Séries de Fourier PC* Espaces des fonctions continues admettant 2π comme période On note C2π cet espace. Un élément f de cet ensemble est entièrement déterminé par sa restriction à un intervalle de longueur 2π . ∀α ∈ R, ∀f ∈ C2π , f ([α, α + 2π]) = f ([0, 2π]) = f (R) Première norme de C2π L'application f 7→ sup |f | = ||f ||[0,2π] est une norme de C2π . ∞ [0,2π] On la note plus simplement ||f ||∞ . Exemples : pour tout n de Z on note en : t 7→ eint = (eit )n . ||en ||∞ = 1. De même montrer que g : t 7→ cos(t) + sin(t) est élément de C2π et calculer ||g||∞ . C2π est un espace préhibertien Le produit scalaire de cet espace est déni par : ∀(f, g) ∈ 2 C2π , 1 ⟨f, g⟩ = 2π √ La norme associée est ||f ||2 = 1 2π ∫ 2π ∫ 2π f (t)g(t)dt 0 |f (t)|2 dt. On a toujours ||f ||2 ≤ ||f ||∞ . 0 Remarque : Comment s'exprime l'inégalité de Cauchy-Schwarz ? Soit f ∈ C2π telle que ∀t ∈ [−π, π], f (t) = |t| ; calculer ∥f ||2 . Autre question : ces deux normes sont-elles équivalentes ? Mais quelle est la dénition de deux normes équivalentes ? Une famille orthonormale 1 ∀(n, p) ∈ Z , ⟨en , ep ⟩ = 2π ∫ 2 2π e−int eipt dt = δn,p 0 Cette famille est donc libre. En particulier, si p ∈ N, l'espace V ect(ep , e−p+1 , ..., e1 , e0 , e1 , ..., ep ) est un espace de dimension 2p + 1. On le note Pp . On remarque que P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pp ⊂ Pp+1 ⊂ .... Montrer par exemple que la fonction t 7→ cos(t) + 2 sin(3t) est élément de P3 . Polynômes trigonométriques Une fonction f est un polynôme trigonométrique si il existe un entier N ∈ N tel que f ∈ PN . Autrement dit : f est un polynôme trigonométrique ssi il existe N ∈ N et des scalaires (αk )−N ≤k≤N ∈ C 2N +1 tels que ∀t ∈ R, f (t) = N ∑ αk eikt . k=−N Projection orthogonale sur Pp Soit f ∈ C2π . Comme on a une base orthonormale de Pp , le projeté orthogonal de f sur Pp est Sp (f ) = k=p ∑ ⟨ek , f ⟩ ek . C'est le polynôme trigonométrique de Pp le plus k=−p 1 Séries de Fourier PC* proche de f pour la norme 2. Coecients de Fourier de f Notations classiques 1 ∀f ∈ C2π , ∀n ∈ Z, ⟨en , f ⟩ = cn (f ) = fˆ(n) = 2π ∫ 2π e−int f (t)dt 0 Exemple : calculer les coecients de Fourier de la fonction f ∈ C2π vériant f (t) = |t| pour tout t ∈ [−π, π] Remarque importante : dans le calcul des coecients de Fourier on est amené à calculer des intégrales de fonctions 2π -périodiques sur un intervalle de longueur 2π . Le résultat ne dépend pas de l'intervalle de longueur 2π choisi. On prendra donc un intervalle sur lequel la fonction est explicitement connu. pour toute fonction F , c.p.m., 2π -périodique, ∀α ∈ R, ∫ ∫ 2π α+2π F (t)dt = 0 F (t)dt α Série de Fourier de f Sp (f ) peut s'interpréter comme la somme partielle d'orde p d'une série de fonctions dénie par : ∀k ∈ N∗ , gk = c−k (f )e−k +ck (f )ek et g0 = c0 (f )e0 , fonction constante égale à c0 (f ) p ∑ ( ) c−k (f )e−ikt + ck (f )eikt . ∀p ∈ N, ∀t ∈ R, Sp (f )(t) = c0 (f ) + Cette série de fonctions, abus d'écriture ∑ ∑ k=1 gk , est appelée série de Fourier de f . On la note par ck (f )ek k∈Z Convergence quadratique Convergence pour la norme 2 dans C2π Théorème : Soit f fonction de R dans C, continue, 2π -périodique. On note, pour tout p ∈ N, Sp (f ) la somme partielle de sa série de Fourier. ∀p ∈ N, Sp (f ) = p ∑ ck (f )ek où ek : t 7→ eikt . k=−p a) La série de Fourier de f converge vers f pour la norme 2 (convergence quadratique) c.a.d. lim ||Sp (f ) − f ||2 = 0. b) 1 2π ∫ p→+∞ 2π |f (t)|2 dt = ||f ||22 = 0 +∞ ∑ |ck (f )|2 (égalité de Parseval) −∞ 2 Séries de Fourier PC* ◦ Pour démontrer ce théorème on utilise la possibilité d'approcher uniformément à ε près une fonction de C2π par un polynôme trigonométrique. C'est le théo- rème de ... ◦ La formule de Parseval est une conséquence du théorème de Pythagore et d'un passage à la limite. En utilisant la fonction égale à t2 sur [−π, π], retrouvez ∑ 4 1/n ... M Fonctions de C2π Pour des fonctions continues par morceaux 2π -périodiques on peut calculer les coefcients de Fourier. On n'a plus un produit scalaire mais certaines propriétés restent. M Soit f ∈ C2π 1 Pour tout n ∈ Z on note, cn (f ) = fˆ(n) = 2π ∫ 2π e−int f (t)dt 0 Pour de telles fonctions on a : ∀f ∈ M C2π , ∫ 2π +∞ ∑ 1 2 |ck (f )| = |c−k (f )| + |c0 (f )| + |f (t)|2 dt 2π 0 k=1 k=1 ∀f ∈ 2 +∞ ∑ M C2π , ∀p 2 k=p ∑ 1 |ck (f )| ≤ ∈ N, 2π k=−p ∫ 2π |f (t)|2 dt 2 (Formule de Parseval) (Inégalité de Bessel) 0 Propriétés des coecients de Fourier ∑ ∑ M ◦ ∀f ∈ C2π les deux séries |ck (f )|2 et |c−k (f )|2 sont convergentes. En particulier lim |ck (f )| = lim |c−k (f )| = 0. k→+∞ k→+∞ ◦ ∀(f, g) ∈ , ∀α ∈ C, ∀k ∈ Z f\ + αg(k) = ck f + αg = fˆ(k) + αĝ(k) = ck (f ) + αck (g) M 2 (C2π ) M ◦ Si f ∈ C2π et si a ∈ R, la fonction g dénie par ∀t ∈ R, g(t) = f (t + a) vérie : ∀k ∈ Z, ck (g) = eika ck (f ). ◦ Si f est continue, 2π -périodique, de classe C 1 par morceaux ∀k ∈ Z, ck (f ′ ) = (ik)ck (f ) Quel résultat obtient-on pour une fonction de classe C N et C N +1 par morceaux ? Que peut-on en déduire pour les coecients de Fourier de f ? Et si f est C ∞ ? ◦ Si f et g sont deux éléments de C2π (donc continues) f = g ⇔ ∀k ∈ Z, ck (f ) = ck (g) ◦ +∞ ∑ 1 ck (f )ck (g) = ∀(f, g) ∈ (C2π ) , ⟨f, g⟩ = 2π k=−∞ 2 3 ∫ 2π f (t)g(t)dt 0 Séries de Fourier PC* Les grands théorèmes de convergence ponctuelle Attention les résultats sont exprimés en utilisant également les coecients de Fourier trigonométriques. (cf. formulaire à part). Convergence normale de la série de Fourier Théorème : Soit f fonction de R dans C, continue, 2π -périodique, de classe c1 par morceaux. 1. La série de Fourier de f converge normalement sur R vers f 2. Pour tout t réel : f (t) = +∞ ∑ a0 (f ) ∑ + (an (f ) cos(nt) + bn (f ) sin(nt)) 2 n=1 +∞ cn (f )eint = −∞ Reprenez le formulaire pour pouvoir passer rapidement de l'expression des cn (f ) à celle des an (f ) et bn (f ) (et réciproquement). Convergence simple de la série de Fourier Théorème : (Théorème de Dirichlet) Soit f fonction de R dans C, continue par périodique, de classe C 1 par morceaux. 1. La série de Fourier de f converge simplement sur R. 2. Pour tout x réel : morceaux , 2π - f (x+ ) + f (x− ) ∑ a0 (f ) ∑ = cn (f )einx = + (an (f ) cos(nx) + bn (f ) sin(nx)) 2 2 −∞ n=1 +∞ +∞ ◦ Attention : quel est le sens de f (x+ ) ? de f (x− ) ? ◦ En un point où f est continue, quelle est alors la somme de la série de Fourier ? π−t M dénie par f (0) = 0 et, ∀t ∈]0, 2π[, f (t) = . Déterminer ◦ Soit f ∈ C2π 2 sa série de Fourier. Préciser le mode de convergence. Écrire quelques égalités particulières. Parseval ? 4