fiche méthode : les droites remarquables du triangle

LES DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
I. Les médiatrices
Définition : La médiatrice d’un segment est la droite qui coupe ce segment
perpendiculairement en son milieu.
(∆) est la médiatrice du segment [AB]
Propriété : La médiatrice d’un segment est la droite constituée de tous les
points qui sont à égale distance des extrémités de ce segment.
Si MA = MB alors M est sur la médiatrice de [AB]
Réciproquement, si M est sur la médiatrice de [AB]
alors MA = MB.
Théorème : Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce
triangle.
II. Les hauteurs
Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un
sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Sur la figure ci-contre, (AH) est la hauteur issue de A
ou relative au côté [BC].
(CK) est la hauteur issue de C ou relative au côté [AB]

Théorème : Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé l’orthocentre de ce triangle.
III. Les bissectrices
Définition : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en
deux angles de même mesure.
Théorème : Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans ce
triangle.
IV. Les médianes
Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un
sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Sur la figure ci-contre, (d) est la médiane issue de C
ou relative au côté [AB].
Remarque : on dit aussi que le segment [CI] est la
médiane issue de C.

Théorème : Les trois médianes d’un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre de gravité de ce triangle.
V. Les triangles particuliers
1. Le triangle isocèle
Propriété : Dans un triangle isocèle, la hauteur, la bissectrice et la médiane
issue du sommet principal sont confondues avec la médiatrice du
côté opposé.
2. Le triangle équilatéral
Propriété : Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit,
l’orthocentre, le centre du cercle inscrit et le centre de gravité sont
confondus.

3. Le triangle rectangle
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors son cercle circonscrit a pour
diamètre son hypoténuse.
Conséquence : Le centre du cercle circonscrit d’un triangle rectangle est le milieu
de son hypoténuse.
Théorème : Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l’hypoténuse
mesure la moitié de l’hypoténuse.
Sur la figure ci-contre,
[AO] est la médiane relative
à l’hypoténuse [BC], donc AO = BC
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Théorème : Si un triangle est inscrit dans un cercle et si l’un de ses côtés est un
diamètre de cercle, alors ce triangle est rectangle.
Théorème : Si dans un triangle, la médiane relative à un côté mesure la moitié
de ce côté, alors ce triangle est rectangle.