Séries de Fourier. - CPGE Dupuy de Lôme
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Séries de Fourier. Chap. 14 : résultats. 1. Coefficients de Fourier. Définition 1.1 : fonction 2π-périodique, continue par morceaux sur Théorème 1.1 : structure d’espace vectoriel pour les fonctions continues par morceaux, 2π-périodiques Théorème 1.2 : valeur constante de l’intégrale sur une période Définition 1.2 : coefficients de Fourier exponentiels Définition 1.3 : coefficients de Fourier trigonométriques Théorème 1.3 : liens entre les différents coefficients de Fourier Théorème 1.4 : cas particuliers des fonctions paires et impaires Théorème 1.5 : coefficients de Fourier d'une dérivée Remarque 1.1 : 2. Somme et série de Fourier. Définition 2.1 : somme partielle et série de Fourier Théorème 2.1 : expression trigonométrique d’une somme partielle et d’une somme de Fourier 3. Structure hermitienne de C02ππ( , ). Définition 3.1 : régularisée d'une fonction continue par morceaux, 2π-périodique de dans ou Théorème 3.1 : lien entre régularisée d’une fonction et continuité en un point Théorème 3.2 : espace préhilbertien complexe Théorème 3.2 : coefficients de Fourier vus comme des produits scalaires Définition 3.2 : norme associée au produit scalaire précédent Remarque : remplacement d’une fonction par sa régularisée Théorème 3.4 : inégalité de Bessel Théorème 3.5 : convergence de la suite des coefficients de Fourier vers 0 Théorème 3.6 : cas des fonctions de classe Ck 4. Théorèmes de convergence. Théorème 4.1 : de Parseval ou « de convergence en moyenne quadratique » Théorème 4.2 : injectivité de l’application « suite des coefficients de Fourier » Théorème 4.3 : dit « en convergence normale » Théorème 4.4 : de Jordan-Dirichlet 5. Généralisation aux fonctions T-périodiques de dans ou . Définition 5.1 : coefficients de Fourier Théorème 5.1 : coefficients de Fourier d'une dérivée Définition 5.2 : somme partielle et série de Fourier Théorèmes 5.2 : de Parseval, de la convergence normale, de Jordan-Dirichlet Chapitre 14 : Séries de Fourier. -1- Séries de Fourier. Chap. 14 : résultats. 1. Coefficients de Fourier. Définition 1.1 : fonction 2π-périodique, continue par morceaux sur Une fonction f de dans K est dite continue par morceaux, 2π-périodique si et seulement si elle est 2π-périodique, et continue par morceaux sur un intervalle de longueur 2π. Théorème 1.1 : structure d’espace vectoriel pour les fonctions continues par morceaux, 2π-périodiques L’ensemble des fonctions continues par morceaux de dans K, 2π-périodiques, est un K-espace vectoriel, noté CM2π(,K). Théorème 1.2 : valeur constante de l’intégrale sur une période Si : f ∈ CM2π(,K), alors ∫ a +2 π a f ( t ).dt est indépendant du réel a. Définition 1.2 : coefficients de Fourier exponentiels Soit : f ∈ CM2π(,K). On définit les coefficients de Fourier exponentiels de f par : ∀ n ∈ , c n (f ) = 1 +π .∫ f ( t ).e −int .dt . 2π − π Définition 1.3 : coefficients de Fourier trigonométriques Soit : f ∈ CM2π(,K). On définit les coefficients de Fourier trigonométriques de f par : ∀ n ∈ , a n (f ) = 1 +π 1 +π .∫ f ( t ). cos(nt ).dt , b n (f ) = .∫ f ( t ). sin(nt ).dt . π −π π −π Remarque : b0 est toujours nul. Théorème 1.3 : liens entre les différents coefficients de Fourier Soit : f ∈ CM2π(,K), an, bn, et cn ses coefficients de Fourier trigonométriques et exponentiels. Alors : ∀ n ∈ , an = cn + c-n, et : bn = i.(cn – c-n), De même : ∀ n ∈ , c n = 1 1 .(a n − i.b n ) , c − n = .(a n + i.b n ) . 2 2 Théorème 1.4 : cas particuliers des fonctions paires et impaires Soit : f ∈ CM2π(,K), an, bn ses coefficients de Fourier trigonométriques. 2 π . f ( t ). cos(nt ).dt . π ∫0 2 π Si f est impaire : ∀ n ∈ , an = 0, et : b n = .∫ f ( t ). sin( nt ).dt . π 0 Si f est paire : ∀ n ∈ , bn = 0, et : a n = Théorème 1.5 : coefficients de Fourier d'une dérivée Soit f continue de dans K, 2π-périodique, de classe C1 par morceaux sur . Alors ses coefficients de Fourier exponentiels vérifient : ∀ n ∈ , cn(f ') = i.n.cn(f). Plus généralement, si pour : k ≥ 1, f est de classe Ck-1 de dans K, 2π-périodique, et de classe Ck par morceaux sur , alors : ∀ n ∈ , cn(f(k)) = (in)k.cn(f). Remarque 1.1 : Si f n’est que de classe C1 par morceaux, f’ n’est pas définie sur . Mais il est possible par exemple de prolonger à droite f’ en tout point où elle n’est pas définie (du fait de la définition d’une fonction de classe C1 par morceaux) et d’obtenir ainsi une fonction continue par morceaux sur dont les coefficients de Fourier coïncident avec ceux de f’. 2. Somme et série de Fourier. Chapitre 14 : Séries de Fourier. -2- Définition 2.1 : somme partielle et série de Fourier Soit : f ∈ CM2π(,K), cn ses coefficients de Fourier exponentiels et : p ∈ . On appelle pième somme de Fourier de f la fonction définie par : ∀ x ∈ , S p (f )( x ) = p ∑c n=−p n (f ).e inx . Lorsque, pour x réel, la suite (Sp(f)(x)) converge, on note S(f)(x) sa somme. La fonction S(f) appelée somme de la série de Fourier de f et on a : ∀ x ∈ DS(f), S(f )( x ) = +∞ ∑c n = −∞ n (f ).e inx . Théorème 2.1 : expression trigonométrique d’une somme partielle et d’une somme de Fourier Soit : f ∈ CM2π(,K), an, bn ses coefficients de Fourier trigonométriques et : p ∈ . p a0 + ∑ (a n . cos(nx ) + b n . sin(nx )) . 2 n =1 +∞ a S’il y a convergence pour x réel, on a : S(f )( x ) = 0 + ∑ (a n . cos(nx ) + b n . sin(nx )) . 2 n =1 On a : ∀ x ∈ , S p (f )( x ) = 3. Structure hermitienne de C02ππ( , ). Définition 3.1 : régularisée d'une fonction continue par morceaux, 2π-périodique de dans ou Soit : f ∈ CM2π(,). ~ On appelle régularisée de f, que l'on note en général f , la fonction qui, pour tout x réel, vaut en x la ~ demi-somme des limites à droite et à gauche de f en x, soit : f ( x ) = ( ) 1 . lim f ( x + h ) + lim f ( x − h ) . h →0 + 2 h →0 + Théorème 3.1 : lien entre régularisée d’une fonction et continuité en un point Soit : f ∈ CM2π(,). ~ Alors : ∀ x ∈ , (f est continue en x) ⇒ ( f ( x ) = f ( x ) ). ~ En particulier, si f est continue sur , alors : f = f . Théorème 3.2 : espace préhilbertien complexe L’ensemble E des fonctions de dans , 2π-périodiques, égales à leur régularisée, forme un -espace espace vectoriel, qui contient les fonctions continues, 2π-périodiques de dans . L'application : (f , g ) a< f , g > = 1 +π . f ( t ).g ( t ).dt , définit sur cet espace un produit scalaire hermitien. 2π ∫−π Théorème 3.3 : coefficients de Fourier vus comme des produits scalaires La famille (en)n∈, avec : en(t) = eint, est orthonormale. Pour : f ∈ E, et : n ∈ , <en,f> est le nième coefficient de Fourier exponentiel de f soit cn(f). Définition 3.2 : norme associée au produit scalaire précédent La norme associée au produit scalaire précédent se définit par : ∀ f ∈ C02π(,), f 2 = 1 2π . ∫ +π −π f ( t ) ².dt . Remarque : remplacement d’une fonction par sa régularisée Dans tous les calculs qui suivent, notamment dans les calculs de coefficients de Fourier ou de norme, on peut remplacer les fonctions qui interviennent par leur régularisée. Théorème 3.4 : inégalité de Bessel Soit : f ∈ CM2π(,), (cn) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels et : p ∈ . +p Alors : ∑c n =− p n (f ) ² ≤ f 2 2 . Chapitre 14 : Séries de Fourier. -3- Théorème 3.5 : convergence de la suite des coefficients de Fourier vers 0 Soit : f ∈ CM2π(,), (cn) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels. La suite (cn(f)) converge vers 0. Théorème 3.6 : cas des fonctions de classe Ck Soit f, de classe Ck-1 de dans , et de classe Ck par morceaux sur . Alors : cn(f) = o(|n|-k) lorsque |n| tend vers +∞. 4. Théorèmes de convergence. Théorème 4.1 : de Parseval ou « de convergence en moyenne quadratique » Soit : f ∈ CM2π(,), (cn) la famille de ses coefficients de Fourier exponentiels. Alors la suite (||f – Sp(f)||2) tend vers 0. De plus : 1 +π . f ( t ) ².dt = f 2π ∫−π 2 2 = +∞ ∑c n = −∞ 2 n (f ) . Théorème 4.2 : injectivité de l’application « suite des coefficients de Fourier » L'application de C02π(,) dans , qui à f fait correspondre la suite de ses coefficients de Fourier, est injective. Théorème 4.3 : dit « en convergence normale » Soit f, définie et 2π-périodique de dans ou , continue sur , de classe C1 par morceaux sur . Alors la série de Fourier de f (ou la suite de fonctions (Sp(f))) converge normalement, donc uniformément et simplement sur vers f. Théorème 4.4 : de Jordan-Dirichlet Soit f continue par morceaux de dans ou , 2π-périodique et de classe C1 par morceaux sur . ~ La série de Fourier de f (ou la suite (Sp(f))) converge simplement sur vers f . 5. Généralisation aux fonctions T-périodiques de dans ou . Définition 5.1 : coefficients de Fourier Soit f définie, continue par morceaux de dans ou , T-périodique sur , avec : T > 0, et : ω = On définit alors les coefficients exponentiels de f par : ∀ n ∈ , c n (f ) = 2π . T 1 T .∫ f ( t ).e −inωt .dt . T 0 De même, on définit les coefficients trigonométriques par : ∀ n ∈ , a n (f ) = 2 T 2 T .∫ f ( t ). cos(nωt ).dt , b n (f ) = .∫ f ( t ). sin(nωt ).dt . T 0 T 0 Théorème 5.1 : coefficients de Fourier d'une dérivée Soit f continue de dans K, T-périodique, de classe C1 par morceaux sur , et : ω = 2π . T Alors ses coefficients de Fourier exponentiels vérifient : ∀ n ∈ , cn(f ') = i.n.ω.cn(f). Plus généralement, si f est de classe Ck-1 dans K, 2π-périodique, et de classe Ck par morceaux sur , alors : ∀ n ∈ , cn(f(k)) = (i.n.ω)k.cn(f). Définition 5.2 : somme partielle et série de Fourier Soit : f ∈ CMT (,K), an, bn, cn ses coefficients de Fourier trigonométriques et exponentiels et : p ∈ . ième On appelle p somme de Fourier de f la fonction définie par : ∀ x ∈ , S p (f )( x ) = Elle peut encore s’écrire : ∀ x ∈ , S p (f )( x ) = p ∑c n =− p n (f ).e inωx . p a0 + ∑ (a n . cos(nx ) + b n . sin(nx )) . 2 n =1 Lorsque, pour x réel, la suite (Sp(f)(x)) converge, on note S(f)(x) sa somme. La fonction S(f) appelée somme de la série de Fourier de f et on a : Chapitre 14 : Séries de Fourier. -4- ∀ x ∈ DS(f), S(f )( x ) = +∞ ∑c n = −∞ n (f ).e inωx = a 0 +∞ + ∑ (a n . cos(nωx ) + b n . sin(nωx )) . 2 n =1 Théorèmes 5.3 : de Parseval, de la convergence normale, de Jordan-Dirichlet Ils s’adaptent sous les mêmes hypothèses aux fonctions T-périodiques avec, pour le théorème de Parseval : +∞ 1 T 2 .∫ f ( t ) ².dt = ∑ c n (f ) . 0 T n = −∞ Chapitre 14 : Séries de Fourier. -5-
