Points stationnaires - Points d’inflexion On considère une fonction f dont on peut calculer la dérivée f ′ et la dérivée seconde f ′′ . Dans un repère, la courbe d’équation y = f (x) représente la fonction f . 1 Points stationnaires Un point stationnaire est un point où la dérivée s’annule : f ′ (x) = 0. En un point stationnaire, la tangente à la courbe est horizontale. 1. Si la dérivée s’annule en changeant de signe : Si on a dans cet ordre, f ′ (x) < 0, f ′ (x) = 0, f ′ (x) > 0, alors le point stationnaire est un point minimum. Si on a dans cet ordre, f ′ (x) > 0, f ′ (x) = 0, f ′ (x) < 0, alors le point stationnaire est un point maximum. 2. Si la dérivée s’annule sans changer de signe : Si on a dans cet ordre, f ′ (x) < 0, f ′ (x) = 0, f ′ (x) < 0, alors le point stationnaire est un point d’inflexion. Si on a dans cet ordre, f ′ (x) > 0, f ′ (x) = 0, f ′ (x) > 0, alors le point stationnaire est un point d’inflexion. Utilisation de la dérivée seconde : 1. Si en un point stationnaire, f ′′ (x) < 0, alors ce point est un point maximum. 2. Si en un point stationnaire, f ′′ (x) > 0, alors ce point est un point minimum. Attention ! Si f ′ (x) = 0 et f ′′ (x) = 0, on ne peut rien conclure sur la nature du point stationnaire. Exercice 1. Etudier la nature des points stationnaires des courbes suivantes : 4 1. y = x 2. y = x5 2 Points d’inflexion On rappelle que : 1. lorsque f ′′ (x) > 0, la courbe de f a sa concavité tournée vers le haut (“concave up”) ; 2. lorsque f ′′ (x) < 0, la courbe de f a sa concavité tournée vers le bas (“concave down”). Les points d’inflexion e sont les points où la courbe change de concavité . En un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente. Méthode : en un point d’inflexion, la dérivée seconde s’annule en changeant de signe. Pour trouver les éventuels points d’inflexions, on peut donc commencer par résoudre l’équation f ′′ (x) = 0. Mais attention ! Il peut arriver que f ′′ (x) = 0 sans que la courbe de f n’ait de point d’inflexion. Il faut donc toujours étudier le signe de cette dérivée seconde. Exercice 2. Etudier les éventuels points d’inflexion des courbes suivantes : 3 1. y = x − 3x 2. y = x4 + x + 1 T IB MATH SL Points stationnaires - Points d’inflexion Page 1/1