PGCD - PPCM I – PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD)

TSspé Chap 2– PGCD – PPCM 1/8
Chapitre 2 – PGCD et PPCM 1/8
CHAPITRE 2 :
PGCD - PPCM
I – PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD)
A. Diviseurs communs à deux entiers relatifs
définition :
Soient
a
et
b
deux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun à a et b est appelé le PGCD de a et de b , noté PGCD ( a ; b ) ou PGCD ( b ; a ).
Exemple : PGCD ( -18 ; 12) = 6
Conséquences :
¾ Le PGCD de a et de b est un nombre entier strictement positif
¾ Deux entiers opposés ont le même ensemble de diviseurs donc PGCD( a ; b ) = PGCD ( -a ; - b) = PGCD (|a| ; |b|)
On peut donc se restreindre au cas où
a et b sont des entiers positifs.
¾ b divise a ⇔ PGCD( a ; b ) = b
¾ PGCD ( 1; b) = 1 et pour b ≠ 0 PGCD (0; b) = |b|
définition
:
Deux entiers relatifs non nuls
a
et
b
sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit :
a et b sont premiers entre eux ssi ils n’ont pas d’autre diviseur commun que 1 et - 1
Exemples : 8 et 13 sont premiers entre eux.
-3 et 5 sont premiers entre eux.
B – Algorithme d’Euclide (recherche du PGCD)
1. Lemme d’Euclid
e
:
Soient
a
,
b
, q et r quatre entiers relatifs non nuls.
Si a = bq + r , alors PGCD( a ; b ) = PGCD ( b ; r).
démonstration : Notons D(
a
;
b
) l’ensemble des diviseurs communs à
a
et
b
.
¾ d ∈ D( a ; b ) ⇒ d divise a et bq ⇒ d divise a – bq ⇒ d divise r ⇒ d ∈ D( b ; r )
Donc D(a ;b) ⊂ D(b ;r)
¾ d ’ ∈ D( b ; r) ⇒ d ’ divise r et bq ⇒ d ’ divise bq + r ⇒ d ’ divise a ⇒ d ’ ∈ D(a ; b)
Donc D(b ;r) ⊂ D(a ;b)
¾ Conclusion : D( a ; b ) = D( b ; r ) donc PGCD( a ; b ) = PGCD ( b ; r).
Application : Déterminer, selon les valeurs de l’entier naturel n , le PGCD de A = 2 n + 7 et de B = n + 2.
On remarque que A = 2B + 3 donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD (A ;B) = PGCD ( B ;3)
Ainsi le PGCD de A et de B ne peut être égal qu’à 1 ou 3.
PGCD(A ;B) = 3 ⇔ 3 divise B ⇔ n + 2 ≡ 0 [3] ⇔ n ≡ -2 ≡ 1 [3]
Avec ces valeurs de n, A ≡ 2(1) +7 ≡ 0 [3] et A est bien lui aussi divisible par 3.
Conclusion, si n ≡ 1 [3], alors PGCD(A ;B) = 3, sinon PGCD(A ;B) = 1
Pour prouver que D( a ; b )=D( b ; r),
on montre que tout nombre de l’un
des ensembles est un nombre de
l’autre et réciproquement.
L’égalité a = bq + r n’est pas ici
nécessairement une division
euclidienne à proprement parler…

TSspé Chap 2– PGCD – PPCM 2/8
Chapitre 2 – PGCD et PPCM 2/8
2. Algorithme d’Euclide :
L’algorithme d’Euclide est un procédé, décrit par Euclide, qui consiste en une succession
de divisions euclidiennes aboutissant à la détermination du PGCD de deux entiers.
Description de l’algorithme :
Pour déterminer le PGCD de a et de b , on effectue :
¾ La division euclidienne de a par b .
¾ Puis celle de b par le reste.
¾ Ainsi de suite tant que le reste n’est pas nul.
¾ Le dernier reste non nul est le PGCD de a et de b .
exemple : Déterminer avec l’algorithme d’Euclide PGCD(1 636 ; 1 128).
donc PGCD(1 636 ; 1 128) = 4
étape
a b reste
1 1 636 1 128 508
2 1128 508 112
3 508 112 60
4 112 60 52
5 60 52 8
6 52 8 4
7 8 4 0
Autre disposition :
1636 = 1x 1128 + 508
1128 = 2 x 508 + 112
508 = 4 x 112 + 60
112 = 1 x 60 + 52
60 = 1 x 52 + 8
52 = 6 x 8 + 4 donc PGCD(1 636 ; 1 128) = 4
8 = 2 x 4 + 0
démonstration de l’algorithme d’Euclide:
opération reste commentaire
On divise a par b
Si r
0 ≠ 0 , on divise b par
r
0
Si r
1 ≠ 0 , on divise
r
0 par
r
1
......
Si r
n – 1 ≠ 0 , on divise
r
n-2 par
r
n-1
Si r
n
≠ 0 , on divise r
n-1 par
r
n
r
0
r
1
r
2
…..
r
n
0
0 ≤ r
0 < b et PGCD(a ; b) = PGCD(b ;
r
0) (lemme d’Euclide)
0 ≤ r
1 <
r
0 et PGCD(b ;
r
0)= PGCD(
r
0 ;
r
1 )
0 ≤ r
2 <
r
1 et PGCD(
r
0 ;
r
1) = PGCD(
r
1 ;
r
2)
……..
0 ≤ r
n
< r
n-1 et PGCD(
r
n-2 ;
r
n-1) = PGCD(
r
n-1 ;
r
n)
PGCD( r
n-1 ;
r
n) = PGCD (
r
n ; 0) =
r
n
Après un nombre fini de divisions, on trouve nécessairement un reste nul car les restes sont des nombres positifs
qui vont en décroissant strictement (0 <
r
n
< r
n – 1 < … <
r
1 <
r
0 <
b ).
Et d’après le lemme d’Euclide : PGCD(
a ; b ) = PGCD(b ; r
0)= … = PGCD (
r
n ; 0) =
r
n
3. Conséquence :
Théorème : L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.
Démonstration :
Deux nombres entiers opposés ayant les mêmes diviseurs, on peut supposer 0 ≤ b ≤ a.
Si b = 0 alors PGCD(a ; b ) = a.
Si b divise a alors PGCD(a ; b ) = b
Si b ≠ 0 et si b ne divise pas a alors en conservant les notations de l’algo d’Euclide , D(
a ; b ) = D(b ; r0) = ….. = D(rn ;0) = D(rn)
où rn = PGCD(
a ; b )
Application :
Si on divise 4 373 et 826 par un même entier naturel non nul n , on obtient respectivement 8 et 7 pour restes. Quel
est ce nombre
n ?
rn correspond au dernier reste non nul.