Chapitre 5

Chapitre 5
Une nouvelle fonction : la fonction exponentielle 1
1.Ensemble de définition – Sens de variation
- Utiliser Geogebra pour tracer la courbe de la fonction exp
- Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?
- Quel est son sens de variation ?
- Y a-t-il des x ayant une image particulière ?
- Consigner les réponses dans le tableau de variation ci-contre
2.Tableau de valeurs - Courbe
- En utilisant le tableur de GGB,
construire un tableau de valeurs
de la fonction exp, pour les
valeurs
entières de x de -5 à +5
(arrondir à 0,1 près)
- Construire ci-contre la courbe dans
le repère
3.Valeurs prises par la fonction
- Peut-on trouver des valeurs de x telles que exp(x) > 10 ? > 100 ? > 1000 ?
- Peut-on trouver des valeurs de x telles que exp(x) < 0,1 ? < 0,01 ? < 0,001 ?
- Donner des exemples (On pourra utiliser le tableur ou un point collé sur la courbe)
- En déduire :
lim exp( ) ...
xx
et
lim exp( ) ...
xx
- Donner le tableau de signe de la fonction exp

Chapitre 5
Une nouvelle fonction : la fonction exponentielle 2
4. Fonction dérivée
a. A l’aide de GGB, trouver la fonction dérivée de la fonction exp :
exp'( ) ...................x
b. On va maintenant chercher l’expression de la dérivée de fonctions du
type
( ) exp( )f x ax b
- Pour cela créer 2 curseurs, nommés a et b, compris entre -5 et 5, avec
un incrément de 1.
- puis créer la fonction
( ) exp( )f x ax b
- et sa dérivée
- modifier l’aspect des 2 courbes obtenues (couleur,
style, …)
- faire varier les curseurs, et observer les expressions de f(x) et f ’(x)
- conjecturer une règle de calcul permettant de dériver des expressions
du type exp(ax+b), et compléter :
( ) exp( ), : '( ) ............................si f x ax b alors f x  
c.Procéder de la même façon pour des fonctions de la forme
2
( ) lnf x ax bx c  
d. Conjecturer une règle générale :
Soit u une fonction dérivable sur
( ) exp( ( )), : '( ) ............................si f x u x alors f x
Exercices d’application : trouver l’expression de la fonction dérivée de chaque fonction
Niveau 1 :
1
( ) exp( 3) ( ) exp(2 3) ( ) exp(5 3) ( ) exp( 2 8) ( ) exp 3
2
a x x b x x c x x d x x e x x          
2 2 2 2
( ) exp( 5 6) ( ) exp(2 4 1) ( ) exp( 3 4) ( ) exp( 2 )f x x x g x x x h x x i x x x          
Niveau 2 :
2 3 3 2 2
4
( ) exp( ) ln(2 1) ( ) 3ln( ) ( ) ln( 1) ln(2 6 3)
xx
a x x x b x e x c x x e x x
x
Niveau 3 :
ln( ) 3
( ) exp( ) ln( 2) ; ( ) ; ( ) exp( ) ; ( ) ; ( ) (2 exp( )) ln( 1)
exp( 2) 4)
x
x
xe
a x x x b x c x x x d x e x x x x
xe
Remarque : les résultats peuvent être contrôlés avec GGB de 2 façons :
-par les expressions dans la fenêtre Algèbre (mais attention : 2 résultats peuvent être différents en
apparence seulement, mais correspondre à des expressions équivalentes !)
- par les courbes de f et f ’

La fonction exponentielle : 2ème partie : REGLES DE CALCUL
PartieA
1. On a étudié la fonction exponentielle : on connaît son tableau de variation et sa courbe :
On sait aussi que 2 nombres jouent un rôle particulier : 1 et e : ln(1) = 0, et ln(e)=1, avec e≈2,718.
2. On voudrait maintenant savoir s’il existe une relation entre les nombres :
ln , ln( ) ln( ), ln( ) ln( ) ln( )R a b S a b T a b et U a b       
Cette relation devra être valable pour toutes les valeurs possibles de a et b.
a. Pour cela, construire, à l’aide d’un tableur, une feuille de calcul analogue à la figure ci-dessous :
b. Pour donner aux nombres a et b, dans la plage de cellules A2 :B15, des valeurs aléatoires comprises entre 1
et 20 (par exemple ici 15, 5, 11, …), on peut taper dans la cellule A2 la formule =ENT(20*(ALEA()+1), puis
recopier de A3 à A15, et de B2 à B15.
A chaque appui sur la touche F9, on obtient d’autres valeurs de a et b. Vérifier.
c. Placer dans les cellules C2 à F2 les formules permettant d’obtenir les nombres R, S, T et U. Recopier jusque
C15 :F15.
d. A l’aide de la touche F9, tester différentes valeurs de a et b.
Observer les nombres R, S, T et U dans les colonnes C, D, E et F, puis proposer une formule.
Ecrire cette formule dans l’encadré ci-dessous :
PARTIE B
a. Les 12 expressions ci-dessous vont par 2 : l’une des correspondances a été trouvée dans la partie A.
Compléter les 2 colonnes correspondantes.
b. A l’aide du tableur ou par une méthode déductive, retrouver les autres correspondances et compléter le
tableau.
ln(a)-ln(b)
ln(axb)
2ln(a)
-ln(a)
ln(1/a)
1/2ln(a)
ln(a/b)
ln(a3)
ln(a)+ln(b)
ln(√a)
2ln(a)
3ln(a)