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4éme Année * Section : Mathématique
Série d’exercices N°1
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Nombre complexe
EXERCICE N°1 :
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
i(3+2i)-3(2-i) ; -2i(2-i)+2(1+2i) ; (1+i)³ ; (1-i)³ ; (2+i)² - 2i(3-2i) ;
i
i53 5
;
i
i
i
i 3 2
2
3
;
i
i
i
i 3
1
3)2( 2
EXERCICE N°2 :
On pose j = -
2
1
+ i
2
3
. calculer : j² ; j³ puis 1 + j + j² .
EXERCICE N°3 :
Représenter dans le plan complexe les points A , B , C et D d’affixes respectives 2 ,3 + 2i , –3 + i et – 4 - i
Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE N°4 :
Représenter dans le plan complexe les points A , B , C d’affixes respectives –2i ; 1 + 2i et –3 + i .
Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE N° 5 :
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives –1 + i; 2 et 3 (1 + i).
Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
EXERCICE N°6 :
Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que les points d’affixes respectives i, iz et z sont alignés.
EXERCICE N°7 :
Calculer les modules des nombres complexes suivants : 1 - i ; 1 + i
3
; 3 + 2i ; -2i ;
31
)1( 3
i
i
;
EXERCICE N°8:
Dans le plan complexe rapporté ǎ un R.O.N (O,
u
,
v
) ; on considère le point A d’affixes zA = i
Le point B d’affixe zB =
2
3i
et le point C d’affixe zC symétrique de B par rapport à l’axe des abscisses.
Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.
EXERCICE N°9:
Le plan est rapporter au repère orthonormé direct ( O ,
u
,
v
) , on désigne par A et B les point d affixes respectives – i
et 2i . On note P* l ensemble des points de P distincts de A
Soit f l’application de P* dans P qui, a tout point M d’affixe z, on associe le point f(M) d’affixe Z telle que:
)
2
(iz iz iZ 
1°/ a) Soit M1 le point d affixe i, soit M2 le point d'affixe
i
2
1
2
3
. Déterminer f(M1) et f(M2) .
b) Déterminer le point de P* tel que f ( M ) = O .
c) déterminer le point M de P* tel que f (M) = N , ou N est le point d’affixe 2 – i .
2°/ Déterminer et construire:
a) L'ensemble E des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur.
b) L'ensemble F des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre réel.
c) L'ensemble G des points M de P* dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1
Série d’exercices : nombre complexe 1 Dhahbi .A

Série d’exercices : 4 éme Maths
EXERCICE N° 10:
Pour tout complexe z  1 , on pose z’ =
1
1
z
z
et on appelle A , B , M et M’ les points d’affixes 1 , -1 , z et z’ dans le
plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe ( O ,
u
,
v
) .
1°/ a) Comparer
1z
et
1z
et en déduire
'z
.
b) Traduire géométriquement ce résultat pour le point M’.
2°/ Calculer en fonction de z et
z
, r =
1
1'
z
z
. En déduire que les vecteurs
AM
et
'BM
sont colinéaires.
3°/ Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de M’, on fera une figure.
EXERCICE N11 :
Le plan est rapporter au repère orthonormé direct ( O,
u
,
v
) . Déterminer et construire:
a) L'ensemble E des points M d’affixe z tels que
iz 21
= 3 .
b) L'ensemble F des points M d’affixe z tels que
iz  2
=
iz 22
.
c) L'ensemble G des points M d’affixe z tels que
iiz  2
= 3
d) L'ensemble H des points M d’affixe z tels que
iz 21
= 2
e) L'ensemble I des points M d’affixe z tels que
iz
iiz
2
1
= 1
EXCERCICE N°12 :
1°/ a) Montrer que l ensemble des points M du plan complexe dont l affixe z = x + iy vérifie la relation :
( 3 – 2i )z + (3 + 2i)
z
–12 = 0 ( I ) est une droite D que l on déterminera par une équation cartésienne
et aussi par un point et vecteur directeur
b) Représenter cette droite dans le plan complexe rapporter à un repère orthonormé ( O,
u
,
v
) .
l'unité graphique étant de 1cm .
c) Montrer qu il existe un seul réel z0 et un seul imaginaire pur z1 qui, vérifient la relation (I)
Calculer z0 et z1
2°/ Soit A et B les point d'affixes respectives 3 + 5i et –3 + i
a) Représenter ces points sur le graphique précédent
b) Montrer que la droite D est la médiatrice du segment
AB
.
3°/ Quel est l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie la relation
zizi  353
EXERCICE N° 13 :
Soit le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( O,
u
,
v
) . A chaque point M d’affixe z non nul
On associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ =
z
1
1°/ Montrer que quel que soit le point M distincts de O, on a : OM  OM’ = 1
2°/ Dans cette question le point M appartient à la droite D d'équation : y = - x +
2
1
a) Montrer que l’affixe z de M s écrit alors z = x + (
2
1
- x) i où x l’abscisse de M
b) Montrer que lorsque M appartient à la droite D, l’affixe z de M vérifie l'égalité :
2)1(
1
:21)1(  i
z
aussidoncetziz
c) En déduire que si M appartient à la droite D, M’ appartient à un cercle (C) dont on
déterminera le centre et le rayon. Tracer D et (C)
Pour une bonne réussite
Série d’exercices : nombre complexe n°1 2 Dhahbi .A

Section : Mathématiques *** Année
eme
4
RECAPITULATIF
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Les nombres Complexes
A/ z : affixe du point M. On a pour tout ( x , y ) IR2 \ { ( 0 , 0 ) }
z = x + i y = r ( cos + i sin ) = r e
i
avec r =
z
= OM =
22 yx 
et e
i
= cos + i sin .
F . C F . T F . Exponentielle
Arg ( z ) [ 2 ] avec (
u
,
OM
) ) [ 2 ]
z
= x – i y = r ( cos - i sin ) = r
i
e
B / Propriétés :
Pour tout point M et N d’affixes respectives zM et zN ,
MN zz 
= MN.
Soit z et z’ deux nombres complexes.
z
= 0 si et seulement si z = 0
'.' zzzz 
;
zz 
;
zzz 
2
;
n
nzz 
, n IN*
zz 11 
, z 0 ;
z
z
z
z' '
, z 0 ;
nn z
z11 
, z 0 et n IN*
C / 1°/ Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul.
Arg (
z
) - Arg ( z ) [ 2 ] Arg (- z) + Arg ( z ) [ 2 ]
Si k > 0 alors Arg (kz) Arg ( z ) [ 2 ] ; Si k < 0 alors Arg (kz) + Arg ( z ) [ 2 ]
2°/ Soit z et z’ deux nombres complexes non nul.
Arg ( zz’ ) Arg ( z ) + Arg ( z’ ) [ 2 ] ; Arg (
'z
z
) Arg ( z ) - Arg ( z’ ) [ 2 ]
Arg (
z
1
) - Arg ( z ) [ 2 ] ; Arg ( z n ) n Arg ( z ) [ 2 ] . n IN*
( cos + i sin ) n = cos (n ) + i sin ( n ) Formule de Moivre
z = 0
D / * z IR
z
= z Im ( z ) = 0
Arg ( z ) 0 [ ] si z 0
z IR*+ Arg ( z ) 0 [ 2 ]
* z IR* Arg ( z ) 0 [ ]
z IR-* Arg ( z ) [ 2 ]
* z iIR
z
= - z Re ( z ) = 0
z iIR*+ Arg ( z )
2
[ 2 ]
* z iIR* Arg ( z )
2
[ ]
z iIR-* Arg ( z ) -
2
[ 2 ]
Théorème: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,
u
,
v
).
Soit A , B , C et D des points d’affixes respectives zA , zB , zC et zD et tels que AB ≠ 0 et CD ≠ 0.
Alors (
u
,
AB
) arg(zB - zA) [ 2 ] et
CDAB,
arg(
AB
CD zz zz
) [ 2 ].
Conséquence :
AB
CD zz zz
=
AB
CD
( cos + i sin ) avec
CDAB,
[ 2 ] .
E / Théorème :
* Pour tout nombre complexe z et z’ et tout entier naturel non nul n, on a :
z
= z ;
'zz 
=
z
+
'z
;
'zz
=
z
.
'z
;
n
z
=
n
z
.
RECAPITULATIF :Nombre complexes 1 Dhahbi . A

4éme Maths
* Pour tout nombre complexe z et z’ ( z’ ≠ 0 ) et tout entier naturel n, on a :
'
1
z
=
'
1
z
;
'z
z
=
'z
z
;
n
z)'( 1
=
n
z)'(
1
.
* z +
z
= 2 Re ( z ) ; z -
z
= 2i Im ( z ) ;
z
- z = - 2i Im ( z ) ;
z
1
=
zz
z
; z 0
Théorème :
i
e
=
i
e
;
' i
i
e
e
=
)'( i
e
; e
i
i
e
= 1 ; e
i
' i
e
=
)'( i
e
;
ni
e)(
=
in
e
cos =
zz)Re(
=
2
ii ee 
et sin =
zz)Im(
=
iee ii 2
. Formule d’Euler
e
i
- e
i
= e
)
2
( i
( e
)
2
( i
- e
)
2
( i
) = 2i sin (
2
) e
)
2
( i
;
e
i
+ e
i
= 2 cos (
2
) e
)
2
( i
.
1 + cos x = 2cos 2
2
x
; 1 – cos x = 2sin 2
2
x
; sin x = 2 sin
2
x
cos
2
x
.
F / Equation à cœfficient complexe :
0 =
2
(2i) = [
2
(1 + i)]2 z’ =
2
(1 + i) et z’’= - [
2
(1 + i)]
= i 0 = -
2
(-2i ) = [
2
(1- i)]2 z’ =
2
(1 - i) et z’’= - [
2
(1 - i)]
* Soit T ( z ) = az2 + bz + c, ou a,b et c sont des nombres complexes, tels que a ≠ 0.
Si z’ et z’’ sont les solutions dans C de l’équation T( z ) = 0 alors on a : z’ + z’’ =
a
b
et z’ . z’’ =
a
c
T ( z ) = az2 + bz + c = a (z- z’) ( z – z’’)
Si a + b + c = 0 alors l’équation T( z ) = 0 admet deux solutions : 1 et
a
c
.
Si a - b + c = 0 alors l’équation T( z ) = 0 admet deux solutions : - 1 et -
a
c
.
Point méthode :
1°/ Résolution d’une équation de troisième degré :
Pour résoudre dans C l’équation P( z ) = 0 ou P( z ) = a1z3 + a2z2 + a3z + a4, ou a1, a2 , a3 et a4 sont des
nombres complexes, tels que a1 ≠ 0 connaissant l’un des solutions z0 :
 On calcule les trois nombres complexes a, b et c tels que P ( z ) = (z- z’) (az2 + bz + c).
 On résout l’équation az2 + bz + c = 0.
2°/ Résolution d’une équation bicarrée:
Pour résoudre dans C l’équation P( z ) = 0 ou P( z ) = a z4 + b z2 + c , ou a , b et c sont des
nombres complexes, tels que a ≠ 0:
 On pose Z = z2 et on détermine Z’ et Z’’ solutions dans C de l’équation a Z4 + b Z2 + c = 0
 On cherche les racines carrées de Z’ et Z’’.
H / ( z –z0) (z -
0
z
) = z2 – 2 Re (z0 ) z +
2
0
z
;
0
zz 
= R M( z ) ( M(z0 ) , R)
(
u
,
AB
) Arg ( z B – zA ) [ 2 ] , A B .
1°/ A , B , C et D quatre points distincts deux à deux , on a : (
AB
,
CD
) Arg (
)( )(
AB
CD zz zz
) [ 2 ]
2°/
u
et
v
deux vecteurs non nuls, d’affixe respectives z et z’, on a :
u
et
v
sont colinéaires si et seulement si
'z
z
IR .
u
et
v
sont orthogonaux si et seulement si
'z
z
iIR .
RECAPITULATIF :Nombre complexes 2 Dhahbi . A

4éme Maths
3°/ ABCD est un parallélogramme si et seulement si
AB
=
DC
si et seulement si zB – z A = zC – z D
4°/ ABCD est un losange si et seulement si
AB
=
DC
si et seulement si zB – z A = zC –z D .
AB = A D
ADAB zzzz 
5°/ ABC est un triangle rectangle si et seulement si (
AB
,
AC
)
2
[ 2 ]
si et seulement si Arg (
AB
AC zz zz
)
2
[ 2 ].
6°/ ABC est un triangle rectangle et isocèle en A si et seulement si (
AB
,
AC
)
2
[ 2 ] et AB =AC
si et seulement si Arg (
AB
AC zz zz
)
2
[ 2 ]et
ACAB zzzz 
AB
=
DC
zB – z A = zC – z D .
7°/ABCD est un carré si et seulement si AB = A D si et seulement si
ADAB zzzz 
(
AB
,
AD
)
2
[ 2 ] Arg (
AB
AD zz zz
)
2
[2 ]
AB = AC
8°/ABC est un triangle équilatéral si et seulement si
(
AB
,
AC
)
3
[ 2 ]
ACAB zzzz 
si et seulement si Arg (
AB
AC zz zz
)
3
[ 2 ] si et seulement si
AB
AC zz zz
= e
3
i
I- 1°/ E = { M P , (
MA
,
MB
) [ 2 ] }
= { M( z ) ; Arg (
A
B
zz zz
) [ 2 ] } avec k k Z .
E est l’arc ouvert ] AB [ d’un cercle passant par A et B et tangente à la demi droite [ At) en A telle
que (
At
,
AB
) [ 2 ] . L’arc est situé dans le demi plan de frontière (AB) ne contenant pas [A t)
2°/ F = { M P , (
MA
,
MB
) [ ] }
= { M( z ) ; Arg (
A
B
zz zz
) [ ] } avec k k Z .
F est le cercle passant par A et B privé de A et B et tangente en A à la droite D telle que
(
u
,
AB
) [ 2 ] avec
u
un vecteur directeur de D .
3°/ G = { M P ,
MB
MA
= 1 } = { M( z ) ; │
A
B
zz zz
│ = 1 }= med [ AB ] avec A B .
4°/ H = { M P ,
MB
MA
= k } = { M( z ) ; │
A
B
zz zz
│ = k } avec k 0 et k 1 et A B .
H est le cercle de diamètre [ IJ ] avec
IB
IA
= k et
JB
JA
= -k ( ou H est le cercle de diamètre [ IJ ]
avec I barycentre de ( A , 1 ) et ( B , k ) et J barycentre de ( A , 1 ) et ( B, - k ) ) .
Pour une bonne réussite
RECAPITULATIF :Nombre complexes 3 Dhahbi . A