Exercices - Anneaux : énoncé Structure d`anneaux Idéaux

Exercices - Anneaux : énoncé
Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 - ?
Un élément x d’un anneau A est dit nilpotent s’il existe un entier n ≥ 1 tel que xn = 0. On
suppose que A est commutatif, et on fixe x, y deux éléments nilpotents.
1. Montrer que xy est nilpotent.
2. Montrer que x + y est nilpotent.
3. Montrer que 1A − x est inversible.
4. Soient u, v ∈ A tel que uv est nilpotent. Montrer que vu est nilpotent.
Exercice 2 - Un√anneau d’entiers
- Math Spé/L2/L3 - ??
√
On considère Z[ 2] = {a + b 2; a, b ∈ Z}.
√
1. Montrer que (Z[ 2], +, ×) est un anneau.
√
√
2. On note N (a + b 2) = a2 − 2b2 . Montrer que, pour tous x, y de Z[ 2], on a N (xy) =
N (x)N (y).
√
√
3. En déduire que les éléments inversibles de Z[ 2] sont ceux s’écrivant a+b 2 avec a2 −2b2 =
±1.
Idéaux
Exercice 3 - Produit et Somme - L2/L3/Math Spé - ??
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. Si I et J sont deux idéaux de A, on note
I +J
I.J
= {i + j; i ∈ I, ; j ∈ J}
= {i1 j1 + · · · + in jn ; n ≥ 1, ik ∈ I, jk ∈ J}
On dit que deux idéaux I et J sont étrangers si I + J = A.
1. Montrer que I + J et IJ sont encore des idéaux de A.
2. Montrer que I.J ⊂ I ∩ J.
3. Montrer que (I + J).(I ∩ J) ⊂ I.J.
4. Montrer que si I et J sont étrangers, alors I.J = I ∩ J.
Exercice 4 - Radical d’un idéal - Math Spé/L3 - ??
Soit A √
un anneau commutatif (unitaire). Si I est un idéal de A, on appelle radical de I
l’ensemble I = {x ∈ A; ∃n ≥ 1, xn ∈ I}.
√
1. Montrer que I est un idéal de A.
2. Soient I, J deux idéaux de A et p ≥ 1. Montrer que
√
√
I.J =
I ∩J =
√
I∩
√
q√
J,
√
I=
√
I et
Ip =
√
I.
3. Si A = Z et I = kZ, k ≥ 1, déterminer le radical de I.
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Exercices - Anneaux : énoncé
Exercice 5 - Idéaux premiers - idéaux maximaux - L2/L3/Math Spé - ???
Soit A un anneau commutatif. On dit qu’un idéal I est premier si xy ∈ =⇒ x ∈ I ou y ∈ I.
On dit que I est maximal si, pour tout idéal J de A tel que I ⊂ J, on a J = I ou J = A.
1. Déterminer les idéaux premiers de Z.
2. Soit I un idéal et x ∈ A\I. Soit J l’idéal engendré par I et x. Montrer que
J = {a ∈ A; ∃i ∈ I, ∃k ∈ Z, a = i + kx} .
3. En déduire que tout idéal maximal est premier.
4. Montrer que si tous les idéaux de A sont premiers, alors A est un corps.
5. (pour ceux qui savent) Montrer que si A est principal, tout idéal premier est maximal.
6. (pour ceux qui savent) Soit I un idéal de A. Montrer que I est premier si et seulement
si A/I est intègre. Montrer que I est maximal si et seulement si A/I est un corps. En
déduire une autre preuve que I maximal entraine I premier.
Anneaux principaux
Exercice 6 - Suite décroissante d’idéaux - L3 - ?
Soit A un anneau principal tel que tout suite décroissante d’idéaux est stationnaire. Montrer
que A est un corps.
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Exercices - Anneaux
: indications
Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 - ?
Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0.
1. Calculer (xy)p avec p ≥ min(n, m).
2. Calculer (x + y)n+m .
3. Calculer (1 − x)(1 + x + · · · + xp ).
4. Si (uv)n = 0, montrer que (vu)n+1 = 0.
Exercice 2 - Un anneau d’entiers - Math Spé/L2/L3 - ??
1. Montrer que c’est un sous-anneau de (R, +, ×).
2. Il suffit simplement de vérifier l’égalité.
3. Si x est inversible d’inverse y, on a N (xy) = 1 = N (x)N (y). Réciproquement, simplifier
1√
en utilisant la quantité conjuguée.
a+b 2
Idéaux
Exercice 3 - Produit et Somme - L2/L3/Math Spé - ??
1. Il suffit d’écrire la définition ?
2. i ∈ I, j ∈ J implique ij ∈ I par exemple.
3.
4. Ecrire x = 1.x.
Exercice 4 - Radical d’un idéal - Math Spé/L3 - ??
1. Pour montrer la stabilité par la loi +, on pourra utiliser la formule du binôme à une bonne
puissance de (x + y).
2. Pour les trois premières égalités, raisonner par inclusions successives (1 ⊂ 2 ⊂ 3 ⊂ 1)
fonctionne. On pourra remarquer que si xn ∈ I et xm ∈ J, alors xn+m ∈ I.J.
3. Décomposer k en produits de facteurs premiers k = pα1 1 . . . pαr r et prouver que ∃n ≥ 1, k|xn
est équivalent à x ∈ (p1 . . . pr )Z.
Exercice 5 - Idéaux premiers - idéaux maximaux - L2/L3/Math Spé - ???
1. Factoriser en produits de facteurs premiers un générateur de I.
2. Poser K = {a ∈ A; ∃i ∈ I, ∃k ∈ Z, a = i + kx}, vérifier que K est un idéal, puis que tout
idéal de A contenant I et x contient K.
3. Soit x, y ∈ A tels que xy ∈ I et x ∈
/ I. Considérer l’idéal engendré par I et x.
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Exercices - Anneaux
: indications
4. Montrer d’abord que A est intègre en utilisant l’idéal engendré par 0. Puis, pour un
élément x non nul, considérer l’idéal engendré par x2 .
5. Soit I = (a) un idéal et I ⊂ J = (b). Ecrire que a = bc et donc b ∈ I ou c ∈ I et discuter.
6. Pour la partie intègre, un raisonnement direct convient. Pour la partie maximale, on peut
utiliser que les idéaux de A/I sont en bijection avec les idéaux de A contenant I.
Anneaux principaux
Exercice 6 - Suite décroissante d’idéaux - L3 - ?
Considérer a un élément non nul, et la suite d’idéaux In = (an ).
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Exercices - Anneaux
: corrigé
Structure d’anneaux
Exercice 1 - Eléments nilpotents - Math Spé/L2 - ?
Soient n, m tels que xn = 0 et y m = 0.
1. Puisque x et y commutent, on a (xy)n = xn y n = 0 × y n = 0.
2. Remarquons d’abord que pour p ≥ n, on a xp = xp−n xn = 0. D’après la formule du
P
n+m k n+m−k
binôme, (x+y)n+m = n+m
x y
. Mais, pour k ≥ n, xk = 0 =⇒ xk y n+m−k =
k=0
k
0. D’autre part, pour k < n, on a n + m − k ≥ m et donc y n+m−k = 0 =⇒ xk y n+m−k = 0.
Ainsi, (x + y)n+m = 0. On pourrait même se contenter de prendre la puissance n + m − 1.
3. L’idée est d’utiliser l’identité remarquable (toujours valable dans un anneau)
1 − xp = (1 − x)(1 + x + · · · + xp−1 ).
Si on l’applique pour p = n, alors on obtient
1 = (1 − x)(1 + x + · · · + xn−1 )
ce qui implique que 1 − x est inversible d’inverse 1 + x + · · · + xn−1 .
4. Soit n ≥ 1 tel que (uv)n = 0. Alors
(vu)n+1 = v(uv)n u = v × 0 × u = 0.
Ainsi, vu est nilpotent.
Exercice 2 - Un anneau d’entiers - Math Spé/L2/L3 - ??
√
1. Il suffit de prouver que c’est √
un sous-anneau
de
(R,
+,
×).
Mais
Z[
√
√2] est
– stable par la loi + : (a + b 2) + (a0 + b0 2) = (a + a0 ) + (b + b0 ) 2.
– stable par la loi × :
√
√
√
(a + b 2) × (a0 + b0 2) = (aa0 + 2bb0 ) + (ab0 + a0 b) 2
.
√
√
– stable par passage
à l’opposé −(a + b 2) = −a + (−b) √2.
√
De plus, 1 ∈ Z[ 2], ce qui achève la preuve du fait que Z[ 2] est un sous-anneau de R.
√
√
2. Posons x = a + b 2 et y = a0 + b0 2. En tenant compte de la formule pour le produit
obtenue à la question précédente, on a
N (xy) = (aa0 + 2bb0 )2 − 2(ab0 + a0 b)2
= (aa0 )2 − 2(ab0 )2 − 2(a0 b)2 + (4bb0 )2 .
D’autre part,
N (x) × N (y) = (a2 − 2b2 )(a02 − 2b02 )
= (aa0 )2 − 2(ab0 )2 − 2(a0 b)2 + (4bb0 )2 .
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Exercices - Anneaux
: corrigé
√
3. Soit x = a + b 2. Supposons d’abord que x est inversible, d’inverse y. Alors N (xy) =
N (1) = 1, et donc N (x)N (y) = 1. Puisque N (x) et N (y) sont tous les deux des entiers,
on a nécessairement N (x) = ±1. Réciproquement, si N (x) = ±1, alors, en utilisant la
quantité conjuguée :
√
√
1
a−b 2
√ = 2
= ±(a − b 2)
2
a − 2b
a+b 2
√
√
ce qui montre que a + b 2 est inversible, d’inverse ±(a − b 2).
Idéaux
Exercice 3 - Produit et Somme - L2/L3/Math Spé - ??
1. Commençons par I + J. Il faut d’abord démontrer que c’est un sous-groupe de (A, +).
Mais 0 = 0 + 0 ∈ I + J. D’autre part, si x et y sont éléments de I + J, on les écrit x = i + j,
y = i0 + j 0 , et on a
x − y = (i − i0 ) + (j − j 0 ) ∈ I + J
puisque i − i0 ∈ I et j − j 0 ∈ J. D’autre part, pour a ∈ A, on a, par distributivité de ×
par rapport à + :
ax = ai + aj ∈ I + J
puisque, I et J étant deux idéaux, ai ∈ I et aj ∈ J. Ceci prouve que I + J est un idéal.
P
Passons maintenant à I.J : 0 × 0 = 0 est élément de I.J. De plus, si x = nk=1 ik jk et
P
0 0
0
0
0
y= m
l=1 il jl , en posant ik = −ik−n et jk = −jk−n pour k allant de n + 1 à n + m, on a
x−y =
n+m
X
ik jk
k=1
ce qui prouve que I.J est un sous-groupe de (A, +). Enfin, pour tout a dans A, on a
ax =
n
X
(aik )(bjk ) ∈ I.J
k=1
puisque chaque aik (resp. ajk ) est élément de I (resp. de J).
2. Soit x = nk=1 ik jk un élément de I.J. Pour chaque k, ik jk est un élément de I puisque I
est un idéal. Comme I est de plus stable par la somme, I.J est bien contenu dans I. Par
symétrie du rôle joué par I et J, I.J est aussi contenu dans J et donc I.J est contenu
dans I ∩ J.
P
3. Soit x ∈ (I + J).(I ∩ J). On écrit x = nk=1 ak bk avec ak ∈ I + J et bk ∈ I ∩ J. Puisque
I.J est un idéal, il suffit de prouver que ak bk ∈ I.J. On écrit ak = ik + jk , de sorte que
P
ak bk = ik bk + bk jk .
C’est un élément de I.J, car ik ∈ I, bk ∈ J et bk ∈ I, jk ∈ J.
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Exercices - Anneaux
: corrigé
4. Il suffit de prouver que I ∩ J ⊂ I.J. Prenons x ∈ I ∩ J. Le problème est de faire apparaitre
des produits de deux éléments de A à partir de x. La possibilité la plus simple est d’écrire
x = 1.x. Puisque I et J sont étrangers, alors 1 = i + j avec i ∈ I et j ∈ J. Ainsi,
x = 1 × x = (i + j) × x = ix + xj
avec ix ∈ I.J et xj ∈ I.J. Et donc x ∈ I.J.
Exercice 4 - Radical d’un idéal - Math Spé/L3 - ??
n
k
k−n xn ∈ I (qui
1. On commence par remarquer que si x
√ ∈ I, alors pour tout k ≥ n, x = x
√
est un idéal).
Montrons
d’abord
que
(
I,
+)
est
un
sous-groupe
de
(A,
+).
En
effet,
0
∈
I
√
√
puisque I ⊂ I. De plus, si x est dans I alors (−x)n = (−1)n xn ∈ I puisque xn ∈ I
et que I est un idéal. Prenons maintenant x, y ∈ I et n, m ∈ N tels que xn ∈ I, y m ∈ I.
Alors, par la formule du binôme que l’on peut appliquer dans l’anneau commutatif A,
on a
!
n
X
n + m k n+m−k
n+m
(x + y)
=
x y
.
k
k=0
Or, si k ≤ n, alors n + m − k ≥ m et donc y n+m−k ∈ I, ce qui entraine xk y n+m−k ∈ I. Si
k ≥ n, cette fois xk ∈ I et donc xk y n+m−k ∈ I. (I, +)
√ étant un sous-groupe de (A, +), on
en déduit que (x + y)n+m ∈ I, c’est-à-dire x + y √
∈ I.
√
Finalement, prouvons que pour a ∈ A et x ∈ I, alors ax ∈ I. Soit n ≥ 0 tel que
xn ∈ I. Alors (ax)n = an xn ∈ I, ce qui prouve le résultat.
√
P
2. – Soit x ∈ I.J. Il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ I.J, c’est-à-dire xn = k ak bk avec ak ∈ I
et bk ∈ J. Alors xn ∈ I puisque I est un idéal√et xn = ab, a ∈ I, et de même xn ∈ J
(on utilise en fait que √
I.J ⊂ I ∩ J). Ainsi, x ∈ I ∩ J.
n
n
Soit √maintenant
x
∈
I ∩ J.
√
√ Alors
√ il existe n ≥ 1 tel que x ∈ I et x ∈ J. Donc
x ∈ I et x ∈ J, soit
√ x ∈√ I ∩ J.
Finalement, soit x ∈ I ∩ J.√Alors√il existe
n, m ≥ 1 tels que xn ∈ I et xm ∈ J. Alors
√
xn+m = xn xm ∈ I.J, et donc
q√ I ∩ J ⊂ I.J.
q√
√
√
– On a I ⊂ I et donc I ⊂
I. Réciproquement, prenons x ∈
I. Il existe n ≥ 1 tel
√
√
n
n
m
que x ∈ I.√Posons y = x ∈ I. Il existe m ≥ 1 tel que y ∈ I. Alors, xnm = y m ∈ I
et donc x ∈ I.
– La dernière égalité se prouve de façon tout à fait identique !
√
3. Soit x ∈ Z. x est dans nZ si et seulement si il existe n ≥ 1 tel que xn ∈ kZ. Autrement
dit, k|xn . Décomposons k en produits de facteurs premiers : k = pα1 1 . . . pαr r . On obtient
que pi |xn =⇒ pi |x pour tout i = 1, . . . , r et donc p1 . . . pr |x, ce qui peut encore s’écrire
x ∈ (p1 . . . pr )Z. Réciproquement, si x ∈ (p1 . . . pr )Z, alors,
√x s’écrit x = p1 . . . pr m. Notant
n = maxi∈{1,...,r} (αi ), on a k|xn . Ainsi, on a prouvé que I = (p1 . . . pr )Z.
Exercice 5 - Idéaux premiers - idéaux maximaux - L2/L3/Math Spé - ???
1. Soit I = nZ un idéal de Z. Si n n’est pas premier, alors n se factorise en ab avec 1 < a, b <
n. Mais, ou bien a ∈ I, ou bien b ∈ I et donc a ou b est un multiple de n ce qui est une
contradiction. Réciproquement, si n est premier et xy ∈ I, ie n|xy, alors, par le théorème
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3
Exercices - Anneaux
: corrigé
de Gauss, n|x ou n|y, ce qui prouve x ∈ I ou y ∈ I. En résumé, nZ est un idéal premier
si et seulement si n est premier.
2. On pose K = {a ∈ A; ∃i ∈ I, ∃k ∈ Z, a = i + kx} et on va montrer que K = J. On
remarque d’abord que K est un idéal (la preuve est facile !) et qu’il contient I et x.
D’autre part, soit J 0 un idéal de A contenant I et x, et soit a = i + kx un élément de K.
Puisque I ⊂ J 0 , on a i ∈ J 0 et puisque x ∈ J 0 , on a kx ∈ J 0 . Ainsi, K ⊂ J 0 : K est bien
l’idéal engendré par I et x.
3. Soit I un idéal maximal et x, y ∈ A tel que x ∈
/ I. On doit prouver que y ∈ I. Pour cela,
on considère J l’idéal engendré par I et x. Puisque I est maximal et que J est contient
strictement I, on sait que J = A. Or, d’après la question précédente, tout élément de J
s’écrit i + kx, i ∈ I et k ∈ Z. Ainsi, 1 = i + kx. On multiplie par y et on obtient
y = yi + k(xy).
Mais yi ∈ I car I est un idéal, k(xy) aussi et donc y est aussi élément de I ce qui termine
la démonstration.
4. On commence par démontrer que A est intègre. En effet, l’idéal engendré par 0 est premier.
Donc, si xy ∈ (0) = {0}, alors x = 0 ou y = 0 et donc A est intègre. Soit ensuite x ∈ A
non nul. Il s’agit de démontrer que x est inversible. On considère I l’idéal engendré par x2 .
Alors x × x ∈ I et donc il existe b ∈ A tel que x = bx2 puisque I est premier (d’où x ∈ I).
On regroupe et on factorise en x(1 − bx) = 0. Puisque A est intègre et x est non-nul, on
obtient 1 = bx et donc x est inversible d’inverse b.
5. Soit I = (a) un idéal premier de A et soit J un idéal avec I ⊂ J. Puisque A est principal,
J = (b). Puisque I ⊂ J, a = bc pour c ∈ A. Puisque I est premier, on a
– ou bien b ∈ I, mais alors (b) ⊂ I et donc J = I.
– ou bien c ∈ I, donc c s’écrit xa et on a a = bxa. Puisque A est principal, donc intègre,
ceci entraine bx = 1, c’est-à-dire que b est inversible et J = A.
Ceci prouve que I est maximal.
6. On a
A/I intègre
⇐⇒
∀x, y ∈ A, xy = 0 =⇒ x = 0 ou y = 0
⇐⇒
∀x, y ∈ A, xy ∈ I =⇒ x ∈ I ou y ∈ I
⇐⇒
I est premier.
Pour la seconde assertion, on peut remarquer que A/I est un corps si et seulement si ses
seuls idéaux sont {0} et lui-même. Puisque les idéaux de A/I sont en bijection avec les
idéaux de A contenant I, on en déduit que A/I est un corps si et seulement si les seuls
idéaux de A contenant I sont I et A, c’est-à-dire si et seulement I est maximal.
Enfin, puisqu’un corps est intègre, on a bien I maximal entraine I premier.
Anneaux principaux
Exercice 6 - Suite décroissante d’idéaux - L3 - ?
Soit a un élément non-nul de A, et In l’idéal engendré par an . Alors In+1 ⊂ In . En effet,
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Exercices - Anneaux
: corrigé
si x ∈ In+1 , x s’écrit an+1 u, soit encore an (au). Ainsi, la suite (In ) est décroissante et donc
stationnaire. Soit p un entier tel que Ip = Ip+1 . En particulier, ap est élément de Ip+1 , c’est-àdire que ap = ap+1 u, u ∈ A. On peut réécrire ceci en ap (1 − au) = 0 ce qui implique, car A est
intègre et a, donc an , sont non-nuls, 1 − au = 0 ⇐⇒ au = 1. Ainsi, a est inversible. Comme a
est arbitraire dans A\{0}, A est un corps.
Si vous trouvez une erreur, une faute de frappe, etc... dans ces exercices, merci de la signaler à
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