Séries de Fourier. - CPGE Dupuy de Lôme

Chapitre 14 : Séries de Fourier. - 1 -
Séries de Fourier. Chap. 14 : résultats.
1. Coefficients de Fourier.
Définition 1.1 : fonction 2π-périodique, continue par morceaux sur 
Théorème 1.1 : structure d’espace vectoriel pour les fonctions continues par morceaux,
2π-périodiques
Théorème 1.2 : valeur constante de l’intégrale sur une période
Définition 1.2 : coefficients de Fourier exponentiels
Définition 1.3 : coefficients de Fourier trigonométriques
Théorème 1.3 : liens entre les différents coefficients de Fourier
Théorème 1.4 : cas particuliers des fonctions paires et impaires
Théorème 1.5 : coefficients de Fourier d'une dérivée
Remarque 1.1 :
2. Somme et série de Fourier.
Définition 2.1 : somme partielle et série de Fourier
Théorème 2.1 : expression trigonométrique d’une somme partielle et d’une somme de Fourier
3. Structure hermitienne de C
02π
ππ
π
( , ).
Définition 3.1 : régularisée d'une fonction continue par morceaux, 2π-périodique de  dans  ou 
Théorème 3.1 : lien entre régularisée d’une fonction et continuité en un point
Théorème 3.2 : espace préhilbertien complexe
Théorème 3.2 : coefficients de Fourier vus comme des produits scalaires
Définition 3.2 : norme associée au produit scalaire précédent
Remarque : remplacement d’une fonction par sa régularisée
Théorème 3.4 : inégalité de Bessel
Théorème 3.5 : convergence de la suite des coefficients de Fourier vers 0
Théorème 3.6 : cas des fonctions de classe C
k
4. Théorèmes de convergence.
Théorème 4.1 : de Parseval ou « de convergence en moyenne quadratique »
Théorème 4.2 : injectivité de l’application « suite des coefficients de Fourier »
Théorème 4.3 : dit « en convergence normale »
Théorème 4.4 : de Jordan-Dirichlet
5. Généralisation aux fonctions T-périodiques de   dans   ou  .
Définition 5.1 : coefficients de Fourier
Théorème 5.1 : coefficients de Fourier d'une dérivée
Définition 5.2 : somme partielle et série de Fourier
Théorèmes 5.2 : de Parseval, de la convergence normale, de Jordan-Dirichlet

Chapitre 14 : Séries de Fourier. - 2 -
Séries de Fourier. Chap. 14 : résultats.
1. Coefficients de Fourier.
Définition 1.1 : fonction 2
π
ππ
π -périodique, continue par morceaux sur
Une fonction f de  dans K est dite continue par morceaux, 2π-périodique si et seulement si elle est
2π-périodique, et continue par morceaux sur un intervalle de longueur 2π.
Théorème 1.1 : structure d’espace vectoriel pour les fonctions continues par morceaux,
2 π
ππ
π -périodiques
L’ensemble des fonctions continues par morceaux de  dans K, 2π-périodiques, est un K-espace
vectoriel, noté CM
2π
(,K).
Théorème 1.2 : valeur constante de l’intégrale sur une période
Si : f ∈ CM
2π
(,K), alors
∫
π+2a
a
dt).t(f est indépendant du réel a.
Définition 1.2 : coefficients de Fourier exponentiels
Soit : f ∈ CM
2π
(,K).
On définit les coefficients de Fourier exponentiels de f par : ∀ n ∈ ,
∫
π+
π−
−
π
=dt.e).t(f.
2
1
)f(c
int
n.
Définition 1.3 : coefficients de Fourier trigonométriques
Soit : f ∈ CM2π(,K).
On définit les coefficients de Fourier trigonométriques de f par :
∀ n ∈ ,
∫
π+
π−
π
=dt).ntcos().t(f.
1
)f(a
n,
∫
π+
π−
π
=dt).ntsin().t(f.
1
)f(b
n.
Remarque : b0 est toujours nul.
Théorème 1.3 : liens entre les différents coefficients de Fourier
Soit : f ∈ CM2π(,K), an, bn, et cn ses coefficients de Fourier trigonométriques et exponentiels.
Alors : ∀ n ∈ , an = cn + c-n, et : bn = i.(cn – c-n),
De même : ∀ n ∈ , )b.ia.(
2
1
c
nnn
−= , )b.ia.(
2
1
c
nnn
+=
−.
Théorème 1.4 : cas particuliers des fonctions paires et impaires
Soit : f ∈ CM2π(,K), an, bn ses coefficients de Fourier trigonométriques.
Si f est paire : ∀ n ∈ , bn = 0, et :
∫
π
π
=
0
n
dt).ntcos().t(f.
2
a .
Si f est impaire : ∀ n ∈ , a
n
= 0, et :
∫
π
π
=
0
n
dt).ntsin().t(f.
2
b .
Théorème 1.5 : coefficients de Fourier d'une dérivée
Soit f continue de  dans K, 2π-périodique, de classe C
1
par morceaux sur .
Alors ses coefficients de Fourier exponentiels vérifient : ∀ n ∈ , c
n
(f ') = i.n.c
n
(f).
Plus généralement, si pour : k ≥ 1, f est de classe C
k-1
de  dans K, 2π-périodique, et de classe C
k
par
morceaux sur , alors : ∀ n ∈ , c
n
(f
(k)
) = (in)
k
.c
n
(f).
Remarque 1.1 :
Si f n’est que de classe C
1
par morceaux, f’ n’est pas définie sur .
Mais il est possible par exemple de prolonger à droite f’ en tout point où elle n’est pas définie (du fait de
la définition d’une fonction de classe C
1
par morceaux) et d’obtenir ainsi une fonction continue par
morceaux sur  dont les coefficients de Fourier coïncident avec ceux de f’.
2. Somme et série de Fourier.

Chapitre 14 : Séries de Fourier. - 3 -
Définition 2.1 : somme partielle et série de Fourier
Soit : f ∈ CM
2π
(,K), c
n
ses coefficients de Fourier exponentiels et : p ∈ .
On appelle p
ième
somme de Fourier de f la fonction définie par : ∀ x ∈ ,
∑
−=
=
p
pn
inx
np
e).f(c)x)(f(S .
Lorsque, pour x réel, la suite (S
p
(f)(x)) converge, on note S(f)(x) sa somme.
La fonction S(f) appelée somme de la série de Fourier de f et on a : ∀ x ∈ D
S(f)
,
∑
+∞
−∞=
=n
inx
ne).f(c)x)(f(S
.
Théorème 2.1 : expression trigonométrique d’une somme partielle et d’une somme de Fourier
Soit : f ∈ CM
2π
(,K), a
n
, b
n
ses coefficients de Fourier trigonométriques et : p ∈ .
On a : ∀ x ∈ ,
∑
=
++=
p
1n nn
0
p
))nxsin(.b)nxcos(.a(
2
a
)x)(f(S .
S’il y a convergence pour x réel, on a :
∑
+∞
=
++=
1n nn
0
))nxsin(.b)nxcos(.a(
2
a
)x)(f(S
.
3. Structure hermitienne de C
02π
ππ
π
( , ).
Définition 3.1 : régularisée d'une fonction continue par morceaux, 2
π
ππ
π -périodique de dans ou
Soit : f ∈ CM
2π
(,).
On appelle régularisée de f, que l'on note en général
f
~
, la fonction qui, pour tout x réel, vaut en x la
demi-somme des limites à droite et à gauche de f en x, soit :
(
)
)hx(flim)hx(flim.
2
1
)x(f
~
0h0h
−++=
+→+→ .
Théorème 3.1 : lien entre régularisée d’une fonction et continuité en un point
Soit : f ∈ CM
2π
(,).
Alors : ∀ x ∈ , (f est continue en x) ⇒ ( )x(f)x(f
~
= ).
En particulier, si f est continue sur , alors :
f
f
~
=
.
Théorème 3.2 : espace préhilbertien complexe
L’ensemble E des fonctions de  dans , 2π-périodiques, égales à leur régularisée, forme un -espace
espace vectoriel, qui contient les fonctions continues, 2π-périodiques de  dans .
L'application :
∫
π+
π−
π
=>< dt).t(g.)t(f.
2
1
g,f)g,f( a , définit sur cet espace un produit scalaire hermitien.
Théorème 3.3 : coefficients de Fourier vus comme des produits scalaires
La famille (e
n
)
n∈
, avec : e
n
(t) = e
int
, est orthonormale.
Pour : f ∈ E, et : n ∈ , <e
n
,f> est le n
ième
coefficient de Fourier exponentiel de f soit c
n
(f).
Définition 3.2 : norme associée au produit scalaire précédent
La norme associée au produit scalaire précédent se définit par :
∀ f ∈ C
02π
(,),
∫
π+
π−
π
=dt².)t(f.
2
1
f
2.
Remarque : remplacement d’une fonction par sa régularisée
Dans tous les calculs qui suivent, notamment dans les calculs de coefficients de Fourier ou de norme,
on peut remplacer les fonctions qui interviennent par leur régularisée.
Théorème 3.4 : inégalité de Bessel
Soit : f ∈ CM
2π
(,), (c
n
) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels et : p ∈ .
Alors : 2
2
p
pn n
f²)f(c ≤
∑
+
−= .

Chapitre 14 : Séries de Fourier. - 4 -
Théorème 3.5 : convergence de la suite des coefficients de Fourier vers 0
Soit : f ∈ CM
2π
(,), (c
n
) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels.
La suite (c
n
(f)) converge vers 0.
Théorème 3.6 : cas des fonctions de classe C
k
Soit f, de classe C
k-1
de  dans , et de classe C
k
par morceaux sur .
Alors : c
n
(f) = o(|n|
-k
) lorsque |n| tend vers +∞.
4. Théorèmes de convergence.
Théorème 4.1 : de Parseval ou « de convergence en moyenne quadratique »
Soit : f ∈ CM
2π
(,), (c
n
) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels.
Alors la suite (||f – S
p
(f)||
2
) tend vers 0.
De plus :
∑
∫
+∞
−∞=
π+
π−
==
π
n
2
n
2
2
)f(cfdt².)t(f.
2
1
.
Théorème 4.2 : injectivité de l’application « suite des coefficients de Fourier »
L'application de C
02π
(,) dans  , qui à f fait correspondre la suite de ses coefficients de Fourier, est
injective.
Théorème 4.3 : dit « en convergence normale »
Soit f, définie et 2π-périodique de  dans  ou , continue sur , de classe C
1
par morceaux sur .
Alors la série de Fourier de f (ou la suite de fonctions (S
p
(f))) converge normalement, donc uniformément
et simplement sur  vers f.
Théorème 4.4 : de Jordan-Dirichlet
Soit f continue par morceaux de  dans  ou , 2π-périodique et de classe C
1
par morceaux sur .
La série de Fourier de f (ou la suite (S
p
(f))) converge simplement sur  vers
f
~
.
5. Généralisation aux fonctions T-périodiques de   dans   ou  .
Définition 5.1 : coefficients de Fourier
Soit f définie, continue par morceaux de  dans  ou , T-périodique sur , avec : T > 0, et :
T
2
π
=ω .
On définit alors les coefficients exponentiels de f par : ∀ n ∈ ,
∫
ω−
=
T
0
tin
n
dt.e).t(f.
T
1
)f(c .
De même, on définit les coefficients trigonométriques par :
∀ n ∈ ,
∫
ω=
T
0
n
dt).tncos().t(f.
T
2
)f(a ,
∫
ω=
T
0
n
dt).tnsin().t(f.
T
2
)f(b .
Théorème 5.1 : coefficients de Fourier d'une dérivée
Soit f continue de  dans K, T-périodique, de classe C
1
par morceaux sur , et :
T
2
π
=ω .
Alors ses coefficients de Fourier exponentiels vérifient : ∀ n ∈ , c
n
(f ') = i.n.ω.c
n
(f).
Plus généralement, si f est de classe C
k-1
 dans K, 2π-périodique, et de classe C
k
par morceaux sur ,
alors : ∀ n ∈ , c
n
(f
(k)
) = (i.n.ω)
k
.c
n
(f).
Définition 5.2 : somme partielle et série de Fourier
Soit : f ∈ CM
T
(,K), a
n
, b
n
, c
n
ses coefficients de Fourier trigonométriques et exponentiels et : p ∈ .
On appelle p
ième
somme de Fourier de f la fonction définie par : ∀ x ∈ ,
∑
−=
ω
=
p
pn
xin
np
e).f(c)x)(f(S .
Elle peut encore s’écrire : ∀ x ∈ ,
∑
=
++=
p
1n nn
0
p
))nxsin(.b)nxcos(.a(
2
a
)x)(f(S .
Lorsque, pour x réel, la suite (S
p
(f)(x)) converge, on note S(f)(x) sa somme.
La fonction S(f) appelée somme de la série de Fourier de f et on a :

Chapitre 14 : Séries de Fourier. - 5 -
∀ x ∈ D
S(f)
,
∑∑
+∞
=
+∞
−∞=
ω
ω+ω+==
1n nn
0
n
xin
n
))xnsin(.b)xncos(.a(
2
a
e).f(c)x)(f(S
.
Théorèmes 5.3 : de Parseval, de la convergence normale, de Jordan-Dirichlet
Ils s’adaptent sous les mêmes hypothèses aux fonctions T-périodiques avec, pour le théorème de
Parseval :
∑
∫
+∞
−∞=
=
n
2
n
T
0
)f(cdt².)t(f.
T
1
.