Chapitre 5

Chapitre 5
Une nouvelle fonction : la fonction exponentielle
1.Ensemble de définition – Sens de variation
- Utiliser Geogebra pour tracer la courbe de la fonction exp
- Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie ?
- Quel est son sens de variation ?
- Y a-t-il des x ayant une image particulière ?
- Consigner les réponses dans le tableau de variation ci-contre
2.Tableau de valeurs - Courbe
- En utilisant le tableur de GGB,
construire un tableau de valeurs
de la fonction exp, pour les
valeurs
entières de x de -5 à +5
(arrondir à 0,1 près)
- Construire ci-contre la courbe dans
le repère
3.Valeurs prises par la fonction
- Peut-on trouver des valeurs de x telles que exp(x) > 10 ? > 100 ? > 1000 ?
- Peut-on trouver des valeurs de x telles que exp(x) < 0,1 ? < 0,01 ? < 0,001 ?
- Donner des exemples (On pourra utiliser le tableur ou un point collé sur la courbe)
- En déduire :
lim exp(x )  ...
x 
et lim exp(x )  ...
x 
- Donner le tableau de signe de la fonction exp
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Chapitre 5
Une nouvelle fonction : la fonction exponentielle
4. Fonction dérivée
a. A l’aide de GGB, trouver la fonction dérivée de la fonction exp : exp'(x )  ...................
2
b. On va maintenant chercher l’expression de la dérivée de fonctions du
type f (x )  exp(ax  b )
- Pour cela créer 2 curseurs, nommés a et b, compris entre -5 et 5, avec
un incrément de 1.
- puis créer la fonction f (x )  exp(ax  b )
- et sa dérivée
- modifier l’aspect des 2 courbes obtenues (couleur,
style, …)
- faire varier les curseurs, et observer les expressions de f(x) et f ’(x)
- conjecturer une règle de calcul permettant de dériver des expressions
du type exp(ax+b), et compléter :
si f (x )  exp(ax  b ), alors : f '(x )  ............................
c.Procéder de la même façon pour des fonctions de la forme
f (x )  ln ax 2  bx  c 
d. Conjecturer une règle générale :
Soit u une fonction dérivable sur
si f (x )  exp(u (x )), alors : f '(x )  ............................
Exercices d’application : trouver l’expression de la fonction dérivée de chaque fonction
Niveau 1 :
a (x )  exp(x  3)
b (x )  exp(2x  3)
f (x )  exp(x 2  5x  6)
c (x )  exp(5x  3)
g (x )  exp(2x 2  4x  1)
1

e (x )  exp  x  3 
2

2
i (x )  exp(x  2x )
d (x )  exp( 2x  8)
h (x )  exp( 3x 2  4)
Niveau 2 :
a (x )  exp(x 2 )  ln(2x  1)
b (x )  e x  3ln(x 3 ) 
4
x
c (x )  x 3  ln(e 2 x  1)  ln(2x 2  6x  3)
Niveau 3 :
a (x )  exp(x )  ln(x  2) ; b (x ) 
ln(x )
exp(x  2)
e 3
x
; c (x ) 
x  exp(x ) ; d (x ) 
e  4)
x
; e (x )  (2x  exp(x ))  ln(x  1)
Remarque : les résultats peuvent être contrôlés avec GGB de 2 façons :
-par les expressions dans la fenêtre Algèbre (mais attention : 2 résultats peuvent être différents en
apparence seulement, mais correspondre à des expressions équivalentes !)
- par les courbes de f et f ’
La fonction exponentielle : 2ème partie : REGLES DE CALCUL
PartieA
1. On a étudié la fonction exponentielle : on connaît son tableau de variation et sa courbe :
On sait aussi que 2 nombres jouent un rôle particulier : 1 et e : ln(1) = 0, et ln(e)=1, avec e≈2,718.
2. On voudrait maintenant savoir s’il existe une relation entre les nombres :
R  lna  b  , S  ln(a )  ln(b ), T  ln(a  b ) et U  ln(a )  ln(b )
Cette relation devra être valable pour toutes les valeurs possibles de a et b.
a. Pour cela, construire, à l’aide d’un tableur, une feuille de calcul analogue à la figure ci-dessous :
b. Pour donner aux nombres a et b, dans la plage de cellules A2 :B15, des valeurs aléatoires comprises entre 1
et 20 (par exemple ici 15, 5, 11, …), on peut taper dans la cellule A2 la formule =ENT(20*(ALEA()+1), puis
recopier de A3 à A15, et de B2 à B15.
A chaque appui sur la touche F9, on obtient d’autres valeurs de a et b. Vérifier.
c. Placer dans les cellules C2 à F2 les formules permettant d’obtenir les nombres R, S, T et U. Recopier jusque
C15 :F15.
d. A l’aide de la touche F9, tester différentes valeurs de a et b.
Observer les nombres R, S, T et U dans les colonnes C, D, E et F, puis proposer une formule.
Ecrire cette formule dans l’encadré ci-dessous :
PARTIE B
a. Les 12 expressions ci-dessous vont par 2 : l’une des correspondances a été trouvée dans la partie A.
Compléter les 2 colonnes correspondantes.
b. A l’aide du tableur ou par une méthode déductive, retrouver les autres correspondances et compléter le
tableau.
ln(a)-ln(b) ln(axb) 2ln(a) -ln(a) ln(1/a) 1/2ln(a)
ln(a/b)
ln(a3) ln(a)+ln(b) ln(√a) 2ln(a) 3ln(a)