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Série d’exercices N°1
Nombre complexe
4éme Année * Section : Mathématique
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
EXERCICE N°1 :
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants :
(2i)2 1i

i(3+2i)-3(2-i) ; -2i(2-i)+2(1+2i) ; (1+i)³ ; (1-i)³ ; (2+i)² - 2i(3-2i) ; i 5 ; 3i  2i ;
35i
2i 3i
3i
3i
EXERCICE N°2 :
On pose j = - 1 + i 3 . calculer : j² ; j³ puis 1 + j + j² .
2
2
EXERCICE N°3 :
Représenter dans le plan complexe les points A , B , C et D d’affixes respectives 2 ,3 + 2i , –3 + i et – 4 - i
Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE N°4 :
Représenter dans le plan complexe les points A , B , C d’affixes respectives –2i ; 1 + 2i et –3 + i .
Déterminer l’affixe du point D tel que ABCD est un parallélogramme.
EXERCICE N° 5 :
On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives –1 + i; 2 et 3 (1 + i).
Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
EXERCICE N°6 :
Déterminer l’ensemble des points M d’affixes z tels que les points d’affixes respectives i, iz et z sont alignés.
EXERCICE N°7 :
Calculer les modules des nombres complexes suivants : 1 - i ; 1 + i 3 ; 3 + 2i ; -2i ;
(1i)3
1i 3
;
EXERCICE N°8:
Dans le plan complexe rapporté ǎ un R.O.N (O, u , v ) ; on considère le point A d’affixes zA = i
Le point B d’affixe zB =  3 i et le point C d’affixe zC symétrique de B par rapport à l’axe des abscisses.
2
Montrer que le triangle ABC est isocèle en B.
EXERCICE N°9:
Le plan est rapporter au repère orthonormé direct ( O , u , v ) , on désigne par A et B les point d affixes respectives – i
et 2i . On note P* l ensemble des points de P distincts de A
Soit f l’application de P* dans P qui, a tout point M d’affixe z, on associe le point f(M) d’affixe Z telle que:
Z  i(
z  2i
)
z i
1°/ a) Soit M1 le point d affixe i, soit M2 le point d'affixe
3 1
 i . Déterminer f(M1) et f(M2) .
2 2
b) Déterminer le point de P* tel que f ( M ) = O .
c) déterminer le point M de P* tel que f (M) = N , ou N est le point d’affixe 2 – i .
2°/ Déterminer et construire:
a) L'ensemble E des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre imaginaire pur.
b) L'ensemble F des points M de P* dont les images ont pour affixe un nombre réel.
c) L'ensemble G des points M de P* dont les images appartiennent au cercle de centre O et de rayon 1
Série d’exercices : nombre complexe
1
Dhahbi .A
Série d’exercices : 4 éme Maths
EXERCICE N° 10:
Pour tout complexe z  1 , on pose z’ = z 1 et on appelle A , B , M et M’ les points d’affixes 1 , -1 , z et z’ dans le
z 1
plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe ( O , u , v ) .
1°/ a) Comparer z  1 et z  1 et en déduire z ' .
b) Traduire géométriquement ce résultat pour le point M’.
2°/ Calculer en fonction de z et z , r = z'1 . En déduire que les vecteurs AM et BM ' sont colinéaires.
z 1
3°/ Utiliser ce qui précède pour donner une construction géométrique de M’, on fera une figure.
EXERCICE N11 :
Le plan est rapporter au repère orthonormé direct ( O, u , v ) . Déterminer et construire:
a) L'ensemble E des points M d’affixe z tels que z  1 2i = 3 .
b) L'ensemble F des points M d’affixe z tels que z  2  i = z  2  2i .
c) L'ensemble G des points M d’affixe z tels que iz  2  i = 3
d) L'ensemble H des points M d’affixe z tels que z  1 2i = 2
e) L'ensemble I des points M d’affixe z tels que
iz  1  i
=1
z2i
EXCERCICE N°12 :
1°/ a) Montrer que l ensemble des points M du plan complexe dont l affixe z = x + iy vérifie la relation :
( 3 – 2i )z + (3 + 2i) z –12 = 0 ( I ) est une droite D que l on déterminera par une équation cartésienne
et aussi par un point et vecteur directeur
b) Représenter cette droite dans le plan complexe rapporter à un repère orthonormé ( O, u , v ) .
l'unité graphique étant de 1cm .
c) Montrer qu il existe un seul réel z0 et un seul imaginaire pur z1 qui, vérifient la relation (I)
Calculer z0 et z1
2°/ Soit A et B les point d'affixes respectives 3 + 5i et –3 + i
a) Représenter ces points sur le graphique précédent
b) Montrer que la droite D est la médiatrice du segment AB .
3°/ Quel est l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie la relation 3  5i  z   3  i  z
EXERCICE N° 13 :
Soit le plan complexe rapporté au repère orthonormé ( O, u , v ) . A chaque point M d’affixe z non nul
On associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ =
1
z
1°/ Montrer que quel que soit le point M distincts de O, on a : OM  OM’ = 1
2°/ Dans cette question le point M appartient à la droite D d'équation : y = - x +
a) Montrer que l’affixe z de M s écrit alors z = x + (
1
2
1
- x) i où x l’abscisse de M
2
b) Montrer que lorsque M appartient à la droite D, l’affixe z de M vérifie l'égalité :
z (1  i )  1  2 z et donc aussi :
1
 (1  i )  2
z
c) En déduire que si M appartient à la droite D, M’ appartient à un cercle (C) dont on
déterminera le centre et le rayon. Tracer D et (C)
Pour une bonne réussite
Série d’exercices : nombre complexe n°1
2
Dhahbi .A
4eme Année *** Section : Mathématiques
RECAPITULATIF
Prof : Dhahbi . A * Por : 97441893
Les nombres Complexes
A/ z : affixe du point M. On a pour tout ( x , y )  IR2 \ { ( 0 , 0 ) }
z = x + i y = r ( cos  + i sin  ) = r e i avec r = z = OM =
F.C
F.T
x 2  y 2 et e i = cos  + i sin  .
F . Exponentielle
Arg ( z )   [ 2  ] avec ( u , OM ) )   [ 2  ]
z = x – i y = r ( cos  - i sin  ) = r e  i
B/
Propriétés :
Pour tout point M et N d’affixes respectives zM et zN , z N  z M
= MN.
Soit z et z’ deux nombres complexes.
z = 0 si et seulement si z = 0
zz '  z . z' ; z  z ; z  z z ;
2
z'
1 1
z'
,z 0;
 ,z 0;

z
z
z
z
z n  z , n  IN*
n
1
1
 n , z  0 et n  IN*
n
z
z
C / 1°/ Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul.
Arg ( z )  - Arg ( z ) [ 2  ]
Arg (- z)   + Arg ( z ) [ 2  ]
Si k > 0 alors Arg (kz)  Arg ( z ) [ 2  ] ; Si k < 0 alors Arg (kz)   + Arg ( z ) [ 2  ]
2°/ Soit z et z’ deux nombres complexes non nul.
Arg ( zz’ )  Arg ( z ) + Arg ( z’ ) [ 2  ]
Arg (
;
Arg (
z
)  Arg ( z ) - Arg ( z’ ) [ 2  ]
z'
1
)  - Arg ( z ) [ 2  ] ; Arg ( z n )  n Arg ( z ) [ 2  ] . n  IN*
z
( cos  + i sin  ) n = cos (n  ) + i sin ( n  )
z =0
D / * z  IR  z = z  Im ( z ) = 0 
* z  IR* 
Arg ( z )  0 [  ] 
Formule de Moivre
Arg ( z )  0 [  ] si z  0
z  IR*+  Arg ( z )  0 [ 2  ]
z  IR-*  Arg ( z )   [ 2  ]
* z  iIR  z = - z  Re ( z ) = 0
z  iIR*+  Arg ( z ) 
* z  iIR* 
Arg ( z ) 

[ ] 
2

[ 2 ]
2
z  iIR-*  Arg ( z )  -

[ 2 ]
2
Théorème: Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O, u , v ).
Soit A , B , C et D des points d’affixes respectives zA , zB , zC et zD et tels que AB ≠ 0 et CD ≠ 0.





Alors ( u , AB )  arg(zB - zA) [ 2  ] et  AB, CD   arg(
Conséquence :
z D  zC
) [ 2  ].
zB  z A

z D  z C CD


=
( cos  + i sin  ) avec  AB, CD    [ 2  ] .
AB
zB  z A


E / Théorème :
* Pour tout nombre complexe z et z’ et tout entier naturel non nul n, on a :

n
z = z ; z  z ' = z + z ' ; zz ' = z . z ' ; z n = z .
RECAPITULATIF :Nombre complexes
1
Dhahbi . A
4éme Maths
* Pour tout nombre complexe z et z’ ( z’ ≠ 0 ) et tout entier naturel n, on a :
1
 
 z' 
=
 1
z
1
z
;   =
; 
n
z'  z'  z'  ( z' )
* z + z = 2 Re ( z ) ;

1
 =
.
 ( z' ) n
z - z = 2i Im ( z )
z - z = - 2i Im ( z )
;
;
z
1
=
z
zz
;z 0
e i
= e i (  ') ; e i e  i = 1 ; e i e i ' = e i (  ') ; (e i ) n = e in
e i '
Re( z)
Im( z)
e i  e  i 
e i  e  i 
cos  =
=
et
sin  =
=
. Formule d’Euler
2
2i
z
z
Théorème : e i = e  i
e
i
- e
i
i(
=
e
 
2
e i + e i = 2 cos (
1 + cos x = 2cos 2
;
)
i(
 
( e
 
2
x
2
2
 
- e
i(
)e
i (
)
 
2
2
)
) = 2i sin (
 
2
i(
)e
 
2
)
;
)
.
x
2
; 1 – cos x = 2sin 2
;
sin x = 2 sin
x
x
cos
.
2
2
F / Equation à cœfficient complexe :


(2i) = [
(1 + i)]2
2
2


  0   = - (-2i ) = [  (1- i)]2
2
2
  0  =
 = i
 z’ =
 z’ =


(1 + i) et z’’= - [
(1 + i)]
2
2


 (1 - i) et z’’= - [  (1 - i)]
2
2
* Soit T ( z ) = az2 + bz + c, ou a,b et c sont des nombres complexes, tels que a ≠ 0.
Si z’ et z’’ sont les solutions dans C de l’équation T( z ) = 0 alors on a : z’ + z’’ = 
c
b
et z’ . z’’ =
a
a
T ( z ) = az2 + bz + c = a (z- z’) ( z – z’’)
 Si a + b + c = 0 alors l’équation T( z ) = 0 admet deux solutions : 1 et
c
.
a
 Si a - b + c = 0 alors l’équation T( z ) = 0 admet deux solutions : - 1 et -
c
.
a
Point méthode :
1°/ Résolution d’une équation de troisième degré :
Pour résoudre dans C l’équation P( z ) = 0 ou P( z ) = a1z3 + a2z2 + a3z + a4, ou a1, a2 , a3 et a4 sont des
nombres complexes, tels que a1 ≠ 0 connaissant l’un des solutions z0 :
 On calcule les trois nombres complexes a, b et c tels que P ( z ) = (z- z’) (az2 + bz + c).
 On résout l’équation az2 + bz + c = 0.
2°/ Résolution d’une équation bicarrée:
Pour résoudre dans C l’équation P( z ) = 0 ou P( z ) = a z4 + b z2 + c , ou a , b et c sont des
nombres complexes, tels que a ≠ 0:
 On pose Z = z2 et on détermine Z’ et Z’’ solutions dans C de l’équation a Z4 + b Z2 + c = 0
 On cherche les racines carrées de Z’ et Z’’.
H / ( z –z0) (z - z 0 ) = z2 – 2 Re (z0 ) z + z 0
( u , AB )  Arg ( z B – zA ) [ 2  ]
2
; z  z 0 = R  M( z )   ( M(z0 ) , R)
, A  B .
1°/ A , B , C et D quatre points distincts deux à deux , on a : ( AB , CD )  Arg (
( z D  zC )
) [ 2 ]
(zB  z A )
2°/ u et v deux vecteurs non nuls, d’affixe respectives z et z’, on a :
z
 IR .
z'
z
 iIR .
 u et v sont orthogonaux si et seulement si
z'
 u et v sont colinéaires si et seulement si
RECAPITULATIF :Nombre complexes
2
Dhahbi . A
4éme Maths
3°/ ABCD est un parallélogramme si et seulement si AB = DC si et seulement si zB – z A = zC – z D
AB = DC
4°/ ABCD est un losange si et seulement si
zB – z A = zC –z D .
si et seulement si
zB  z A  zD  z A
AB = A D

[ 2 ]
2
z  zA

si et seulement si Arg ( C
)  [ 2  ].
2
zB  z A

6°/ ABC est un triangle rectangle et isocèle en A si et seulement si ( AB , AC ) 
[ 2  ] et AB =AC
2
z  zA

si et seulement si Arg ( C
)  [ 2  ]et z B  z A  zC  z A
2
zB  z A
5°/ ABC est un triangle rectangle
si et seulement si ( AB , AC ) 
zB – z A = zC – z D .
AB = DC
7°/ABCD est un carré si et seulement si
AB = A D
( AB , AD ) 
si et seulement si

[ 2 ]
2
zB  z A  zD  z A
Arg (
zD  z A

)  [2  ]
2
zB  z A
AB = AC
8°/ABC est un triangle équilatéral si et seulement si
( AB , AC ) 

[ 2 ]
3
z B  z A  zC  z A
si et seulement si
Arg (
zC  z A

) 
[ 2 ]
3
zB  z A
si et seulement si

i
zC  z A
=e 3
zB  z A
I- 1°/ E = { M  P , ( MA , MB )   [ 2  ] }
z  zB
)   [ 2  ] } avec   k  k  Z .
z  zA
E est l’arc ouvert ] AB [ d’un cercle  passant par A et B et tangente à la demi droite [ At) en A telle
= { M( z ) ; Arg (
que ( At , AB )   [ 2  ] . L’arc est situé dans le demi plan de frontière (AB) ne contenant pas [A t)
2°/ F = { M  P , ( MA , MB )   [  ] }
= { M( z ) ; Arg (
z  zB
)   [  ] } avec   k  k  Z .
z  zA
F est le cercle  passant par A et B privé de A et B et tangente en A à la droite D telle que
( u , AB )   [ 2  ] avec u un vecteur directeur de D .
3°/ G = { M  P ,
z  zB
MA
= 1 } = { M( z ) ; │
│ = 1 }= med [ AB ] avec A  B .
MB
z  zA
4°/ H = { M  P ,
z  zB
MA
= k } = { M( z ) ; │
│ = k } avec k  0 et k  1 et A  B .
MB
z  zA
H est le cercle de diamètre [ IJ ] avec
IA
JA
= k et
= -k ( ou H est le cercle de diamètre [ IJ ]
IB
JB
avec I barycentre de ( A , 1 ) et ( B , k ) et J barycentre de ( A , 1 ) et ( B, - k ) ) .
Pour une bonne réussite
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Dhahbi . A