cours

Matrices
Bcpst 1 — 27 février 2017
Notations du chapitre — Dans tout ce chapitre, n et p sont deux entiers naturels non
nuls. Kdésigne l’ensemble Rou l’ensemble C.
I — Ensemble des matrices
Définition 1.1 — Matrice à nlignes et pcolonnes
On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coecients dans K la donnée de n×p
éléments de Kdisposés dans un tableau sous la forme
M=
m11 m12 · · · m1p
m21 m22 · · · m2p
.
.
..
.
.....
.
.
mn1mn2· · · mnp
On note aussi M= (mi j)1¶i¶n
1¶j¶p
. Dans la notation des coecients mi j de la matrice,
l’indice ireprésente la ligne de la matrice et l’indice jla colonne de la matrice.
Remarque I.0 Il conviendrait de noter avec une virgule entre les deux indices :
m1,1 , mi,j , etc. les coecients de la matrice. Malgré le risque de confusion, l’absence
de virgule ne présente pas de dicultés pratiques, tout en allégeant les écritures.
C’est pourquoi j’omettrai cette virgule.
L’ensemble des matrices à nlignes et pcolonnes est noté Mnp(K).
Dans le contexte de ce chapitre, les éléments de Ks’appellent des scalaires.
Vocabulaire
– Une matrice colonne est une matrice qui n’a qu’une colonne.
– Une matrice ligne est une matrice qui n’a qu’une ligne.

I — Ensemble des matrices 2
– Une matrice carrée est une matrice qui a autant de ligne que de colonne. Ce
nombre s’appelle l’ordre de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n
est noté Mn(K).
– Dans le cas des matrices carrées, les coecients (mii)1¶i¶n forment la diagonale
de la matrice.
– Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les coecients
sous la diagonale sont tous nuls (mi j =0si i>j).
L’ensemble des matrices triangulaires supérieures d’ordre nest noté T+
n(K).
m11 m12 m13 · · · m1n
0m22 m23 · · · m2n
0 0 m33 · · · m3n
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
000· · · mnn
– Une matrice triangulaire inférieure est une matrice carrée dont les coecients au
dessus de la diagonale sont tous nuls (( mi j =0 si i<j ). L’ensemble des matrices
triangulaires inférieures d’ordre nest noté T−
n(K).
m11 0 0 · · · 0
m21 m22 0· · · 0
m31 m32 m33 · · · 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
mn1mn2mn3· · · mnn
– Les matrices dont les coecients au-dessus et en dessous de la diagonale sont
nuls sont les matrices diagonales ( mi j =0 si i6=j ). L’ensemble des matrices
diagonales d’ordre nest noté Dn(K).
m11 0 0 · · · 0
0m22 0· · · 0
0 0 m33 · · · 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
000· · · mnn
– Enfin on appellera matrice identité la matrice
In=
100· · · 0
010· · · 0
001· · · 0
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
000· · · 1

II — Opérations sur les matrices 3
II — Opérations sur les matrices
II.1 — Transposition
Définition 2.1 — Transposée d’une matrice
Soit M= (mi j)1¶i¶n
1¶j¶p∈ Mnp(K)
. On appelle tranposée de M et on note
tM
la matrice
de Mpn(K)égale à (mji)1¶i¶p
1¶j¶n
Concrètement on transforme les lignes de M en colonnes pour obtenir
tM
. Par
exemple
la transposée de 
1 2 3 4
0 1 0 1
−1−212
est 
1 0 −1
2 1 −2
3 0 1
4 1 2
Définition 2.2 — Matrice symétrique, antisymétrique
Soit M∈ Mn(K). On dit que
–M est symétrique si et seulement si
tM=M
. L’ensemble des matrices symétriques est
noté Sn(K).
–M est antisymétrique si et seulement si
tM=−M
. L’ensemble des matrices symé-
triques est noté An(K).
Par exemple
1 2 −4
2 4 8
−4 8 1 
est symétrique et 
0 2 1
−2 0 −1
−1 1 0 
est antisymétrique
II.2 — Addition de deux matrices, multiplication par un scalaire
Définition 2.3 — Addition et produit par un scalaire
Soit A= (ai j)1¶i¶n
1¶j¶pet B= (bi j)1¶i¶n 1¶j¶pdeux matrices de Mnp(K)et λ∈K.
– On appelle produit de Apar λet on note λ.Ala matrice C= (ci j)1¶i¶n
1¶j¶pdéfinie par
∀i∈¹1 ; nº,∀j∈¹1 ; pº,ci j =λai j

II — Opérations sur les matrices 4
– On appelle somme de A et de B et on note A+B la matrice D= (di j)1¶i¶n
1¶j¶p
définie par
∀i∈¹1 ; nº,∀j∈¹1 ; pº,di j =ai j +bi j
Notez que le produit d’une matrice par un scalaire est une opération d’un type
particulier : on fait opérer un scalaire sur une matrice et cela donne une nouvelle
matrice.
Propriété 2.4 — L’addition de matrice est associative, commutative et possède un
élément neutre (la matrice nulle Onp = (0)1¶i¶n
1¶j¶p).
Propriété 2.5 — Soit Aet Bdeux matrices et λet µdeux scalaires
•λ.(µ.A) = (λ×µ).A=µ.(λ.A)
•λ.(A+B) = λ.A+λ.B
•(λ+µ).A=λ.A+µ.A
Cesdeuxopérationsont lesmêmes propriétésqueles opérationsvectorielles connues :
somme de vecteurs et produit d’un vecteur par un scalaire.
En particulier, 0.A=Onp , −A= (−1).A . En pratique, le . de cette multiplication
est omis.
Propriété 2.6 — Soit Aet Bdeux matrices et λun scalaire :
•t(A+B) = tA+tB
•t(λA) = λtA
II.3 — Multiplication de matrices
La multiplication matricielle a été définie pour pouvoir mener des calculs avec
élégance dans de nombreux contextes, et nous comprendrons progressivement au
cours des chapitres à venir, le « pourquoi du comment » de cette définition.
Dans cette partie, qest un entier non nul.
Définition 2.7 — Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne
Soit L∈ M1,q(K) et C∈ Mq,1(K) . Par définition, le produit L×C est la matrice de
M1(K)définie par
LC =l11c11 +l12c21 +· · · +l1qcq1

II — Opérations sur les matrices 5
En pratique, on peut présenter les calculs sous la forme
l11
l21
.
.
.
lq1
c11 c12 · · · c1qq
P
k=1
l1kck1
Définition 2.8 — Produit de deux matrices
Soit A∈ Mn,q(K) et B∈ Mq,p(K) . Par définition, le produit A×B est la matrice de
Mn,p(K) dont le coecient à la i –ième ligne et à la j –ième colonne est le produit de la
i–ième ligne de Apar la j–ième colonne de B.
AB =q
X
k=1
aik bk j1¶i¶n
1¶j¶p
En pratique, on peut présenter les calculs sous la même forme que précedemment.
Propriété 2.9 — Le produit matriciel est associatif : (AB)C=A(BC).
Dém. On admet ce résultat. 
Le produit matriciel n’est évidemment pas commutatif, puisque BA peut ne pas être
défini si AB l’est.
De plus, la notion d’élément neutre est problématique, puisque ce n’est pas une
opération interne de Mnp(K).
Propriété 2.10 —
1) ∀A∈ Mnq(K),∀(B,C)∈(Mqp(K))2,A(B+C) = AB +AC
2) ∀(A,B)∈(Mnq(K))2,∀C∈ Mqp(K),(A+B)C=AC +BC
3) ∀λ∈K,∀(A,B)∈(Mnq(K))2,λ(AB) = A(λB)
4) ∀A∈ Mnq(K),∀B∈ Mqp(K),t(AB) = tBtA
Écriture matriciel des systèmes d’équations linéaires