3 : fonctions trinomes du second degre

Trinômes du second degré Cours
Gérard Hirsch – Maths54 1
3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE
1. DEFINITIONS
Un trinôme du second degré est une fonction de la forme 2
x
ax bx c
+
+a où a, b et c sont
trois réels donnés avec 0a≠
Résoudre l'équation 20( 0)ax bx c avec a++= ≠, c'est trouver tous les nombres u tels que
20au bu c++=. Un tel nombre u est dit solution ou encore racine de l'équation.
2. Résolution de l'équation du second degré dans R
Posons 2 () ( 0)fx ax bx c a=++ ≠
2.1. Ecriture sous forme canonique
Puisque 0a≠, mettons a en facteur : 2
() bc fx ax x
aa
=++
Faisons apparaitre les deux premiers termes de la parenthèse comme le début d'un carré
2
22
2
()
24
bbb
xxx
aaa
+=+−
Donc
2
2
2
() ( )
24
bbc
fx a x aaa =+−+
En réduisant au même dénominateur, les deux derniers termes dans le crochet
2
2
2
4
() ( )
24
bbac
fx a x aa
−
=+−
Cette dernière écriture est appelée forme canonique du trinôme du second degré

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2.2. Résolution de l'équation du second degré
On pose 24bac∆= − (lire "delta"); ∆ est le discriminant du trinôme
f(x) s'écrit 2
2
() ( )
24
b
fx a x aa
∆
=+−
•Si 0∆< , alors 20
4a
∆<, l'expression entre crochets est strictement positive, donc l'équation
() 0fx= n'admet pas de solution dans R.(voir le chapitre « nombres complexes »)
Remarque
voir le chapitre "Nombres complexes" pour la résolution dans C
•Si 0∆= , alors 2
() ( )
2
b
fx ax a =+ et puisque 0a
≠
, l'équation () 0fx
=
admet une solution
et une seule 2
b
xa =− (on dit aussi que la racine est double)
•Si 0∆> alors on peut écrire 2 ()∆= ∆
et
2
222
2
()
() ( ) ( ) ( )
24 22
bb
fx ax ax
aa aa
∆∆
=+− =+−
soit en utilisant l'identité remarquable 22
()()AB ABAB
−
=+ −
() 22 22
bb
fx ax x
aa aa
∆∆
=++ +−
(0)avec a
≠
Le produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
Si l'on pose 12
22
bb
xetx
aa
−+ ∆ −− ∆
==
f(x) s'écrit 12
() ( )( )
f
x axxxx=− −
Puisque 0a≠, l'équation ( ) 0fx= admet deux solutions distinctes :
12
22
bb
xetx
aa
−+ ∆ −− ∆
==

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3. Factorisation du trinôme du second degré
Soit le discriminant du trinôme du second degré 24bac∆= −
• Si 0∆> alors on peut écrire, le frinôme du second degré admet deux racines
12
22
bb
xetx
aa
−+ ∆ −− ∆
==et alors 2
12
()()ax bxcaxx xx++= − −
• Si 0∆= , alors 22
()
2
b
ax bx c a x a ++= +
• Si 0∆< , le trinôme du second degré n'admet pas de racine dans R, et la factorisation
dans R n'est pas possible.
4. Somme et produit des racines
Lorsque le trinôme du second degré 20( 0)ax bx c avec a
+
+= ≠ admet deux racines
distinctes 12
22
bb
xetx
aa
−+ ∆ −− ∆
== (ou deux racines confondues 12
2
b
xx a
−
== )
alors
• leur somme 12
b
Sxx a
=
+=−
• et leur produit 12
c
Pxx a ==
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 2 21370xx
−
−=
Formons le discriminant 22 2
4 ( 13) 4( 7)(2) 225 15bac∆= − = − − − = =
12
13 15 13 15 1
7
24 242
bb
xetx
aa
−+ ∆ + −− ∆ −
======−
Les racines de l’équation du second degré sont 1
7, 2
−
Vérification :

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12
12
113
722
17
.(7)()
22
b
Sxx a
c
Pxx a
=+=−=−=
===−=−
Factorisation du trinôme
21
21372(7)( )(7)(21)
2
xx xx x x−−=− +=− +
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 2 210xx
+
+=
Formons le discriminant 22
4 (1) 4(2)(1) 7 0bac∆= − = − =− <
Le trinôme du second degré n’admet pas de racine réelle et ne peut se factoriser dans .
Exemple
Cas où une racine est connue
Résoudre l’équation du second degré 21000 999 0xx
−
+=
On remarque que 11x= est une racine de cette équation.
On sait que le produit 12
x
x des racines est 999
c
a
=
Puisque 11x= alors 2999x=
5. Recherche de deux réels connaissant leur somme S et
leur produit P
Deux nombres réels u et v ont pour somme Suv
=
+ et pour produit Puv=, s'ils sont
solutions de l'équation du second degré 20xSxP
−
+= .Les deux réls u et v n'existent que si
de plus 240SP−≥
Exemple
Résoudre le système
22
49
() 1225
xy
xy
+=
Σ+=

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On utilise l’identité remarquable 222 () 2
x
yxy xy+=++
qui donne
222
()( )
2
x
yxy
xy +−+ = soit
2
(49) (1225) 558
2
xy − ==
Le système ( )Σ est équivalent au système
49 (') 558
xy
xy
+=
Σ=
On cherche donc deux nombres connaissant leur somme 49S
=
et leur produit 588P=
Ces deux nombres x et y sont solutions de l’ équation 249 588 0XX
−
+=
Les racines de cette équation du second degré sont 21 et 28
Les solutions du système ( )Σ sont 21 28 28 21x ety oux ety
=
===
6. Signe du trinôme du second degré
Soit 2 () 0 ( 0)fx ax bx c aveca=++= ≠
•Lorsque 0∆< , f(x) est toujours du signe de a.
•Lorsque 0∆= , f(x) est du signe de a (sauf lorsque 2
b
xa =− , auquel cas ( ) 0fx=)
•Lorsque 0∆> , f(x) est
• du signe de a lorsque x est à l'extérieur des racines
• du signe de a− lorsque x est à l'intérieur des racines
• nul lorsque x ets égal à l'une des deux racines
Exemple
Donner le signe de 2 () 2 13 7Ax x x=−− et résoudre l’inéquation () 0Ax
≤
Le discriminant ∆ est égal à 22
13 4(2)( 7) 225 15∆= − − = =
Les racines sont 12
13 15 13 15 1
7
442
xetx
+−
== ==−
Le signe de A(x) est donné par le tableau :