Sujets de Bac : France, juin 2009.

Tale S3 CH8-Les nombres complexes.
Sujets de Bac : France, juin 2009.
1. Par définition du module d’un nombre complexe,
OM =|z|et OM1=
1
z
Donc OM ×OM1=|z|
1
z
=|z|1
|z|= 1.
Par définition de l’argument d’un nombre complexe non nul :
(−→ u , −−→ OM) = arg(z)[2π]et (−→ u , −−−→ OM1) = arg 1
z![2π]
Or arg 1
z!=−arg(z)[2π].
D’où
(−→ u , −−−→ OM1) = −(−→ u , −−→ OM)[2π]
2. a. Comme M’ est le milieu de [MM1]avecM(z)etM1 1
z!, on a :
z′=z+1
z
2=1 2 z+1 z!
b. On note zBet Z′
Bles affixes respectives des points B et B’.
z′
B=1
2 zB+1 zB!=1 2 2i+1 2i!=1 2 4i 2
−i
2!=1 2×3i 2=3i 4.
On note zCet Z′
Cles affixes respectives des points C et C’.
z′
C=1
2 zC+1 zC!=1 2 −2i+1 −2i!=1 2 −4i 2
i
2!=1 2×−3i 2=−3i 4.
c. Figure :
−→
u
−→
v
B
C
B’
C’
1 2009-2010

Tale S3 CH8-Les nombres complexes.
3.
M′=M⇔z′=z
⇔1
2 z+1 z!=z
⇔z+1
z= 2z
⇔1
z=z
⇔1 = z2
⇔z= 1 ou z =−1
Donc l’ensemble des points M tels que M’=M est constitué de deux points : K d’affixe −1et L d’affixe
1.
4. Soit M un point du cercle de centre O et de rayon 1. On note z=x+iy, avec x, y ∈Rl’affixe de M.
On a alors |z|= 1 ⇔px2+y2= 1 ⇔x2+y2= 1(∗).
On veut montrer que M’ est un point du segment [KL] avec K le point d’affixe −1et L le point d’affixe
1.
M’ appartient à [KL] si et seulement si M’ est un point de l’axe des abscisses et OM’<1, c’est-à-dire
z′est un réel et |z′|= 1.
Montrons que z′est réel.
z′=1
2 x+iy +1 x+iy!
=1
2 (x+iy)2+ 1 x+iy !
=1
2 x2+ 2ixy −y2+ 1 x+iy !
=1
2 2x2+ 2ixy x+iy !car y2−1 = x2d′apres (∗)
=1
2 (2x2+ 2ixy)(x−iy) x2+y2!
=1
2 2x3−2x2yi + 2x2yi + 2xy2 1!
=2x3+ 2xy2
2∈R
Remarque :2x3+ 2xy2
2=x.
Montrons que |z′| ≤ 1.
|z′|=
1
2 z+1 z!
=1
2
z+1
z
≤1
2 |z|+
1
z!, d’après l’inégalité triangulaire.
Or |z|+
1
z
=|z|+1
|z|= 1 + 1 = 2 car |z|= 1.
Donc
|z′| ≤ 1
On a donc bien montré que si M est un point du cercle de centre O et de rayon 1 alors M’ est un point
du segment [KL].
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