3 : fonctions trinomes du second degre

Trinômes du second degré
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3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE
1. DEFINITIONS
Un trinôme du second degré est une fonction de la forme x a a x 2 + b x + c où a, b et c sont
trois réels donnés avec a ≠ 0
Résoudre l'équation a x 2 + b x + c = 0 (avec a ≠ 0) , c'est trouver tous les nombres u tels que
a u 2 + b u + c = 0 . Un tel nombre u est dit solution ou encore racine de l'équation.
2. Résolution de l'équation du second degré dans R
Posons f ( x) = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0)
2.1. Ecriture sous forme canonique
b
c

Puisque a ≠ 0 , mettons a en facteur : f ( x) = a  x 2 + x + 
a
a

Faisons apparaitre les deux premiers termes de la parenthèse comme le début d'un carré
b 2 b2
 2 b 
(
) − 2
x
+
x
=
x
+


2a
4a
a 


b
b2 c 
Donc f ( x) = a ( x + ) 2 − 2 + 
2a
4a
a

En réduisant au même dénominateur, les deux derniers termes dans le crochet

b
b 2 − 4ac 
f ( x) = a ( x + )2 −

2a
4a 2 

Cette dernière écriture est appelée forme canonique du trinôme du second degré
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2.2. Résolution de l'équation du second degré
On pose ∆ = b 2 − 4ac (lire "delta"); ∆ est le discriminant du trinôme
∆ 
b

f(x) s'écrit f ( x) = a ( x + ) 2 − 2 
2a
4a 

• Si ∆ < 0 , alors
∆
< 0 , l'expression entre crochets est strictement positive, donc l'équation
4a 2
f ( x) = 0 n'admet pas de solution dans R.(voir le chapitre « nombres complexes »)
Remarque
voir le chapitre "Nombres complexes" pour la résolution dans C
• Si ∆ = 0 , alors f ( x) = a ( x +
et une seule x = −
b 2
) et puisque a ≠ 0 , l'équation f ( x) = 0 admet une solution
2a
b
(on dit aussi que la racine est double)
2a
• Si ∆ > 0 alors on peut écrire ∆ = ( ∆ ) 2


b
b
∆ 2
( ∆ )2 
) 
= a ( x + )2 − (
et f ( x) = a  ( x + ) 2 −
2 
a
a
a
a
2
4
2
2




soit en utilisant l'identité remarquable A2 − B 2 = ( A + B)( A − B)

b
∆
b
∆
f ( x) = a  x +
+
−
  x +
 (avec a ≠ 0)
2a 2a  
2a 2a 

Le produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
Si l'on pose x1 =
−b + ∆
2a
et x2 =
−b − ∆
2a
f(x) s'écrit f ( x) = a ( x − x1 )( x − x2 )
Puisque a ≠ 0 , l'équation f ( x) = 0 admet deux solutions distinctes :
x1 =
−b + ∆
2a
et x2 =
−b − ∆
2a
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2
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3. Factorisation du trinôme du second degré
Soit le discriminant du trinôme du second degré ∆ = b 2 − 4 a c
•
Si ∆ > 0 alors on peut écrire, le frinôme du second degré admet deux racines
x1 =
−b + ∆
2a
et x2 =
−b − ∆
et alors a x 2 + b x + c = a ( x − x1 ) ( x − x2 )
2a
b 2
)
2a
•
Si ∆ = 0 , alors a x 2 + b x + c = a( x +
•
Si ∆ < 0 , le trinôme du second degré n'admet pas de racine dans R, et la factorisation
dans R n'est pas possible.
4. Somme et produit des racines
Lorsque le trinôme du second degré a x 2 + b x + c = 0 (avec a ≠ 0) admet deux racines
distinctes x1 =
−b + ∆
2a
−b − ∆
−b
(ou deux racines confondues x1 = x2 =
)
2a
2a
et x2 =
alors
•
leur somme S = x1 + x2 = −
•
et leur produit P = x1 x2 =
b
a
c
a
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 2 x 2 − 13 x − 7 = 0
Formons le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = (−13) 2 − 4(−7)(2) = 225 = 152
x1 =
−b + ∆ 13 + 15
−b − ∆ 13 − 15
1
=
= 7 et x2 =
=
=−
2a
4
2a
4
2
1

Les racines de l’équation du second degré sont  7 , − 
2

Vérification :
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b
1 13
=7− =
a
2 2
c
1
7
P = x1.x2 = = (7)(− ) = −
a
2
2
S = x1 + x2 = −
Factorisation du trinôme
1
2 x 2 − 13 x − 7 = 2( x − 7)( x + ) = ( x − 7)(2 x + 1)
2
Exemple
Résoudre l’équation du second degré 2 x 2 + x + 1 = 0
Formons le discriminant ∆ = b 2 − 4ac = (1) 2 − 4(2)(1) = −7 < 0
Le trinôme du second degré n’admet pas de racine réelle et ne peut se factoriser dans .
Exemple
Cas où une racine est connue
Résoudre l’équation du second degré x 2 − 1000 x + 999 = 0
On remarque que x1 = 1 est une racine de cette équation.
On sait que le produit x1 x2 des racines est
c
= 999
a
Puisque x1 = 1 alors x2 = 999
5. Recherche de deux réels connaissant leur somme S et
leur produit P
Deux nombres réels u et v ont pour somme S = u + v et pour produit P = u v , s'ils sont
solutions de l'équation du second degré x 2 − Sx + P = 0 .Les deux réls u et v n'existent que si
de plus S 2 − 4 P ≥ 0
Exemple
Résoudre le système
 x + y = 49
(Σ )  2
2
 x + y = 1225
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On utilise l’identité remarquable ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 + 2 x y
( x + y)2 − ( x 2 + y 2 )
(49) 2 − (1225)
soit x y =
= 558
qui donne x y =
2
2
Le système (Σ) est équivalent au système
 x + y = 49
(Σ ') 
 xy = 558
On cherche donc deux nombres connaissant leur somme S = 49 et leur produit P = 588
Ces deux nombres x et y sont solutions de l’ équation X 2 − 49 X + 588 = 0
Les racines de cette équation du second degré sont 21 et 28
Les solutions du système (Σ) sont x = 21 et y = 28 ou x = 28 et y = 21
6. Signe du trinôme du second degré
Soit f ( x) = a x 2 + b x + c = 0 (avec a ≠ 0)
• Lorsque ∆ < 0 , f(x) est toujours du signe de a.
• Lorsque ∆ = 0 , f(x) est du signe de a (sauf lorsque x = −
b
, auquel cas f ( x) = 0 )
2a
• Lorsque ∆ > 0 , f(x) est
•
du signe de a lorsque x est à l'extérieur des racines
•
du signe de − a lorsque x est à l'intérieur des racines
•
nul lorsque x ets égal à l'une des deux racines
Exemple
Donner le signe de A( x) = 2 x 2 − 13 x − 7 et résoudre l’inéquation A( x) ≤ 0
Le discriminant ∆ est égal à ∆ = 132 − 4(2)(−7) = 225 = 152
Les racines sont x1 =
13 + 15
=7
4
et
x2 =
13 − 15
1
=−
4
2
Le signe de A(x) est donné par le tableau :
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x -∞
A(x)
-1/2
+
Cours
7
−
0
0
+∞
+
 1 
L’inéquation A( x) ≤ 0 ⇔ x ∈  − , 7 
 2 
Exemple
Donner le signe de B ( x) = 2 x 2 + x + 1 et résoudre l’inéquation B( x) ≤ 0
Le discriminant ∆ est égal à ∆ = 12 − 4(2)(1) = −7 < 0
Il n’y a pas de racine réelle
Le signe de B(x) est donné par le tableau :
x -∞
+∞
B(x)
+
L’inéquation B ( x) ≤ 0 n’est jamais vérifiée
7. Fonctions trinômes du second degré et paraboles
Soit (C ) la courbe représentative de la fonction f : x a a x 2 + b x + c
r r
repère (O ; i ; j )
(a ≠ 0) dans le
b
∆ 

Reprenons la forme canonique de f(x) : y = f ( x) = a ( x + ) 2 − 2 
2a
4a 

forme canonique que l'on peut aussi écrire
y+
∆
b 

= a ( x + ) 2 
4a
2a 

(I )
∆ 
 b
En introduisant le point I de coordonnées I  − ; −  , et en introduisant le repère
 2a 4a 
r r
r r
( I ; i ; j ) déduit du repère (O ; i ; j ) par translation
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r r
On note ( x ; y ) les coordonnées d'un point quelconque M dans le repère (O ; i ; j ) et ( X ; Y )
r r
les coordonnées du même point M dans le repère ( I ; i ; j ) , les formules de changement
d'axes sont
X = x+
b
∆
et Y = y +
2a
2a
r r
La courbe (C ) est d'après (I) une parabole d'équation Y = a X 2 dans le repère ( I ; i ; j )
La parabole est tournée
•
vers le bas lorsque a > 0
•
vers le haut lorsque a < 0
a>0
∆>0
a>0
∆=0
a>0
∆<0
0
0
0
0
0
0
a<0
∆>0
a<0
∆=0
La parabole admet la droite d'équation x = −
a<0
∆<0
b
pour axe de symétrie
2a
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Lorsque a > 0 , la fonction f : x a a x 2 + b x + c admet un minimum pour x = −
b
2a
Lorsque a < 0 , la fonction f : x a a x 2 + b x + c admet un maximum pour x = −
b
2a
8. Résolution d’équations se ramenant à la résolution
d’une équation du second degré
8.1. Résolution d’une équation du troisième degré (dont on peut
trouver une racine réelle)
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 où a ∈ R∗ , b ∈ R , c ∈ R et d ∈ R
Exemple
Résoudre l’équation du troisième degré x3 − 6 x 2 + 7 x − 2 = 0
L’équation proposée admet la racine évidente x = 1
On peut donc mettre ( x − 1) et puisque l’équation proposée est du troisième degré, on cherche
les réels a, b et c tels que
x3 − 6 x 2 + 7 x − 2 = ( x − 1)(a x 2 + b x + c)
Développons x3 − 6 x 2 + 7 x − 2 = ax 3 + (b − a ) x 2 + (c − b) x − c
Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient le système






a =1
b − a = −6
c −b = 7
− c = −2
qui admet une solution unique
 a =1

 b = −5
 c=2

et donc
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x3 − 6 x 2 + 7 x − 2 = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 2)
Le trinôme du second degré x 2 − 5 x + 2 admet pour discriminant ∆ = (−5) 2 − 4(1)(2) = 17
et pour racines x1 =
5 + 17
5 − 17
et x1 =
2
2
Les solutions de l’équation proposée sont

5 + 17 5 − 17
,
 1,
2
2




8.2. Résolution d’une équation du quatrième degré
8.2.1. Equations bicarrées (pas de puissances impaires)
Une équation est bicarrée si elle est de la forme
a x 4 + b x 2 + c = 0 où a ∈ ∗ , b ∈ et c ∈
En posant X = x 2 (changement d’inconnue), la resolution d’une équation bicarrée en x,
commence par celle d’une équation du second degré d’inconnue X. Connaissant X, on peut
ensuite chercher x tel que x 2 = X
Exemple
Résoudre 4 x 4 + 11x 2 − 3 = 0
On pose X = x 2 et donc X 2 = x 4
et donc
4 x 4 + 11x 2 − 3 = 4 X 2 + 11X − 3 = 0
L’équation du second degré en X admet pour racines X 1 =
L’équation x 2 =
1
4
L’équation x 2 = −3
admet pour racines
1
et X 2 = − 3
4
1
1
et −
2
2
n ' admet pas de racine dans
1
1
Les solutions de l’équation proposée sont  , − 
2
2
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8.2.2. Equations dont les coefficients sont symétriques
S'ils admettent la racine x0 , ils admettent aussi la racine
1
puisque l'équation P(x)=0 est la
x0
1
même que P( ) = 0 . On dit qu’une telle équation est symétrique.
x
De telles équations peuvent être résolues en mettant x 2 en facteur (puisque x = 0 n’est pas
solution car a ≠ 0 ) puis en posant X = x +
1
x
Exemple
Résoudre 12 x 4 − 11x3 − 146 x 2 − 11x + 12 = 0
On met x 2 en facteur (puisque x = 0 n’est pas solution)
12 x 4 − 11x3 − 146 x 2 − 11x + 12 = x 2 (12 x 2 − 11x − 146 −
ou encore 12( x 2 +
1
1
) − 11( x + ) − 146 = 0
2
x
x
en posant X = x +
1
1
soit X 2 = x 2 + 2 + 2 :
x
x
11 12
+ )=0
x x2
En introduisant X
12( X 2 − 2) − 11( X ) − 146 = 0 ou 12 X 2 − 11X − 170 = 0
L’équation du second degré 12 x 2 − 11x − 170 = 0 admet pour racines
17
10
et −
4
3
L ' équation X +
1 17
1
=
s ' écrit 4 x 2 − 17 x + 4 = 0 et admet pour racines 4 et
X
4
4
L ' équation X +
1
10
1
=−
s ' écrit 3x 2 + 10 x + 3 = 0 et admet pour racines − 3 et −
X
3
3
 1 1
Les solutions sont donc  4, ,3, 
 4 3
et l’on obtient la factorisation suivante
12 x 4 − 11x3 − 146 x 2 − 11x + 12 = (3 x + 1)( x + 3)(4 x − 1)( x − 4)
Remarque
D’autres équations peuvent se ramener à la résolution d’équations du second degré
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