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TRIGONOMETRIE
III - EQUATION TRIGONOMETRIQUE
On rappelle que
cos( x  2k )  cos x
sin( x  2k )  sin x
quels que soient x  R et k  Z
sin( x   )  sin x

 tan x
cos(x   )  cos x
tan( x   )  tan x
tan( x  k )  tan x quel que soit k  Z
tan( x   ) 
1. Equation cosx = a, a  R

Si a  1 , équation n’admet aucune solution
Si a  1 , on a une infinité de solution. En effet si  est solution, (c'est-à-dire
cos  a ),   est aussi solution (car cos(  )  cos   a )
Et comme cos(  2k )  cos   a quel que soit k  Z ,   2k est aussi solution, de
même que    2k
En admettant que ce sont les seules solutions, on a

Théorème :
o cos x  cos   x    2k ou x    2k (k  Z )
o Cas général :
cos f ( x)  cos g ( x)  f ( x)  g ( x)  2k ou f ( x)   g ( x)  2k
Exemple :
 résoudre 2cosx-1=0
1

cos x   cos
2
3
x

3
 2k ou x  

3
 2k



S    2k ,   2k  (k , k ' Z )
3
3

 cos ²(2 x 

3
)  2 cos( 2 x 
Posons X  cos( 2 x 


3
3
)
)3  0
(k  Z )
X ²  2X  3  0
( X  1)( X  3)  0
cos( 2 x 
2x 

3

3
)  1 ou cos( 2 x 
 0  2k  x 
cos( 2k 

3

3
2k 
)  3

3  k  
2
6
)  3 n' a pas de solution



S  k  , k  Z 
6


2. Equation sinx = a
 Si a  1 pas de solution
 Si a  1 on a une infinité de solution
Si  est solution
Comme sin(   )  sin  ,    est aussi solution, donc
aussi
En admettant que ce sont les seules solutions on a :
Théorème :
    2k (k  Z )
sin x  sin   x    2k ou x      2k (k  Z )
Plus généralement
sin f ( x)  sin g ( x)  f ( x)  g ( x)  2k ou
Exemples :


Résoudre sin( 2 x 

2 sin ² x  5sin x  2  0
o

3
)  cos( x 

sin( 2 x  )  cos(x  )
3
4

4
)
f ( x)    g ( x)  2k (k  Z )
cos  sin(
cos(x 

4

2
)
)  sin(



x )
2
4

(1) sin( 2 x  )  sin(  x)
3
4
2x 
3x 

3




4

 x  2k ou 2 x 
 2k
4 3
7
 2k
12
x
3
7 2k
x

36
3
ou x 
ou x 
ou x 

12

12

3

 
3


4

4
 x  2k
 2k  
 2k  
 2k  
 7 2k 13

S 

,
 2k (k  Z )
3
12
 36

o
2 sin ² x  5sin x  2  0
Posons X  sin x
2X ²  5X  2  0
  25  16  9
53 1
8
X '

X "  2
4
2
4
1
sin x  ou sin x  2
2
1


5
sin x   sin  x   2k ou x 
 2k
2
6
6
6
sin x  2 n' a pas de solution
5

S    2k ,
 2k
6
6

(k  Z )

3. Equation acosx+ bsinx=c
Posons S  a cos x  b sin x (a ²  b²  0)

a
b
S  a ²  b ² 
cos x 
sin
a ²  b²
 a ²  b²
2
2

x 


 

a
b
a ²  b²
or 
  
 
1
a ²  b²
 a ²  b²   a ²  b² 

a
Le point M 
,
 a ²  b²
Soit   (OA; OM )
cos  
a
a ²  b²

 appartient au cercle trigonométrique
a ²  b² 
b
sin  
b
a ²  b²
Théorème :
Si  ²   ²  1, il existe un réel  tel que cos    et sin   
S  a ²  b² (cos cos x  sin  sin x)  a ²  b² cos(x   )
a cos x  b sin x  c  a ²  b² cos(x   )  c  cos(x   ) 
c
a ²  b²
Exemple :
Résoudre cos x  sin x  1
a  1 b  1
 2

1
2
 1

cos x  sin x  1²  (1)²  cos x 
sin x   2  cos x 
sin x 
2
2
 2

 2

2

 sin  
2
4
cos x  sin x  2 sin(

2

 cos 
2
4
3
 x)
4
3
3
1
2

)  1  sin( x  ) 

 sin
4
4
2
4
2
3 
3 3
x
  2k
x

 2k
4
4
4
4
2 sin( x 
x

2
 2k
x  2k
 

S    2k , 2k , k , (k  Z )
 2

4. Equation tanx = a
Théorème :
Quel que soit le réel a, l’équation tan x  a admet toujours une infinité de solution.
Si  est solution,   k est aussi solution, quel que soit k  Z
tan x  tan   x    k
Exemple :
tan x  1  0
tan x  1  tan

4
x

4
 k , k  Z
5. Images des solutions d’une équation :
L’image d’une solution  d’une équation est le point M du cercle trigonométrique tel
que (OA; OM )  
 Si les solutions sont de la forme x   
2k
n
, n  3 les images des
solutions forment un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle
trigonométrique.
 Si n = 3, on a un triangle équilatéral
 Si n = 4, on a uncarré,
 Si n = 5 , ona un pentagone régulier
…..

si n = 1, on un seul point

si n = 2, on a deux points symétriques par rapport à l’origine du repère
6. Exemples d’inéquation trigonométrique :
Exemples :
o résoudre 2 cos x  1  0
2 cos x  1  0  cos x 
1
2
1
2
 l’image de x appartient à l’arc (orienté) MM '
cos x 
S
 
   3  2k
kZ
,


 2k 
3

y
M

( )
3
1
2
x
M'
o Résoudre 2 sin x  3  0
sin x 
3
2

( )
3
L’image de x appartient à l’arc (orienté) MM '
7
 2

S  
 2k ,
 2k 
3

kZ  3
o
tan x  3
tan x  3  tan x  tan

3
T
y
M

3
x
S

  3  2k
kZ
,

2

 k 
