Des équations différentielles `a coefficients algébriques - IMJ-PRG

Des ´equations diff´erentielles `a coefficients
alg´ebriques aux vari´et´es arithm´etiques
N. Bergeron
“La g´eom´etrie hyperbolique, fond´ee sur l’hypoth`ese que la somme des angles
d’un triangle est plus petite que deux droits, ne semble d’abord qu’un simple
jeu de l’esprit qui n’a d’int´erˆet que pour le philosophe, sans pouvoir ˆetre d’au-
cune utilit´e au math´ematicien. Il n’en est rien. [...] Je me trouvais donc en
pr´esence de toute une th´eorie, imagin´ee, il est vrai, dans un but m´etaphysique,
mais dont chaque proposition convenablement interpr´et´ee, me fournissait un
th´eor`eme applicable `a la G´eom´etrie ordinaire. Il se trouva qu’en combinant tous
ces th´eor`emes, j’obtins ais´ement la solution de la difficult´e dont j’ai parl´e plus
haut.”[6, Tome I pp. X-XI, Analyse des travaux scientifiques de Henri Poincar´e
faite par lui-mˆeme]
1 Introduction
Avant Poincar´e, les g´eom´etries “non-euclidiennes” n’existaient que comme
des possibilit´es, des curiosit´es sans n´ecessit´e. Avec Poincar´e, ces g´eom´etries de-
viennent des n´ecessit´es, elles interviennent dans les math´ematiques “normales”.
Cette question de l’existence en math´ematiques est bien ´evidemment trop
riche pour y p´en´etrer plus que superficiellement dans cette introduction. Pr´ecisons
n´eanmoins, en suivant le commentaire de la pens´ee de Lautman 1, tir´e de [5]
(de Jo¨el Merker), qu’il y a deux sens au mot exister, plus exactement `a la
question d’existence, appliqu´ee aux math´ematiques. Il y a tout d’abord un sens
m´etath´eorique (m´etaphorique) qui se ram`ene `a la possibilit´e d’une d´efinition de
l’objet en liaison avec des th´eories ant´erieures. L’existence de la g´eom´etrie hy-
perbolique (due `a Lobatchevsky et Beltrami, du moins pour la construction d’un
mod`ele) en est un exemple typique. Comme Merker le souligne “la pens´ee de
cette liaison est redevable d’une philosophie du possible en g´en´eral”. Mais il y a
´egalement un sens infrath´eorique : d´efini `a l’int´erieur d’une th´eorie, il s’applique
aux objets de cette th´eorie. La th`ese de Merker est que le sens infrath´eorique
de l’existence d’entit´es math´ematiques n’est pas r´eductible `a la notion de pos-
sible. C’est une premi`ere gradation d’un passage `a l’explicite assimilable `a
une prise de conscience de l’ordre du concept que l’on voit se dessiner
dans les sch´emas de gen`ese lautmaniens. Alors que le passage impensable de
l’essence `a l’existence est une difficult´e philosophique essentielle sur laquelle
ont but´ee les m´etaphysiciens, Lautman le pose comme un passage qui ne pose
pas v´eritablement de probl`eme. Pour Lautman, ce passage est redevable de la
1Albert Lautman, philosophe (1908-1944). “Essai sur les notions de structure et d’existence
en math´ematiques” (1937).
1

compr´ehension, laquelle devient la source de la g´en`ese des th´eories r´eelles.
Cette g´en`ese, Lautman l’illustre de mani`ere explicite : son intention est de mon-
trer que l’ach`evement d’un ˆetre s’affirme dans son pouvoir cr´eateur. L’un des
aspects de cette th`ese plus intimement reli´e aux th´eories math´ematiques stan-
dard est le suivant : l’essence d’une mati`ere faisant naˆıtre les formes que sa
structure dessine. Comme exemple Lautman aborde notamment la th´eorie des
fonctions alg´ebriques de Riemann : l’essence des fonctions alg´ebriques d’une
variable contraint d’une certaine fa¸con Riemann `a leur associer un objet radi-
calement nouveau, que nous appelons aujourd’hui la “surface de Riemann” de
la fonction.
Dans un registre semblable nous allons voir que l’un des grands m´erites de
Poincar´e est d’avoir permis `a la g´eom´etrie hyperbolique d’exister en ce sens
infrath´eorique dont nous venons de parler. La citation en exergue montre clai-
rement que, malgr´e toute sa modestie, Poincar´e en est pleinement conscient.
L’existence de la g´eom´etrie hyperbolique, Poincar´e la d´erive (au sens de d´eriver
= fournir une preuve, d´emontrer) de la th´eorie des ´equations diff´erentielles
alg´ebriques.
Commen¸cons donc par quelques rappels concernant les int´egrales de fonc-
tions alg´ebriques. Lorsque l’on tourne autour d’un point singulier les int´egrales
des fonctions alg´ebriques augmentent d’une constante (par exemple log x, qui
est l’int´egrale de 1/x, augmente de 2πquand on tourne une fois autour du
point singulier 0) : c’est la raison de la p´eriodicit´e de l’exponentielle complexe
(fonction inverse du logarithme). Mais si l’int´egrale de 1/x ou encore l’int´egrale
Z1
0
(1 −x2)−1/2dx =Zπ/2
0
(1 −sin2θ)−1/2cos θdθ =π/2
sont ´el´ementaires, l’int´egrale d’apparence ´egalement innocente
Z1
0
(1 −x4)−1/2dx
(longueur de la lemniscate) ne l’est pas. Cette derni`ere est une int´egrale ellip-
tique (compl`ete). N´eanmoins et comme dans le cas de log x=R1/ydy, il peut
ˆetre fructueux de consid´erer les fonctions inverses des int´egrales (incompl`etes)
Zx
0
(1 −y2)−1/2dy et Zx
0
(1 −y4)−1/2dy.
L’int´egrale ´el´ementaire
arcsin x=Zx
0
(1 −y2)−1/2
applique injectivement le demi-plan sup´erieur sur la bande ombrag´ee de la fi-
gure 1 ; en fait, par r´eflexion dans le plan ´epoint´e C− {±1}, on obtient un
pavage du plan complexe au but par des images ne se recouvrant pas des demi-
plans inf´erieur (-) et sup´erieur (+). On retrouve ainsi que la fonction d´efinie
par l’int´egrale est invers´ee par une fonction sinus = sin xqui est une fonction
uniforme de x∈Cde p´eriode
2π= 4 ×l’int´egrale compl`ete Z1
0
dy
p1−y2,
2

sin−1
−1 0 1
−π/2 0 π/2
+
++ −
−−
Fig. 1 – L’application arcsin.
que l’on peut donc voir comme une fonction d´efinie sur le cylindre complexe
X=C/L, avec L= 2πZ:
x=Zsin x
0
(1 −y2)−1/2dy aux p´eriodes pr`es.
Il est remarquable que bien que l’int´egrale R(1 −y4)−1/2dy ne soit pas
´el´ementaire, un ph´enom`ene similaire (d´ecouvert par Gauss et Abel) subsiste
pour les int´egrales elliptiques (incompl`etes)
x7→ Zx
0
[(1 −y2)(1 −k2y2)]−1/2dy avec 0 < k < 1 fix´e.
Ici la racine carr´ee intervenant dans l’int´egrale est choisie positive pour −1<
x < 1 et ´etendue par prolongement analytique `a tout le demi-plan sup´erieur
ferm´e en ´evitant les point singuliers (de branchement) ±1,±1/k par des demi-
cercles infinit´esimaux comme montr´e figure 2. L’expression sous l’int´egrale est
3

−1/k −1 0 1 1/k
K−√−1K0K+√−1K0
−K K
Fig. 2 – L’application y= sn−1(x, k).
multipli´ee par √−1 lorsque l’on passe 1 ou 1/k de la gauche vers la droite,
lorsque xparcourt l’axe r´eel de 0 `a l’infini, son image commence par croˆıtre de
0 `a
K=K(k) = Z1
0
[(1 −x2)(1 −k2x2)]−1/2dx;
puis tourne de l’angle +π/2 pour monter jusqu’au point K+√−1K0avec
K0=K0(k) = Z1/k
1
[(x2−1)(1 −k2x2)]−1/2dx;
finalement, l’image de xtourne encore de l’angle +π/2 et revient vers la gauche
jusqu’au point √−1K0comme indiqu´e sur la figure 2. L’image de l’axe r´eel
n´egatif est obtenu par sym´etrie orthogonale de l’image de [0,+∞[ dans l’axe
imaginaire. Le ph´enom`ene remarquable est que ces deux images se referment
en x=±∞, de telle mani`ere que l’image de l’axe r´eel forme exactement le
p´erim`etre d’un rectangle. L’int´egrale applique alors injectivement le demi-plan
sup´erieur (ouvert) sur l’int´erieur de ce rectangle. Par r´eflexion dans le plan
´epoint´e C− {±1,±1/k}, on obtient un pavage du plan complexe au but par
des rectangles (isom´etriques et ne se recouvrant pas) images des demi-plans
inf´erieur (-) et sup´erieur (+), cf. figure 3. Consid´erons maintenant la fonction
inverse que Jacobi appelle sinus amplitudinus et que nous notons sn(x, k). Aux
p´eriodes pr`es, on a donc
x=Zsn(x,k)
0
[(1 −y2)(1 −k2y2)]−1/2dy.
Quatres exemplaires du rectangle original de la figure 2 sont r´eunis et om-
brag´es sur la figure 3, ces grands rectangles forment un pavage du plan com-
plexe. La fonction sinus amplitudinus applique de la mˆeme mani`ere chacun de
ces grands rectangles sur la plan projectif complexe P1=C∪ {∞}. La fonc-
tion sn(x, k) admet donc deux p´eriodes complexes ind´ependantes ω1= 4K(k)
et ω2= 2√−1K0(k) ; elle d´efinie une fonction uniforme `a valeurs dans P1sur le
4

−1/k ∞1/k ∞ −1/k
−1
0 0
−1
−1/k ∞1/k ∞ −1/k
+
1
−
−+
Fig. 3 – Les quatres rectangles.
tore X=C/L, avec L=Zω1+Zω2, c’est une fonction elliptique. Cette fonction
est un revˆetement de degr´e 2 ramifi´e au-dessus des points ±1,±1/k.
Encadr´e no. 1 : Fonctions elliptiques. Nous avons rappel´e en introduc-
tion qu’inverser les int´egrales elliptiques incompl`etes de premi`ere esp`ece
x7→ Zx
0
[(1 −y2)(1 −k2y2)]−1/2dy avec 0 < k < 1 fix´e,
conduit `a consid´erer des fonctions m´eromorphes doublement p´eriodiques. Ainsi la
fonction sinus amplitudinus d´efinit-elle une fonction doublement p´eriodique dont le
rapport des p´eriodes est ´egal `a √−1K0/2K, o`u nous notons toujours
K=K(k) = Z1
0
[(1 −x2)(1 −k2x2)]−1/2dx
et
K0=K0(k) = Z1/k
1
[(x2−1)(1 −k2x2)]−1/2dx
les int´egrales elliptiques compl`etes de premi`ere esp`ece. Il n’est a priori pas ´evident que
n’importe quel rapport puisse ˆetre ainsi obtenu par un choix convenable du module
k2∈C− {0,1}. On peut montrer que c’est pourtant bien le cas. Rappelons, plus
simplement, comment Weierstrass construit une fonction m´eromorphe doublement
p´eriodique, de r´eseau des p´eriodes L=ω1Z+ω2Z(avec ω1et ω2ind´ependants), et
qui modulo les p´eriodes poss`ede un unique pˆole double. L’id´ee est simple : il s’agit
de placer le pˆole en z´ero en consid´erant la fonction x−2et de la rendre p´eriodique en
sommant ses translat´es par le r´eseau des p´eriodes. L’id´ee est trop na¨ıve car une telle
somme diverge, on peut n´eanmoins la sauver en prenant
℘(x) = x−2+X
ω∈L−{0}
[(x−ω)−2−ω−2].
Le sujet des fonctions elliptiques est truff´e d’identit´es merveilleuses, d´elicates `a
d´emontrer, L’exemple le plus simple est peut-ˆetre l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee
par le fonction ℘:
(℘0)2= 4(℘−e1)(℘−e2)(℘−e3),
o`u e1=℘(ω1/2), e2=℘(ω1/2 + ω2/2) et e3=℘(ω2/2). La fonction ℘inverse donc
l’int´egrale 1
2Zx
∞
[(y−e1)(y−e2)(y−e3)]−1/2dy.
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