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TRIGONOMETRIE
III - EQUATION TRIGONOMETRIQUE
On rappelle que
xkx
xkx
sin)2sin(
cos)2cos(
quels que soient
ZketRx 
Zksoitquequelxkx
xx
x
x
x
x
x
x
tan)tan(
tan)tan(
tan
cos
sin
)cos( )sin(
)tan(
1. Equation cosx = a,
Ra
 Si
1a
, équation n’admet aucune solution
 Si
1a
, on a une infinité de solution. En effet si est solution, (c'est-à-dire
a cos
), est aussi solution (car
a cos)cos(
)
Et comme
ak  cos)2cos(
quel que soit
Zk
,
k2
est aussi solution, de
même que
k2
En admettant que ce sont les seules solutions, on a
Théorème :
o
)(22coscos Zkkxoukxx 
o Cas général :
)(2)()(2)()()(cos)(cos Zkkxgxfoukxgxfxgxf 
Exemple :
 résoudre 2cosx-1=0
kxoukx
x
2
3
2
3
3
cos
2
1
cos
)',(2
3
,2
3ZkkkkS 
03)
3
2cos(2)
3
2²(cos  xx
Posons
)
3
2cos(  xX

solutiondepasank
k
k
xkx
xoux
XX
XX
'3)
3
2cos(
62 3
2
20
3
2
3)
3
2cos(1)
3
2cos(
0)3)(1(
032²
 ZkkS ,
6
2. Equation sinx = a
 Si
1a
pas de solution
 Si
1a
on a une infinité de solution
Si est solution
Comme
sin)sin( 
, est aussi solution, donc
)(2 Zkk 
aussi
En admettant que ce sont les seules solutions on a :
Théorème :
)(22sinsin Zkkxoukxx 
Plus généralement
)(2)()(2)()()(sin)(sin Zkkxgxfoukxgxfxgxf 
Exemples :
 Résoudre
)
4
cos()
3
2sin(  xx
02sin5²sin2  xx
o
)
4
cos()
3
2sin(  xx

kxou
k
x
kxou
k
x
kxoukx
kxxoukxx
xx
xx
2
123
2
36
7
2
123
2
12
7
2
43
2
34
3
2
43
22
43
2
)
4
sin()
3
2sin()1(
)
42
sin()
4
cos(
)
2
sin(cos
 )(2
12
13
,
3
2
36
7Zkk k
S
o
02sin5²sin2  xx
Posons
xX sin
solutiondepasanx
kxoukxx
xoux
XX
XX
'2sin
2
6
5
2
66
sin
2
1
sin
2sin
2
1
sin
2
4
8
"
2
1
435
'
91625
025²2
 )(2
6
5
,2
6ZkkkS
3. Equation acosx+ bsinx=c
Posons
)0²²(sincos  baxbxaS
1
²² ²²
²²²²
sin
²²
cos
²²
²²
22
ba ba
ba
b
ba
a
or
x
ba
b
x
ba
a
baS

Le point
 ²²
,
²² ba
b
ba
a
M
appartient au cercle trigonométrique
Soit
);( OMOA
²²
sin
²²
cos ba
b
ba
a
Théorème :
Si
1²² 
, il existe un réel tel que
 sincos et
²²
)cos()cos(²²sincos
)cos(²²)sinsincos(cos²²
ba
c
xcxbacxbxa
xbaxxbaS
Exemple :
Résoudre
1sincos  xx
kxkx
kxkx
xx
xxx
xxxxxx
ba
22
2
2
4
3
4
3
2
44
34
sin
2
2
2
1
)
4
3
sin(1)
4
3
sin(2
)
4
3
sin(2sincos
4
cos
2
2
4
sin
2
2
sin
2
2
cos
2
2
2sin
2
1
cos
2
1
)²1(²1sincos
11
 )(,,2,2
2ZkkkkS
4. Equation tanx = a
Théorème :
Quel que soit le réel a, l’équation
ax tan
admet toujours une infinité de solution.
Si est solution,
k
est aussi solution, quel que soit
Zk
kxx  tantan
Exemple :
4
tan1tan
01tan
x
x

Zkkx  ,
4
5. Images des solutions d’une équation :
L’image d’une solution d’une équation est le point M du cercle trigonométrique tel
que
);( OMOA
 Si les solutions sont de la forme
3,
2 n
n
k
x
les images des
solutions forment un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle
trigonométrique.
 Si n = 3, on a un triangle équilatéral
 Si n = 4, on a uncarré,
 Si n = 5 , ona un pentagone régulier
…..
 si n = 1, on un seul point
 si n = 2, on a deux points symétriques par rapport à l’origine du repère
6. Exemples d’inéquation trigonométrique :
Exemples :
o résoudre
01cos2 x
2
1
cos
2
1
cos01cos2
x
xx
l’image de x appartient à l’arc (orienté)
'MM
Zk kkS
2
3
,2
3
o Résoudre
03sin2 x
2
3
sin x
M'
M
y
x
2
1
)
3
(
)
3
(