TD-TP#1 - moodle@insa

TP1 Trac´e de courbes param´etr´es et EDO
Pour tracer un cercle de centre (0,0) et de rayon r= 1, on peut tracer la courbe param´etr´ee
{(x(t) = cos t, y(t) = sin t), t ∈[0,2π[}
en utilisant un grand nombre de valeurs de t.
1. Montrez que l’on obtient aussi ce cercle en consid´erant le syst`eme diff´erentiel
x0(t) = −y(t),
y0(t) = x(t),
x(0) = 1,
y(0) = 0.
(1)
2. Montrer que (1) se met sous la forme
X0(t) = A0.X,
X(0) = 1
0,avec A0=0−1
1 0 (2)
et que la solution de se met sous la forme
x(t)
y(t)= exp A0t. 1 0.
Calculer exp A0t
3. On pose h=2π
n. Montrez que la m´ethode d’Euler explicite appliqu´ee `a (1) conduit `a calculer les
points Pkde coordonn´ees
xk
yk=Ak
h1
0avec Ah=1−h h1.
4. Montrez que pour tout k≥0, (AT
h)kAk h=AT hAhk. En d´eduire que les coordonn´ees de Pkv´erifient
x2
k+y2 k= (1 + h2)k. Les points Pksont-ils sur le cercle ? Programmer en python la m´ethode d’Euler
explicite sur l’intervalle [0,8π] avec diff´erentes valeurs de h. Tracer la suite des points
5. Montrez que la m´ethode d’Euler implicite conduit `a calculer des points Qkdont les coordonn´ees
v´erifient cette fois x2
k+y2 k=1
(1 + h2)k. Programmer en python la m´ethode d’Euler implicite sur
l’intervalle [0,8π] avec diff´erentes valeurs de h. Tracer la suite des points
6. On peut d´efinir un nouveau sch´ema implicite pour r´esoudre le probl`eme
u0(t) = f(t, u(t)), t > 0,
u(0) = u0.(3)
en posant, pour k≥0 :
uk+1 =uk+h
2(f(tk, uk) + f(tk+1, uk+1)) .(4)
Programmer en python cette m´ethode sur l’intervalle [0,8π]avec diff´erentes valeurs de h. Comparer
aux autres m´ethodes.
Cette m´ethode s’appelle m´ethode implicite du trap`eze. Montrez qu’en l’utilisant pour le probl`eme (1),
les points Mkque l’on calcule ont des coordonn´ees qui v´erifient x2
k+y2 k= 1 pour tout k.

7. Montrez que le sch´ema (4) est inconditionnellement stable.
8. Montrez que (4) est ´equivalent `a la mise en oeuvre d’un pas la m´ethode d’Euler explicite sur l’intervalle
[tn, tn+h
2] et d’un pas de la m´ethode d’Euler implicite sur l’intervalle [tn+h 2, tn+1].
9. Quelle m´ethode obtient-on lorsque l’on permute les m´ethodes implicite et explicite `a la question
pr´ec´edente ? Est-elle inconditionnellement stable ?
10. Ordre des m´ethodes : Evaluer th´eoriquement l’ordre des m´ethodes utilis´ees en 3,5,6. Tracer (en loglog)
pour differentes valeurs de n (typiquement n= 2ppour p= 4,6,8, ..., 32) . Ces r´esultats sont ils
conformes `a vos estimations th´eoriques ?