Correction_examen_janvier_2013

Corrigé
MATHÉMATIQUES (12 points)
Exercice 1
7 points
Les questions sont totalement indépendantes. On donnera une rapide justification de chacune des réponses
données.
3
1. 210 est l’écriture d’un nombre en base 3. Quelle est l’écriture de ce nombre en base 5 ? (0,5 pt)
3
210 = 2
21 = 4
3
5
2
1
 3 = 21
210 = 21 en base 10
5
donc en base 5 on a
+1
+1
3
5
0
5
41
5
2. Poser et calculer en base 5 la multiplication suivante 23  42 .(1 pt)
23
5
 42
5
5
101
2020
5
23  42
5
5
2121
5
5
=
2121
3. Marc a deux fois plus de billes que Jacques et trois fois plus que Pierre. Ils ont a eux trois au total 44 billes.
Combien Marc a-t-il de billes ? (1 pt)
Soit m le nombre de billes de Marc
Soit j le nombre de billes de Jacques
Soit p le nombre de billes de Pierre
On a donc m = 2 j
; m = 3 p et
m + p + j = 44
2 j + j + Error! j = 44
soit
6j + 3j + 2j = 132 et alors j = 12 et m = 24
Marc a donc 24 billes
4. L’affirmation suivante est-elle vraie : « Un nombre entier naturel et la somme de ses chiffres n’ont pas le
même reste dans la division euclidienne par 9 » ? (0,5 pt)
Faux. Contre-exemple : Le reste de la division de 18 par 9 est 0. La somme des chiffres de 18 est 9. Le reste
de la division euclidienne de 9 par 9 est aussi 0.
5. Soient a et b deux nombres entiers naturels tels que a≥b et qui ont le même reste dans la division euclidienne par un
entier naturel n (n≠0). a-b est-il divisible par n ? (1 pt)
Oui. En effet, soit k, k’, r 3 entiers tel que a  kn  r et b  k 'n  r .
Alors a  b  kn  r  k 'n  r   k  k '  n . Donc a-b est divisible par n.
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6. Une figure est composée d’un trapèze ABCD rectangle en A et D et d’un demi-disque extérieur au trapèze
et de diamètre [BC]. On donne les mesures suivantes : AB=3 cm ; AD = 4 cm et DC = 6 cm.
Calculer l’aire et le périmètre de cette figure.
Donner les valeurs exactes et les valeurs approchées au dixième de cm ou cm2 près. (2 pts)
A
3 cm
Longueur de [BC]
B
BHC est un triangle rectangle dont les côtés de
l’angle droit sont 3 cm
et 4 cm alors par
Pythagore on a BC = 5 cm (0,5 pt)
4 cm
Aire de la figure (0,5 pt pour la valeur exacte)
(6  3)
2,52  
4
 18  3,125
2
2
D
H
6 cm
C
L’aire de la figure est 18+3,125  cm2
soit 27,8 cm2 au dixième de cm2
Périmètre de la figure (0,5 pt pour la valeur
exacte)
4 + 3 + 6 + 2,5 
Le périmètre de la figure est  cm
soit 20,9 cm au dixième de cm.
+ 0,5 pt pour les valeurs approchées au dixième
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Exercice 2
6 points
1. Figure :
Pour tracer C1 , on doit tracer la médiatrice de [AB]. On obtient ainsi le milieu de [AB] qui permet de tracer le cercle. On
veut voir les traits de compas de construction de la médiatrice. Sinon, 0 point à cette première partie.
Pour placer le point T, on peut tracer la médiatrice de [OA] pour avoir le milieu de [OA], puis tracer le cercle C3 de
diamètre [OA], puis placer T à l’intersection de C1 et C3 . On veut voir les traits de compas de construction de la
médiatrice et le cercle C3 . Sinon, 0,5 point si l’ensemble de la figure est correcte mais manifestement faite à la règle
graduée et à l’équerre.
2. Le point C est sur le cercle C1 et [AB] est un diamètre de ce cercle. Le triangle ABC est donc rectangle en C. On peut
alors affirmer que les droites (BC) et (AC) sont perpendiculaires.
(OT) est tangente à C2 en T. donc (OT) est perpendiculaire à (AC). Or « si deux droites sont perpendiculaires à une
même troisième alors elles sont parallèles ». Donc les droites (OT) et (BC) sont parallèles et on peut affirmer que le
quadrilatère OTCB est un trapèze.
Puisque (OT) est perpendiculaire à (AC), OTCB est un trapèze rectangle.
3. a. Les droites (OT) et (BC) sont parallèles. La droite (BT) coupe ces deux droites. Donc les angles ;OBT et ;CBT
sont alternes/internes. Ils ont donc la même mesure.
b. Les points B et T sont sur le même cercle de centre O. On a donc OT  OB , donc le triangle OBT est isocèle en
O. Donc les angles ;OTB et ;OBT ont même mesure.
On a donc : ;CBT = ;OTB = ;OBT. Donc la droite (BT) est la bissectrice de l’angle ;OBC, donc de l’angle
;ABC
.
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4. Dans le triangle ATO rectangle en T, on a OA  5 et OT  3 . Le théorème de Pythagore permet d’écrire :
AT 2  OT 2  OA 2 , soit AT 2  32  52 , soit AT 2  32  52  25  9  16 , soit AT  4 cm.
Les droites (OT) et (BC) sont parallèles, les points A, T et C d’une part, A, O et B d’autre part sont alignés dans cet
ordre. On est donc dans une configuration de Thalès et on a :
AC AB CB
.


AT AO OT
La première égalité donne : AC  AT 
La seconde égalité donne : BC  OT 
AB
8 32
 4 
 6, 4 cm.
AO
5 5
AB
8 24
 3 
 4,8 cm.
AO
5 5
5. Dans le triangle ACB rectangle en C, on a
24
BC
24 3
ˆ 
tan A
 5 

AC 32 32 4
5
32
OT
3
AC
32 1 4
ˆ 
ˆ 
 ou bien cos A
ou bien tan A
 5    ,
AT 4
AB 8
5 8 5
24
AT
4
BC
24 1 3
ˆ 
ˆ 
ˆ  OT  3 .
 ou bien sin A
ou bien cos A
 5    , ou bien sin A
AO 5
AO 5
AB 8
5 8 5
Dans tous les cas, on obtient ;BAC
 36,9°.
Or la somme des angles dans un triangle vaut 180 ° et le triangle ABC est rectangle en C donc on en déduit
;CBA = 90 - ;CAB
 90 – 36,9  53,1°
Comme (BT) est la bissectrice de ;CBA, ;CBT
53
 1;2
 26,6°
6. Calculons la mesure de l’angle ;HOB.
Dans le triangle BOH, on a BO  OH  3 cm, donc le triangle BOH est isocèle en O, donc les angles ;OHB et
;OBHsont égaux et valent donc ;CBA, soit 53,1°
L’angle ;HOB vaut donc 180  2   53,1  73,8
Calculons la mesure de l’angle ;BOT.
Or dans le triangle isocèle BOT, on a calculé des angles qui permettent de calculer l’angle ;BOT
On a ;BOT = 180 - 2 x
53
= 180 – 53,1 = 126,9
1;2
Si la droite (OH) était la bissectrice de l’angle ;BOT, ;HOB en vaudrait la moitié,
soit
126,9
 63,5 , ce qui n’est pas le cas.
2
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