Points stationnaires

Points stationnaires - Points d’inflexion
On considère une fonction fdont on peut calculer la dérivée f′et la dérivée seconde f′′.
Dans un repère, la courbe d’équation y=f(x)représente la fonction f.
1 Points stationnaires
Un point stationnaire est un point où la dérivée s’annule : f′(x) = 0. En un point stationnaire, la tangente à
la courbe est horizontale.
1. Si la dérivée s’annule en changeant de signe :
Si on a dans cet ordre, f′(x)<0,f′(x) = 0,f′(x)>0, alors le point stationnaire est un point minimum.
Si on a dans cet ordre, f′(x)>0,f′(x) = 0,f′(x)<0, alors le point stationnaire est un point maximum.
2. Si la dérivée s’annule sans changer de signe :
Si on a dans cet ordre, f′(x)<0,f′(x) = 0,f′(x)<0, alors le point stationnaire est un point d’inflexion.
Si on a dans cet ordre, f′(x)>0,f′(x) = 0,f′(x)>0, alors le point stationnaire est un point d’inflexion.
Utilisation de la dérivée seconde :
1. Si en un point stationnaire, f′′ (x)<0, alors ce point est un point maximum.
2. Si en un point stationnaire, f′′ (x)>0, alors ce point est un point minimum.
Attention ! Si f′(x) = 0 et f′′(x) = 0, on ne peut rien conclure sur la nature du point stationnaire.
Exercice 1. Etudier la nature des points stationnaires des courbes suivantes :
1. y=x4
2. y=x5
2 Points d’inflexion
On rappelle que :
1. lorsque f′′ (x)>0, la courbe de fa sa concavité tournée vers le haut (“concave up”) ;
2. lorsque f′′ (x)<0, la courbe de fa sa concavité tournée vers le bas (“concave down”).
Les points d’inflexion e sont les points où la courbe change de concavité . En un point d’inflexion, la courbe
traverse sa tangente.
Méthode : en un point d’inflexion, la dérivée seconde s’annule en changeant de signe.
Pour trouver les éventuels points d’inflexions, on peut donc commencer par résoudre l’équation f′′ (x) = 0.
Mais attention ! Il peut arriver que f′′(x) = 0 sans que la courbe de fn’ait de point d’inflexion. Il faut donc
toujours étudier le signe de cette dérivée seconde.
Exercice 2. Etudier les éventuels points d’inflexion des courbes suivantes :
1. y=x3 −3x
2. y=x4+x+ 1
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