Cubiques en trois variables : points d`inflexion, formes

Cubiques en trois variables :
points d’inflexion, formes normales
et dimension essentielle
M´elanie Raczek

Cubiques en trois variables : points d’inflexion,
formes normales et dimension essentielle
M´elanie Raczek
Dissertation pr´esent´ee en vue de l’obtention du Diplˆome d’Etudes Approfondies, en
aoˆut 2004, au D´epartement de Math´ematique de la Facult´e des Sciences de l’Uni-
versit´e Catholique de Louvain, `a Louvain-la-Neuve.
Promoteur : Jean-Pierre Tignol
Lecteurs : Francis Borceux (UCL)
Enrico Vitale (UCL)
AMS Subject Classification (2000) : 11E76 (Forms of degree higher than two), 14H45
(Special curves and curves of low genus)
FNRS Classification des domaines scientifiques (1991) : P 120 (Th´eorie des nombres,
th´eorie des champs, g´eom´etrie alg´ebrique, alg`ebre, th´eorie des groupes)

Table des mati`eres
Introduction 1
1 Pr´eliminaires 3
1.1 Polynˆomes et r´esultants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 D´efinition des cubiques 13
2.1 Courbes projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Propri´et´es des cubiques 23
3.1 Points d’inflexion d’une cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Forme normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 j-Invariant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Pinceaux canoniques de cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5 Etude de cubiques particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6 Cubiques singuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.7 Quelques jolis dessins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Dimension essentielle des cubiques 61
4.1 Notions ´el´ementaires de la th´eorie des cat´egories . . . . . . . . . . . 61
4.2 D´efinition de la dimension essentielle et exemples . . . . . . . . . . . 62
4.3 Esquisse du calcul de la dimension essentielle des cubiques . . . . . . 66
Bibliographie 71
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iv Table des mati`eres

Introduction
Ce m´emoire de DEA traite d’un sujet d´ej`a connu depuis longtemps, mais reve-
nant `a l’actualit´e : la th´eorie des cubiques. Une cubique est un polynˆome homog`ene
de degr´e 3 en 3 variables `a coefficients dans un corps k, d´efinie `a un multiple sca-
laire pr`es. Des r´esultats prouv´es sur de tels polynˆomes ne manquent pas, mais ils se
trouvent souvent ´eparpill´es dans des livres datant du XIX`eme si`ecle, par exemple
[Miller et. al., 1916 ; Salmon, 1884 ; Serret, 1866 ; Weber, 1896], o`u la mani`ere de
pr´esenter les math´ematiques est particuli`ere. Des r´ef´erences plus modernes comme
[Brieskorn et Kn¨orrer, 1986] consid`erent les cubiques comme exemples de courbes
projectives dans le cadre de la g´eometrie alg´ebrique, mais ne s’int´eressent qu’aux
cubiques `a coefficients dans les complexes. Pourtant, pour la compr´ehension d’un
travail r´ecent comme celui de G. Berhuy et G. Favi [2004] sur la “dimension es-
sentielle” des cubiques, il est absolument n´ecessaire de bien maˆıtriser la th´eorie
´el´ementaire des cubiques `a coefficients dans un corps kquelconque. Il ´etait donc
int´eressant de mettre les r´esultats principaux de la th´eorie des cubiques sur un corps
kau goˆut du jour, et de les r´eunir dans un m´emoire.
Dans un premier chapitre, nous faisons un inventaire des connaissances n´eces-
saires pour comprendre le m´emoire. Ainsi, nous rappelons les notions de r´esultants
de polynˆomes, d’extensions de corps et d’espaces projectifs, les d´emonstrations des
th´eor`emes et des propositions n’´etant pas donn´ees.
Nous entrons dans le sujet du m´emoire dans le deuxi`eme chapitre. Nous y parlons
de courbes projectives avant de d´efinir les cubiques, et nous exposons des outils
qui sont utilis´es ult´erieurement. Nous en donnons les d´emonstrations puisque nous
n’avons pas trouv´e de r´ef´erences les explicitant.
Le troisi`eme chapitre contient une ´enum´eration de propri´et´es importantes v´e-
rifi´ees par les cubiques, avec des preuves d´etaill´ees. Le r´esultat principal est sans
doute le fait que toute cubique sans points multiples, `a coefficients dans un corps
infini s´eparablement clos de caract´eristique diff´erente de 2 et de 3, peut s’´ecrire, `a
un changement de variables lin´eaire pr`es, sous la forme X3
1+X3
2+X3
3+λ·X1X2X3,
pour un certain λdans le corps. Ce r´esultat est essentiel, puisqu’il permet d’obtenir
une multitude d’autres r´esultats de la th´eorie des cubiques. Les cubiques avec points
multiples poss`edent moins de propri´et´es, mais on arrive quand-mˆeme `a les classifier
en huit types diff´erents.
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