. . . Cn+1
ϕn+1
Cn
ϕn
Cn1. . . 0
i Ciϕi
ϕiϕi+1 = 0 Im ϕi+1 ker ϕi
C i
Bi= Im ϕi+1 Zi= ker ϕi
i, CiBi ZiHi=Zi/Bi
0. . . Cn1
ϕn1
Cn
ϕn
Cn+1 . . .
Hi=Zi/BiZi= ker ϕiBi=
Im ϕi1
G A G
R R[G]RG
G R
R[G] = {X
gG
agg|agR, g ag= 0R}
G
R
X
gG
agg+X
gG
bgg=X
gG
(ag+bg)g
(X
gG
agg)(X
gG
bgg) = X
kG
(X
gG
akbk1gg)
R=
Z
R[G]G
R G
G G
g0(X
kG
akk) = X
kG
akg0k
G=Z/3Z={a0, a1, a2}
Z[G] = {n0a0+n1a1+n2a2}
A=n0a0+n1a1+n2a2B=m0a0+m1a1+m2a2
A+B= (n0+m0)a0+ (n1+m1)a1+ (n2+m2)a2
AB = (n0m0+n1m2+n2m1)a0+(n0m1+n1m0+n2m2)a1+(n0m2+n1m1+n2m0)a2
Z[G]
. . . Z[Gi+1]ϕi+1
Z[Gi]ϕi
Z[Gi1]. . . 0
ϕi:Z[Gi]Z[Gi1]
ϕi(g1, . . . , gi) =
i
X
j=1
(1)i(g1,..., ˆgj, . . . , gi)
(g1,..., ˆgj, . . . , gi)i(g1, . . . , gi)gj
ϕiϕi+1 =
0
(g1, . . . , gi+1)Gi+1
ϕiϕi+1(g1, . . . , gi+1) =
i+1
X
j=0
(1)j(
j1
X
k=1
(1)k(g1,..., ˆgk,..., ˆgj,...gi+1) +
i
X
k=j
(1)k(g1,..., ˆgj,..., ˆgk+1, . . . , gi+1))
(g1,..., ˆgk,..., ˆgj,...gi+1)
j ϕi+1 k ϕi
(1)j(1)kk ϕi+1 j ϕi
(1)k(1)j1
C
0Ai
Bπ
C0
i π Z[G]A B C
0Z[Gj]Z[G]AZ[Gj]Z[G]BZ[Gj]Z[G]C0
˜
iZ[Gj]AZ[Gj]B˜
i(ga) = gi(a)
˜πZ[Gj]BZ[Gj]C˜π(gb) = gπ(b)
ker ˜π= Im ˜π
Cker π= Im i
gbker ˜π
˜π(gb) = 0 gπ(b) = 0, g 6= 0
π(b) = 0
bIm i g bIm˜
i
gbIm˜
i
gbIm˜
ibIm i
π(b) = 0
˜π(gb)=0
ker ˜π= Im˜
i
Ci=Z[Gi]
. . . Ci+1
ϕi+1
Ci
ϕi
Ci1. . . 0
Bi= Im ϕi+1 Zi= ker ϕiHi=Zi/Bi
Ci(G, A) = Z[Gi]Z[G]A
˜ϕ=ϕ
Bi(G, A) = Im ˜ϕi+1
Zi(G, A) = ker ˜ϕi
Hi(G, A) = Zi(G, A)/Bi(G, A)
C
· · · Hj+1(G, C)Hj(G, A)Hj(G, B)Hj(G, C)→ · · · → H0(G, C)0
0Cj+1(G, A)˜
i
Cj+1(G, B)˜π
Cj+1(G, C)0
˜ϕj+1 ˜ϕj+1 ˜ϕj+1
0Cj(G, A)˜
i
Cj(G, B)˜π
Cj(G, C)0
˜
i˜ϕj+1 =ϕj+1 i
=˜
i˜ϕj+1
π
Cj+1(G, A)/Bj+1(G, A)Cj+1(G, B)/Bj+1(G, B)Cj+1(G, C)/Bj+1(G, C)0
↓ ↓
0Zj(G, A)Zj(G, B)Zj(G, C)0
Hj+1(G, A)Hj+1(G, B)Hj+1(G, C)Hj(G, A)Hj(G, B)Hj(G, C)
0. . . Cn1
ϕn1
Cn
ϕn
Cn+1 . . .
Hi=Zi/BiZi= ker ϕiBi=
Im ϕi1
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