres = n.
Partie B : P(A) = P(« obtenir deux boules rouges » ou « obtenir deux boules jaunes ») = P(« obtenir deux boules
rouges » ) + P(« obtenir deux boules jaunes ») =
7 3
2 2
10 10
2 2
7 1 8
15 15 15
+ = + =
. P(B) = 1 - P(A) =
7
15
.
La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules jaunes ») =
1
15
;
P(X = 2) = P(« obtenir deux boules rouges ») =
7
15
; et P(X = 1) = P(« obtenir une boule jaune et une boule rouge ») =
7
15
. Son espérance mathématique est E(X) =
1 7 7 7
0 1 2
15 15 15 5
× + × + × =
.