PGCD - PPCM I – PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD)

TSspé Chap 2– PGCD – PPCM
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CHAPITRE 2 :
PGCD - PPCM
I – PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR (PGCD)
A. Diviseurs communs à deux entiers relatifs
définition :
Soient a et b deux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun à a et b est appelé le PGCD de a et de b, noté PGCD (a;b) ou PGCD (b;a).
Exemple : PGCD ( -18 ; 12) = 6
Conséquences :
¾ Le PGCD de a et de b est un nombre entier strictement positif
¾ Deux entiers opposés ont le même ensemble de diviseurs donc PGCD(a ; b) = PGCD ( -a ; - b) = PGCD (|a| ; |b|)
On peut donc se restreindre au cas où a et b sont des entiers positifs.
¾ b divise a ⇔ PGCD(a ; b) = b
¾ PGCD ( 1; b) = 1 et pour b ≠ 0 PGCD (0; b) = |b|
définition :
Deux entiers relatifs non nuls a et b sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit : a et b sont premiers entre eux ssi ils n’ont pas d’autre diviseur commun que 1 et - 1
Exemples :
8 et 13 sont premiers entre eux.
-3 et 5 sont premiers entre eux.
B – Algorithme d’Euclide (recherche du PGCD)
1.
Lemme d’Euclide :
Soient a , b , q et r quatre entiers relatifs non nuls.
Si a = bq + r , alors PGCD(a ; b) = PGCD (b ; r).
L’égalité a = bq + r n’est pas ici
nécessairement une division
euclidienne à proprement parler…
démonstration : Notons D(a ; b) l’ensemble des diviseurs communs à a et b.
¾ d ∈ D(a ; b) ⇒ d divise a et bq ⇒ d divise a – bq ⇒ d divise r ⇒ d ∈ D( b ; r )
Donc D(a ;b) ⊂ D(b ;r)
¾ d’ ∈ D(b ; r) ⇒ d’ divise r et bq ⇒ d’ divise bq + r ⇒ d’ divise a ⇒ d’ ∈ D(a ; b)
Donc D(b ;r) ⊂ D(a ;b)
¾ Conclusion : D( a ; b ) = D( b ; r ) donc PGCD(a ; b) = PGCD (b ; r).
Pour prouver que D( a ; b )=D( b ; r),
on montre que tout nombre de l’un
des ensembles est un nombre de
l’autre et réciproquement.
Application : Déterminer, selon les valeurs de l’entier naturel n, le PGCD de A = 2n + 7 et de B = n + 2.
On remarque que A = 2B + 3 donc d’après le lemme d’Euclide : PGCD (A ;B) = PGCD ( B ;3)
Ainsi le PGCD de A et de B ne peut être égal qu’à 1 ou 3.
PGCD(A ;B) = 3 ⇔ 3 divise B ⇔ n + 2 ≡ 0 [3] ⇔ n ≡ -2 ≡ 1 [3]
Avec ces valeurs de n, A ≡ 2(1) +7 ≡ 0 [3] et A est bien lui aussi divisible par 3.
Conclusion, si n ≡ 1 [3], alors PGCD(A ;B) = 3, sinon PGCD(A ;B) = 1
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2. Algorithme d’Euclide :
L’algorithme d’Euclide est un procédé, décrit par Euclide, qui consiste en une succession
de divisions euclidiennes aboutissant à la détermination du PGCD de deux entiers.
Description de l’algorithme :
Pour déterminer le PGCD de a et de b, on effectue :
¾ La division euclidienne de a par b.
¾ Puis celle de b par le reste.
¾ Ainsi de suite tant que le reste n’est pas nul.
¾
Le dernier reste non nul est le PGCD de a et de b .
exemple : Déterminer avec l’algorithme d’Euclide PGCD(1 636 ; 1 128).
étape
a
b
reste
1
1 636
1 128
508
2
1128
508
112
3
508
112
60
4
112
60
52
5
60
52
8
6
52
8
4
7
8
4
0
Autre disposition :
1636 = 1x 1128 + 508
1128 = 2 x 508 + 112
508 = 4 x 112 + 60
112 = 1 x 60 + 52
60 = 1 x 52 + 8
52 = 6 x 8 + 4 donc PGCD(1 636 ; 1 128) = 4
8=2x4+0
donc PGCD(1 636 ; 1 128) = 4
démonstration de l’algorithme d’Euclide:
opération
reste
commentaire
On divise a par b
r0
0 ≤ r0 < b et PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r0) (lemme d’Euclide)
Si r0 ≠ 0 , on divise b par r0
r1
0 ≤ r1 < r0 et PGCD(b ; r0)= PGCD(r0 ;r1 )
Si r1 ≠ 0 , on divise r0 par r1
r2
0 ≤ r2 < r1 et PGCD(r0 ; r1) = PGCD(r1 ; r2)
......
…..
……..
Si rn – 1 ≠ 0 , on divise rn-2 par rn-1
rn
0 ≤ rn < rn-1 et PGCD(rn-2 ; rn-1) = PGCD(rn-1 ; rn)
Si rn ≠ 0 , on divise rn-1 par rn
0
PGCD(rn-1 ; rn) = PGCD (rn ; 0) = rn
Après un nombre fini de divisions, on trouve nécessairement un reste nul car les restes sont des nombres positifs
qui vont en décroissant strictement (0 < rn < rn – 1 < … < r1 < r0 < b).
rn correspond au dernier reste non nul.
Et d’après le lemme d’Euclide : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r0)= … = PGCD (rn ; 0) = rn
3. Conséquence :
Théorème :
L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD.
Démonstration :
Deux nombres entiers opposés ayant les mêmes diviseurs, on peut supposer 0 ≤ b ≤ a.
Si b = 0 alors PGCD(a ; b ) = a.
Si b divise a alors PGCD(a ; b ) = b
Si b ≠ 0 et si b ne divise pas a alors en conservant les notations de l’algo d’Euclide , D(a ; b) = D(b ; r0) = ….. = D(rn ;0) = D(rn)
où rn = PGCD(a ; b)
Application :
Si on divise 4 373 et 826 par un même entier naturel non nul n, on obtient respectivement 8 et 7 pour restes. Quel
est ce nombre n ?
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