Exercices d'algèbre : Anneaux, Idéaux, Anneaux principaux

Exercices - Anneaux : ´enonc´e
Structure d’anneaux
Exercice 1 - El´ements nilpotents -Math Sp´e/L2 -?
Un ´el´ement xd’un anneau Aest dit nilpotent s’il existe un entier n≥1tel que xn= 0. On
suppose que Aest commutatif, et on fixe x, y deux ´el´ements nilpotents.
1. Montrer que xy est nilpotent.
2. Montrer que x+yest nilpotent.
3. Montrer que 1A−xest inversible.
4. Soient u, v ∈Atel que uv est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent.
Exercice 2 - Un anneau d’entiers -Math Sp´e/L2/L3 -??
On consid`ere Z[√2] = {a+b√2; a, b ∈Z}.
1. Montrer que (Z[√2],+,×)est un anneau.
2. On note N(a+b√2) = a2−2b2. Montrer que, pour tous x, y de Z[√2], on a N(xy) =
N(x)N(y).
3. En d´eduire que les ´el´ements inversibles de Z[√2] sont ceux s’´ecrivant a+b√2avec a2−2b2=
±1.
Id´ eaux
Exercice 3 - Produit et Somme -L2/L3/Math Sp´e -??
Soit (A, +,×)un anneau commutatif. Si Iet Jsont deux id´eaux de A, on note
I+J={i+j;i∈I, ;j∈J}
I.J ={i1j1+··· +injn;n≥1, ik∈I, jk∈J}
On dit que deux id´eaux Iet Jsont ´etrangers si I+J=A.
1. Montrer que I+Jet IJ sont encore des id´eaux de A.
2. Montrer que I.J ⊂I∩J.
3. Montrer que (I+J).(I∩J)⊂I.J.
4. Montrer que si Iet Jsont ´etrangers, alors I.J =I∩J.
Exercice 4 - Radical d’un id´eal -Math Sp´e/L3 -??
Soit Aun anneau commutatif (unitaire). Si Iest un id´eal de A, on appelle radical de I
l’ensemble √I={x∈A;∃n≥1, xn∈I}.
1. Montrer que √Iest un id´eal de A.
2. Soient I, J deux id´eaux de Aet p≥1. Montrer que
√I.J =√I∩J=√I∩√J, q√I=√Iet √Ip=√I.
3. Si A=Zet I=kZ,k≥1, d´eterminer le radical de I.
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Exercices - Anneaux : ´enonc´e
Exercice 5 - Id´eaux premiers - id´eaux maximaux -L2/L3/Math Sp´e -???
Soit Aun anneau commutatif. On dit qu’un id´eal Iest premier si xy ∈=⇒x∈Iou y∈I.
On dit que Iest maximal si, pour tout id´eal Jde Atel que I⊂J, on a J=Iou J=A.
1. D´eterminer les id´eaux premiers de Z.
2. Soit Iun id´eal et x∈A\I. Soit Jl’id´eal engendr´e par I et x. Montrer que
J={a∈A;∃i∈I, ∃k∈Z, a =i+kx}.
3. En d´eduire que tout id´eal maximal est premier.
4. Montrer que si tous les id´eaux de Asont premiers, alors Aest un corps.
5. (pour ceux qui savent) Montrer que si Aest principal, tout id´eal premier est maximal.
6. (pour ceux qui savent) Soit I un id´eal de A. Montrer que Iest premier si et seulement
si A/I est int`egre. Montrer que Iest maximal si et seulement si A/I est un corps. En
d´eduire une autre preuve que Imaximal entraine Ipremier.
Anneaux principaux
Exercice 6 - Suite d´ecroissante d’id´eaux -L3 -?
Soit Aun anneau principal tel que tout suite d´ecroissante d’id´eaux est stationnaire. Montrer
que Aest un corps.
Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler `a
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Exercices - Anneaux : indications
Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents -Math Spé/L2 -?
Soient n, m tels que xn= 0 et ym= 0.
1. Calculer (xy)pavec p≥min(n, m).
2. Calculer (x+y)n+m.
3. Calculer (1 −x)(1 + x+· · · +xp).
4. Si (uv)n= 0, montrer que (vu)n+1 = 0.
Exercice 2 - Un anneau d’entiers -Math Spé/L2/L3 -??
1. Montrer que c’est un sous-anneau de (R,+,×).
2. Il suffit simplement de vérifier l’égalité.
3. Si xest inversible d’inverse y, on a N(xy) = 1 = N(x)N(y). Réciproquement, simplifier
1
a+b√2en utilisant la quantité conjuguée.
Idéaux
Exercice 3 - Produit et Somme -L2/L3/Math Spé -??
1. Il suffit d’écrire la définition ?
2. i∈I,j∈Jimplique ij ∈Ipar exemple.
3.
4. Ecrire x= 1.x.
Exercice 4 - Radical d’un idéal -Math Spé/L3 -??
1. Pour montrer la stabilité par la loi +, on pourra utiliser la formule du binôme à une bonne
puissance de (x+y).
2. Pour les trois premières égalités, raisonner par inclusions successives (1⊂2⊂3⊂1)
fonctionne. On pourra remarquer que si xn∈Iet xm∈J, alors xn+m∈I.J.
3. Décomposer ken produits de facteurs premiers k=pα1
1. . . pαr
ret prouver que ∃n≥1, k|xn
est équivalent à x∈(p1. . . pr)Z.
Exercice 5 - Idéaux premiers - idéaux maximaux -L2/L3/Math Spé -???
1. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur de I.
2. Poser K={a∈A;∃i∈I, ∃k∈Z, a =i+kx}, vérifier que Kest un idéal, puis que tout
idéal de Acontenant I et xcontient K.
3. Soit x, y ∈Atels que xy ∈Iet x /∈I. Considérer l’idéal engendré par Iet x.
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Exercices - Anneaux : indications
4. Montrer d’abord que Aest intègre en utilisant l’idéal engendré par 0. Puis, pour un
élément xnon nul, considérer l’idéal engendré par x2.
5. Soit I= (a)un idéal et I⊂J= (b). Ecrire que a=bc et donc b∈Iou c∈Iet discuter.
6. Pour la partie intègre, un raisonnement direct convient. Pour la partie maximale, on peut
utiliser que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de Acontenant I.
Anneaux principaux
Exercice 6 - Suite décroissante d’idéaux -L3 -?
Considérer aun élément non nul, et la suite d’idéaux In= (an).
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Exercices - Anneaux : corrigé
Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents -Math Spé/L2 -?
Soient n, m tels que xn= 0 et ym= 0.
1. Puisque xet ycommutent, on a (xy)n=xnyn= 0 ×yn= 0.
2. Remarquons d’abord que pour p≥n, on a xp=xp−nxn= 0. D’après la formule du
binôme, (x+y)n+m=Pn+m
k=0 n+m
kxkyn+m−k. Mais, pour k≥n,xk= 0 =⇒xkyn+m−k=
0. D’autre part, pour k < n, on a n+m−k≥met donc yn+m−k= 0 =⇒xkyn+m−k= 0.
Ainsi, (x+y)n+m= 0. On pourrait même se contenter de prendre la puissance n+m−1.
3. L’idée est d’utiliser l’identité remarquable (toujours valable dans un anneau)
1−xp= (1 −x)(1 + x+··· +xp−1).
Si on l’applique pour p=n, alors on obtient
1 = (1 −x)(1 + x+··· +xn−1)
ce qui implique que 1−xest inversible d’inverse 1 + x+··· +xn−1.
4. Soit n≥1tel que (uv)n= 0. Alors
(vu)n+1 =v(uv)nu=v×0×u= 0.
Ainsi, vu est nilpotent.
Exercice 2 - Un anneau d’entiers -Math Spé/L2/L3 -??
1. Il suffit de prouver que c’est un sous-anneau de (R,+,×). Mais Z[√2] est
– stable par la loi + : (a+b√2) + (a0+b0√2) = (a+a0)+(b+b0)√2.
– stable par la loi ×:
(a+b√2) ×(a0+b0√2) = (aa0+ 2bb0)+(ab0+a0b)√2
.
– stable par passage à l’opposé −(a+b√2) = −a+ (−b)√2.
De plus, 1∈Z[√2], ce qui achève la preuve du fait que Z[√2] est un sous-anneau de R.
2. Posons x=a+b√2et y=a0+b0√2. En tenant compte de la formule pour le produit
obtenue à la question précédente, on a
N(xy) = (aa0+ 2bb0)2−2(ab0+a0b)2
= (aa0)2−2(ab0)2−2(a0b)2+ (4bb0)2.
D’autre part,
N(x)×N(y)=(a2−2b2)(a02−2b02)
= (aa0)2−2(ab0)2−2(a0b)2+ (4bb0)2.
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