Synthèse de cours PanaMaths (CPGE) → Séries de Fourier

Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)
Æ Séries de Fourier
PanaMaths [1-11] Mars 2011
Préambule
Pour des soucis évidents de clarté, la lettre « i » désignera dans ce document le complexe
vérifiant 210i+=.
Le cadre de ce chapitre est l’espace vectoriel 2
π
CM sur le corps  des fonctions complexes
de la variable réelle, 2
π
−périodiques et continues par morceaux.
On note 2
π
C l’espace vectoriel sur le corps  des fonctions complexes de la variable réelle,
2
π
−périodiques et continues. On a bien sûr : 22
π
π
⊂ CCM .
Coefficients de Fourier
Notations et rappels
Pour tout entier n, on note n c, n s et n e les fonctions de la variable réelle définies par :
(
)
(
)
() ( )
()
int
:cos
:sin
:
nn
nn
nn
ct ct nt
st st nt
et et e
=
=
=
Remarque :
()
(
)
(
)
(
)
int
, cos sin nn te ntintctist∀∈ = + = +. Soit : nn n
ecis=+ . Par ailleurs,
0
s est la fonction nulle.
On note n P l’ensemble
()
()
Vect knkn e−≤≤ . C’est un sous-espace vectoriel de 2
π
CM de
dimension 21n+.
Remarque :
()
(
)
()
01 12
Vect Vect , , ..., , , , ...,
nk n n
nkn
ecccsss
−≤≤
== P .
On note :
()
()
Vect
nk
k
ne∈
∈
==
∪
PP
.
Une fonction f définie sur le segment
[
]
,ab ( ab
<
) de  est dite « k C par morceaux » s’il
existe une famille finie strictement croissante 012
... n aa a a a b
=
<<<<= telle que pour tout
entier j dans
0; 1n− la restriction de f à 1
,
jj
aa
+
⎤⎡
⎦⎣
est prolongeable en une fonction de
classe k
C sur 1 ,
jj
aa
+
⎡⎤
⎣⎦
.

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Séries de Fourier
PanaMaths [2-11] Mars 2011
Une fonction f définie sur un intervalle de  est dite « k C par morceaux » si elle est k C par
morceaux sur tout segment inclus dans I.
Polynômes trigonométriques
On appelle « polynôme trigonométrique » tout élément de l’ensemble P .
L’ensemble P est appelé « espace des polynômes trigonométriques ».
Un polynôme trigonométrique P est donc de la forme :
() () ( ) ( )
0
11
nn n n n
kk k k k k k k k k k k k k
kn kn kn k k
Pe cis cis ci s αα α ααα αα
−−
=− =− =− = =
== += +=+++−
∑∑ ∑ ∑ ∑
Coefficients de Fourier
Définition
Soit 2 f
π
∈ CM . Pour tout entier n, on appelle « coefficient de Fourier de f d’indice n » le
complexe
()
n
Cf
défini par :
() ()
int
1
2
n
Cf ftedt
π
π
π
−
−
=∫
Les n C sont appelés « coefficients de Fourier de la fonction f ».
On note ˆ
f
la suite des coefficients de Fourier de f :
(
)
(
)
nn
Cf
∈
, c'est-à-dire l’application :
()
ˆ:
n
f
nCf
→
Remarques :
■ La fonction f étant 2
π
−périodique, le calcul peut être mené sur tout intervalle de
longueur 2
π
;
■ On a :
() ()
0
1
2
Cf ftdt
π
π
π
−
=∫. Il s’agit donc de la valeur moyenne de la fonction f sur une
période.

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Séries de Fourier
PanaMaths [3-11] Mars 2011
Propriétés
Dans les propriétés ci-dessous, les fonctions considérées sont, sauf mention contraire, des
éléments de 2
π
CM .
■ L’application ˆ
f
f est linéaire :
()
22ˆˆ
,,
f
gfg
α
βαβαβ ∀∈ +=+
C'est-à-dire :
() ( ) () ()
22
,, ,
nnn
ncfgcfcg αβ α β α β ∀∈∀∈ += +
■
()
()
, nn nCfCf
−
∀∈ = ;
■ Si f est une fonction paire alors
(
)
(
)
, nn nCfCf
−
∀∈ = ;
Si f est une fonction impaire alors
(
)
(
)
, nn nCfCf
−
∀∈ =−.
■ La suite
()
()
nn
Cf
∈
 est bornée :
(
)
(
)
, sup
nt
nCf ft
∈
∀∈ ≤ .
■ Si f est 2
π
−périodique, continue et de classe 1 C par morceaux sur  alors :
(
)
(
)
, '
nn
nCfinCf∀∈ =
Plus généralement : si la fonction f est de classe 1k
−
C et de classe k C par morceaux alors :
()
(
)
() ()
, k
k
nn
nCf inCf∀∈ =
Coefficients trigonométriques
Définition
Soit 2 f
π
∈ CM . On appelle « coefficients trigonométriques de f » les complexes, définis par
(n∈) :
() () ( )
1cos
n
a f f t nt dt
π
π
π
−
=∫ et
() () ( )
1sin
n
b f f t nt dt
π
π
π
−
=∫
Remarque : on a
()
00bf=. Ainsi, on peut définir les n
b pour *
n∈.

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Séries de Fourier
PanaMaths [4-11] Mars 2011
Relations entre les coefficients de Fourier et les coefficients
trigonométriques
Pour tout entier naturel n, on a :
() ()
(
)
nn n
af Cf C f
−
=+ et
(
)
(
)
(
)
nnn
bf iCf C f
−
=−
⎡
⎤
⎣
⎦
() () ()
1
2
nnn
Cf af ibf=−⎡⎤
⎣⎦
et
() () ()
1
2
nnn
Cf afibf
−=+
⎡
⎤
⎣
⎦
Remarque :
■
() ()
0
02
af
Cf=
■
() () () ()
()
22 22
1
2
nn nn
Cf C f af bf
−
+= +
Propriétés
Dans les propriétés ci-dessous, les fonctions considérées sont, sauf mention contraire, des
éléments de 2
π
CM .
■ Si f est paire alors
()
, 0
n
nbf
∀
∈=.
Si f est impaire alors
()
, 0
n
naf∀∈ =.
■ Si f est 2
π
−périodique, continue et de classe 1
C par morceaux sur  alors :
()
(
)
, '
nn
nafnbf∀∈ = et
(
)
(
)
'
nn
bf naf=−

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Séries de Fourier
PanaMaths [5-11] Mars 2011
Séries de Fourier
Définition
Soit 2 f
π
∈ CM . On appelle « série de Fourier de f » la série de fonctions :
()
(
)() ()
{}
0
2
nn nnnn
af
Cfe afcbfs=+ +
∑∑
ATTENTION ! La série du membre de gauche sous-entend une indexation dans  tandis que
pour celle de droite l’indexation se fait dans * . Ainsi, la somme partielle
()
n
Sf sera définie
pour tout t réel par :
()
()
() ( ) ()
(
)( ) () ( ) ()
{}
() () () ( ) () ( )
{}
0
1
0
1
2
cos sin
2
nn
nkk kkkk
kn k
nn
ikx
kkk
kn k
af
Sf x Cfex afcxbfsx
af
Cfe af kxbf kx
=− =
=− =
==++
==+ +
∑∑
∑∑
Si la série de Fourier de la fonction f converge simplement vers la fonction f (c'est-à-dire si la
suite
()
()
nn
Sf∈ converge simplement vers la fonction f) alors on dit que « la fonction f est
développable en série de Fourier ».
Dans la partie suivante nous donnons des résultats fondamentaux relatifs à la série de Fourier
d’une fonction d’un certain espace, résultats qui seront étendus aux fonctions
2
π
−périodiques et continues par morceaux.
ATTENTION !
La série de Fourier associée à f ne converge pas nécessairement pour tout x. En outre, si, pour
un réel x donné,
()
(
)
()
lim n
nSf x
→+∞ ⎡⎤
⎣⎦
existe, cette limite peut être différente de
()
f
x.
Ainsi, on se demande sous quelles hypothèses la série de Fourier d’une fonction donnée f
converge et, le cas échéant, si la fonction limite de cette série peut être la fonction f elle-même
ou une fonction proche.