Triangle quelconque

1 Ba MVABP date :
PhG-Maths
RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
Dans l'étude d’un triangle quelconque, nous adoptons la convention d'écriture suivante :
la longueur du côté opposé à un sommet est notée de la lettre minuscule de celui-ci.
Dans un triangle ABC cela donne :
a = BC b = AC c = AB
Remarque : les trois lettres sont présentes dans chaque égalité.
I- Relation des sinus
Dans un triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
Error!
=
Error!
=
Error!
= 2 R
Démonstration : on considère le triangle quelconque ABC, son cercle circonscrit de rayon R, et le
triangle A'BC rectangle en B.
On a l'égalité ;BA'C = ;BAC car les deux angles interceptent le même arc ;BC et A'C
= 2 R
On peut donc écrire :
sin ;BA'C =
Error!
soit sin
Error!
=
Error!
avec ;BA'C = ;BAC sin ;BAC =
Error!
et avec a = BC
Error!
= 2 R
En procédant de même, on obtient les autres quotients.
II- Relation d’Al-Kashi
Dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés diminuée du double de leur produit par le cosinus de leur angle.
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos ;A b2 = a2 + c2 – 2 a c cos ;B c2 = a2 + b2 – 2 a b cos
;C
Démonstration
La droite (BH) est la hauteur du triangle ABC issue de B
Les triangles AHB et BHC sont rectangles d'où :
a2 = BH2 + CH2 et c2 = AH2 + BH2
On peut écrire : a2 – c2 = CH2 – AH2
avec CH = b – AH, on obtient : a2 – c2 = (b – AH)2 – AH2
soit a2 – c2 = b2 – 2 b AH + AH2 – AH2 ou a2 – c2 = b2 – 2 b AH
et avec AH = c cos ;A, on obtient : a2 – c2 = b2 – 2 bc cos ;A soit : a2 = b2 + c2 – 2 b c cos
;A
A
BC
A'
O
C
A
B
b
a
c
C
A
B
H
a
c

1 Ba MVABP date :
PhG-Maths
B H C
A
Exemple : calculer la longueur du segment [LM] dans le triangle KLM.
Le triangle quelconque KLM est tel que : KL = 20 ; KM = 25 ; ;K = 60°
On pose : a = LM , b = KL et c = KM.
On peut écrire : LM2 = KL2 + KM2 – 2 KL KM cos ;K
AN : LM2 = 202 + 252 – 2 20 25 cos 60°
LM2 = 400 + 625 – 1000
Error!
LM2 = 525 LM 22,91 LM 23
III- Aire d'un triangle
D'une manière générale, l'aire A du triangle ABC est : A =
Error!
B h
avec B longueur de la base et h la longueur de la hauteur correspondante.
Dans le triangle rectangle ABH, on a : h = c sin ;A d'où : A =
Error!
b c sin
Error!
L'aire d'un triangle quelconque est le demi-produit des longueurs de deux côtés
par le sinus de leur angle.
A =
Error!
a b sin
Error!
A =
Error!
b c sin
Error!
A =
Error!
a c
sin ;B
Application : calculer l'aire d'un hexagone inscrit dans un cercle de rayon 5 cm.
Six triangles identiques à ABC sont inscrit dans l'hexagone.
L'angle de sommet A a pour valeur
Error!
= 60°
L'aire du triangle ABC est : A =
Error!
AB AC sin
Error!
soit : A =
Error!
R R sin
Error!
et A =
Error!
R2 sin
Error!
AN : A =
Error!
52 sin 60° A = 12,5
Error!
A 10,825 cm2
L'aire A H de l'hexagone est égale à six fois celle du triangle ABC : A H 65 cm2
Autre méthode : (AH) est la hauteur du triangle ABC issue de A.
cos ;BAH =
Error!
d'où AH = AB cos
Error!
sin ;BAH =
Error!
d'où BH = AB sin
Error!
L'aire du triangle ABC est : A = AH BH
d'où : A = AB2 cos ;BAH sin ;BAH
avec ;BAH =
Error!
= 30° : A = 52 cos 30° sin 30°
soit : A = 25
Error!
Error!
On retrouve la valeur obtenue par l'autre méthode.
B C
A
R
R
K
b
c L
a
M
C
A
B
H
a
c
h

1 Ba MVABP date :
PhG-Maths
RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
DANS LE TRIANGLE QUELCONQUE
I- Relation des sinus
Dans un triangle, les longueurs des côtés sont proportionnelles aux sinus des angles opposés.
Error!
=
Error!
=
Error!
= 2 R
Remarque 1
Dans un triangle quelconque, les longueurs des côtés sont
proportionnelles aux sinus des angles des sommets opposés aux côtés.
II- Relation d’Al-Kashi ou relation du cosinus
Dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux
autres côtés diminuée du double de leur produit par le cosinus de leur angle.
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos ;A b2 = a2 + c2 – 2 a c cos ;B c2 = a2 + b2 – 2 a b cos
;C
Remarque 2
Dans un triangle rectangle au sommet A, on a : ;A = 90° soit cos ;A = 0.
La relation d’Al-Kashi devient : a2 = b2 + c2 – 2 b c 0 soit a2 = b2 + c2
On retrouve la relation de Pythagore qui ne s’applique qu’aux seuls triangles rectangles.
III- Aire d’un triangle
L'aire d'un triangle quelconque est le demi-produit des longueurs de deux côtés par le sinus de leur angle.
A =
Error!
a b sin
Error!
A =
Error!
b c sin
Error!
A =
Error!
a c
sin ;B
D'une manière générale, l'aire A d’un triangle ABC est : A =
Error!
B h
avec B longueur de la base et h la longueur de la hauteur correspondante
C
A
B
b
a
c
C
A
B
H
a
c
h