Théorie de l`indices et applications

M
n
χ(M) = (2π)n/2ZM (−RM),
χ(M)RM
M
n= 4k
σ(M)=(iπ)−n/2ZM (M),
σ(M)H2k(M) (α, β)7→ RMα∧β
(M) = 1/2RM/2
(RM/2) 
M
χ(M) = ZM (M),
χ(M) (M) = eR(1,0)M
eR(1,0)M−1
Z2V=V++V−V+−V−
V±=H/(M)
V±H2k(M)

M , E →M
Ω(M, E)EΩ(M, E) =
Γ(M, ∧∗M⊗E)
EC
∇E: Γ(M, E)→Ω1(M, E)
∇E(fX)=(df)X+f∇E(X)
f∈ C∞(M)X∈Γ(M, E)
∇E
X=iX∇E
∇EΩ(M, E)
∇E: Ωk(M, E)→Ωk+1(M, E)
ωX 7→ (dω)X+ (−1)kω∧ ∇EX
ω∈Ωk(M)X∈Γ(M, E)
M g ∈Γ(M, ∗M⊗
∗M)gxx∈M g(·,·) = h·,·i M
M E =M⊗C
∇MX, Y, Z ∈
Γ(M, M )
ZhX, Y i=h∇ M
ZX, Y i+hX, ∇M ZYi,
[X, Y ] = ∇M
XY− ∇ M YX ,
[·,·]h·,·i M⊗Ch·,·i M
E, F →M∇E∇F
∇E⊕F
X: (u, v)7→ (∇E
Xu, ∇F Xv),
∇E⊗F
X:u⊗v7→ ∇E
Xu⊗v+u⊗ ∇F Xv ,
X∈Γ(M, M )u∈Γ(M, E)v∈Γ(M, F )
E∗E∇E∗
X(f, s)=(∇E∗
Xf, s)+(f, ∇E Xs),
X∈Γ(M, M )f∈Γ(M, E∗)s∈Γ(M, E) (·,·)E∗×E→C
∧E E ∇∧E
∇∧E
Xu1∧ · · · ∧ ur=
r
X
i=1
u1∧ · · · ∧ ∇E
Xui∧ · · · ∧ ur.
iX: Ωk(M)→Ωk−1(iXω)(v1,· · · , vk−1) = ω(X, v1,· · · , vk−1)
M M ⊗C

RE∇E
RE= (∇E)2
Ω2(M, (E)) RE= 0 ∇E
REΩ2(M, (E)) ω∈Ωk(M)
s∈Ω(M, E)
RE(ω∧s)=(∇E)2(ω∧s)
=∇E((dω)∧s+ (−1)kω∧ ∇Es)
= (d2ω)∧s+ (−1)k+1ω∧ ∇Es+ (−1)k(dω)∧ ∇Es+ (−1)2kω∧(∇E)2s
=ω∧REs .
RE∈Ω2(M, (E))
X, Y ∈Γ(M, M )
RE(X, Y ) = ∇E
X∇E Y− ∇E Y∇E X− ∇E
[X,Y ].
E Rn∇E
∂i=∂
∂xi
RE6= 0 U⊆M
E U ∇E
RE∇E
∇E(∇E)2−0
0//Ω0(M, E)∇E
//Ω1(M, E)∇E //· · · ∇E //Ωn(M, E)//0
H·(M, E)
E
M E
E
Ω(M, (E))
(ωA)(ηB)=(ω∧η)AB ,
ω, η ∈Ω(M)A, B ∈Γ(M, (E)) f∈C[X]T∈Ω(M, (E)) f(T)
(E)
MΩ(M, (E))
:ωA 7→ ω(A)
ω∈Ω(M)A∈Γ(M, (E))
f∈C[X]
f(E, ∇E) = [f(RE)] ∈Ω(M).
RΩ(M, E)RΩ(M)R∈Ω(M, (E))

f(E, ∇E)
[f(E, ∇E)]
[f(E, ∇E)] E f
E f Rf(E, ∇E)E f
E f
E∇Ef(E, ∇E)=0 f
E
E
f(E, ∇E)f
Piai(RE)if(x)Piaixi(RE)i= 0
i > (M)/2
M
∇M∇∧∗M
Ω(M) = Γ(M, ∧∗M)
hu, vi=ZM hux, vxi∧∗
xM
h·,·i∧∗
xMh·,·i xM(e1,· · · , en)xM
(ei1∧ · · · ∧ eir)1≤i1<···<ir≤n∧∗
xM
dΩ(M) Ωk(M) Ωk+1(M)d∗: Ωk(M)→
Ωk−1(M)d
D=d+d∗: Ω(M)→Ω(M) (D)⊂(d)
(D)→(d) (D)'(M)
hdu, d∗vi=hd2u, vi= 0 d d∗
(D) = (d)∩(d∗)u∈(d∗)hd∗u, vi=
hu, dvi= 0 v(d∗) = (d)⊥(D) = (d)∩(d)⊥'H(M)
D
(ei)1≤i≤nM(ei)1≤i≤n
d=
n
X
i=1
ei∧ ∇∧∗M
ei
d∗=
n
X
i=1
−iei∇∧∗M
ei.

x0∈M x0
∇∧∗M
ei∂ix0d= Σn
i=1ei∧∂ix0x0
D= Σn
i=1(ei∧ −iei)∇∧∗M
ei
c(X) = X∗∧ −iX∈(∧∗M)
X∈Γ(M, M )
D=
n
X
i=1
c(ei)∇∧∗M
ei.
c D
c(X)c(Y) + c(Y)c(X) = −2hX, Y i,
[∇∧∗M
X, c(Y)] = c(∇M XY).
c(X) (∧∗M)
(M)M C(M)X7→ c(X)
C(M) (∧∗M)
EZ2M
C(M)E c(X)
∇E
[∇E
X, c(Y)] = c(∇M XY)X, Y ∈Γ(M, M )
E=∧∗M∧/∗M
∇∧∗M
E→M∇E
D=
n
X
i=1
c(ei)∇E
ei
(ei)iM
D
D±=D|E±: Γ(M, E±)→Γ(M, E∓) (D) =
(D+)⊕(D−)D D−= (D+)∗(D−) = (D+)
LC
(L) = (L)−(L)
(D+) = (D+)−(D−).
D=d+d∗(D±) =
H/(M)
(D+) = χ(M).
Z/2Z Z2
E E =E+⊕E−
E+E−