Fiche Mémo TRIGONOMETRIE 1. Savoir convertir des angles de degré en radians et réciproquement Rappel de cours Exercice résolu 2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles Rappel de cours Exercice résolu 3. Lignes trigonométriques d’angles associés Rappel de cours Exercice résolu 4. Formules de trigonométrie, addition et duplication Rappel de cours Exercice résolu 5. Trigonométrie dans le triangle . Rappel de cours Exercices résolu Pour s’entrainer : http://maths54.free.fr/maths1/remanive/trigoniv1.html 1. Savoir convertir des angles de degré en radians et réciproquement Les angles se mesurent en radians ou en degrés. Un tour complet fait 2 radians ou 360°. Un angle droit est un quart de tour il vaut 2 ou 90° Retour Enoncé : Convertir 4rd en degrés puis convertir 100° en radian. Solution On a 2 rd = 360° soit 1rd= 180/ ° donc 4rd= 720/ On a 1°=2 /360 rd donc 100°=200 / 360rd rd Retour 2. Connaître les lignes trigonométriques usuelles Les deux fonctions trigonométriques essentielles sont le sinus et le cosinus elles sont définies sur R et périodiques de période 2 . Soit x un réel compris entre 0 et 2 et A le point du cercle de centre O et de rayon 1 tel que l’angle (OI, OM) mesure x radian, alors, cos x est l’abscisse de A et sin x son ordonnée. cos x= cos(OJ,OA) = mesure algébrique de OP sin x = sin (OJ,OA) = mesure algébrique de OQ Q A O P J La fonction tangente est le quotient de sin par cos c’est donc une fonction définie lorsque le sinus est non nul c'est-à-dire sur On a Retour Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant : Mesure en rd Mesure en ° cos sin tan Solution 0 30° 60° Solution Mesure en rd Mesure en ° cos sin tan Retour 0 0° 30° 45° 60° 90° 1 0 0 /2 1/2 0 /2 1/2 1 /2 /2 1 1/ /2 Non def. 3. Lignes trigonométriques d’angles associés On montre aisément, à l'aide de symétries, les propriétés suivantes. Retour Enoncé : reproduire et compléter le tableau suivant Mesure en rd Mesure en ° sin cos tan Solution 120° 150° 240° Solution Mesure en rd Mesure en ° 120° 1 3 5 ° 150° cos -√2/2 -1/2 /2 √ 2 / 2 1/2 sin tan Retour - - - 1 -1/ 180° 240° /2 -1 0 0 -1/2 - 270° 330 360° 0 /2 -1 /2 -1/2 non déf. - 1 0 0 4. Formules d’addition et de différence Retour Enoncé Touver l’amplitude A (réel positif) et la phase de sorte que : Asin(t + Solution sin(t) + 2cos(t) Solution A sin(t + ) = A[cossint +sincost ]= sin(t) + 2cos(t) On cherche donc A et tels que a Acos et Asin Donc : tan =1/ donc =/6 ou =7/6 comme le sinus et le cosinus sont positifs, on a 2 =/6 et A = 16 donc A=4 car A est positif. Retour 5. Trigonométrie dans le triangle rectangle Dans le triangle ITR rectangle en I, on a : cos = sin = tan = Le projeté orthogonal du segment RT sur la droite (IR) vaut IR= RT cos Trigonométrie dans le triangle quelconque Dans tout triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés. a sin Aˆ b sin Bˆ c sin Cˆ Cette propriété est souvent appelée loi des sinus. Retour Enoncé 1 La longueur AB mesure 130m, l’angle en B mesure 39°. Quelle est la longueur du projeté orthogonal de AB sur BC ? Enoncé 2 Déterminer les longueurs m et n des côtés LN et LM du triangle LMN cicontre pour MN = 15 cm. N = 45° ; M = 105°. Solution Solution de l’exercice1 La longueur du projeté orthogonal de AB sur Bc est la longueur de BC Or, le triangle ABC est rectangle en C, on a donc : cos Donc BC = AB* cos = = 130*cos(39°) 101,03m Solution de l’exercice 2 Le troisième angle du triangle mesure 30° (puisque la somme des angles fait 180°) Donc d’après la loi des sinus, on a LM LN 15 . sin 45 sin 105 sin 30 Donc LM = Retour 15 2 15 2 12.24cm et LN = 0.97 2 16.73cm 2 3 3