I – Langage des probabilités

C. Jourdain

Chap. 5 – Mathématiques Premières S.T.G.

Probabilités

Activité : Décrire l’aléatoire avec des ensembles.

Un dé, dodécaèdre régulier, a 12 faces identiques, numérotées de 1 à 12. Le numéro apparaissant sur la face supérieure, à la

suite d’un lancer, est une issue de ce lancer.

L’ensemble des issues possibles est l’ensemble  = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}.

Ecrire de la même manière :

1. L’ensemble A des issues paires ....................................................................................................................................................

2. L’ensemble B des issues multiples de 3 .......................................................................................................................................

3. L’ensemble C des issues paires et multiples de 3 .........................................................................................................................

4. L’ensemble D des issues paire ou multiples de 3 .........................................................................................................................

5. L’ensemble F des issues qui ne sont pas multiples de 3 ...............................................................................................................

1) Univers et évènements d’une épreuve aléatoire

► Dans une expérience aléatoire, chaque résultat est appelé une issue. L’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles,

c’est-à-dire de toutes les issues. Il est souvent noté : .

► Un événement est une partie de l’univers.

► Un évènement élémentaire est un événement possédant un seul élément.

Exemples : L’événement certain contient toutes les issues, c’est donc .

L’événement impossible ne contient aucune issue, on le note .

2) Réunion et intersection de deux évènements ; évènements contraires

► Les issues qui sont dans l’événement A et dans l’événement B constituent l’événement A  B,

intersection de A et de B, on lit : « A et B ». (C’est la partie qui est des couleurs à la fois.)

► Les issues qui sont dans l’événement A ou dans l’événement B constituent l’événement A  B,

réunion de A et de B, on lit : « A ou B ». (C’est la partie qui est d’une ou de deux couleurs.)

(En Mathématiques, le « ou » est inclusif, cela signifie : « soit l’un, soit l’autre, soit les deux »)

► Deux évènements A et B sont dits incompatibles ou disjoints lorsqu’ils n’ont aucune issue en commun : A  B = .

► Deux évènements sont contraires, s’ils sont incompatibles, et s’ils contiennent à eux deux toutes les issues de l’univers.

On note

Error!

le contraire de A, et on a : A 

Error!

=  et A 

Error!

= .

Exemple : Dans un lancé de dé a 6 faces,  = ...........................................................................................................................

« faire un nombre pair » est l’événement A = .................................................................................................................................

« faire un 6 » est l’événement élémentaire B = ...............................................................................................................................

A  B = ........................................................................... A  B = ...........................................................................

Error!



C. Jourdain

Chap. 5 – Mathématiques Premières S.T.G.

Error!

= ......................................................................................................................................................................................

Applications :

1] On lance deux fois de suite un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.

Une issue de cette épreuve est un couple, noté : (résultat du 1er lancer ; résultat du 2ème lancer).

1) A l’aide d’un tableau, déterminer le nombre d’issues possibles.

2) Ecrire sous forme d’ensemble chacun des évènements : A : « Obtenir un 6 au 1er lancer » ; B : « obtenir exactement un 6 »

A  B ; A  B.

2] Un urne contient deux boules rouges numérotées 1 et 2, et une boule verte. On tire successivement trois boules en remettant

chaque boule dans l’urne avant de tirer la suivante.

1) a. Représenter l’univers de cette expérience par un arbre.

b. Déterminer le nombre d’issues de chacun des évènements :

A : « la 1ère boule tirée est verte » ; B : « la 2ème boule tirée est rouge ».

2. Ecrire sous forme d’ensemble l’événement A  B.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

C. Jourdain

Chap. 5 – Mathématiques Premières S.T.G.

Faire les exercices : n°2 à 5, 7, 9 p 124 – n°10 à 12 p 125

II – Notion de probabilité

Activité : Des statistiques aux probabilités : Sur ordinateur, un tableur permet de stimuler des séries de lancers de la boule.

Le tableau ci-dessous donne les résultats obtenus avec 5 séries de lancers.

1. Quand le hasard devient régulier.

Quelle série vous semble être la plus fiable pour estimer la probabilité de sortir d’un chiffre ?

Quelle fraction simple peut exprimer cette probabilité ?

2. Mesurer des chances.

Un joueur distrait a misé deux jetons identiques : l’un sur Noir (cette mise sera doublée ou perdue) et l’autre sur Rouge( cette

mise sera doublée ou perdue). Quel est le plus probable des évènements suivants :

R : « il récupère exactement sa mise » ; P : « il perd » ; G : « il gagne » ?

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Soit  = {x1, x2, …, xr } l’univers d’une épreuve aléatoire, où chaque xi désigne un issue.

1) Loi de probabilité sur 

► Définir une loi de probabilité sur l’univers , c’est associer à chaque issue xi une probabilité pi, nombre réel tel que :

pour tout i, 0  pi  1, et p1 + p2 + p3 + … + pr = 1. On note aussi : pi = P(xi).

► La probabilité d’un événement A, notée P(A) est la somme des probabilités de toutes les issues de A.

Exemple : 1] Si A = {x1 ; x2 ; x6}, avec p1 = 0,2 ; p2 = p6 = 0,1, alors P(A) = ...........................................................................

2] P() = ...................................................................................................................................................................

3] P() = ...................................................................................................................................................................

2) Equiprobabilité

► L’équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité.

► Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, leur probabilité commune est :

pi =

Error!Error!

► Dans le cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, la probabilité d’un événement A est :

P (A) =

Error!

C. Jourdain

Chap. 5 – Mathématiques Premières S.T.G.

Applications :

1] Un dé cubique est pipé de façon que chacune des faces 1, 2, 3 apparaisse deus fois moins souvent que chacune des faces 4,

5, 6. Un joueur lance le dé.

1. Déterminer la probabilité de chacune des issues.

2. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre impair ?

2] Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir l’as de pique ?

2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A : « obtenir un as » ; P : «obtenir un pique » ; Q : « obtenir une figure » (une figure est un valet, une dame ou un roi)

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Faire les exercices : n° 14, 18 p 125 – n°21 à 24 p 126.

C. Jourdain

Chap. 5 – Mathématiques Premières S.T.G.

III – Propriétés

Activité : A la découverte des formules

Un transporteur doit charger 50 colis à livrer.

Sur son bordereau, il a les informations suivantes :

Il prend un colis au hasard. On considère les évènements

suivants :

L : « le colis est payable à la livraison » ;

I : « le colis est payé par internet » ;

S : « le colis est destiné à une société » ;

P : « le colis est destiné à un particulier ».

1. a) Calculer P(S) et P(P).

b) Quel lien y a-t-il entre les évènements S et P ?

c)Quelle relation peut-on établir entre leurs probabilités ?

2. a) Les évènements L et I sont-ils incompatibles ? Calculer

P(L) et P(I).

b Exprimer par une phrase l’événement L  I, puis calculer sa

probabilité.

c) Quelle relation peut-on établir entre P(L), P(I) et P(L  I) ?

3. a) Exprimer par une phrase l’événement I  S, puis calculer

sa probabilité.

b) La relation de la question 2. c) convient-elle pour P(I), P(S)

et P(I  S) ? Pourquoi ?

………………………………………………………………

1) Probabilité de la réunion de deux évènements

► Pour tous événements A et B, on a : P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B) .

Explications : ............................................................................................................................

..................................................................................................................................................

►Pour tous évènements disjoints A et B, on a : P(A  B) = P(A) + P(B).

Explications : ............................................................................................................................

..................................................................................................................................................

2) Lien entre les probabilités de deux évènements contraires

► Pour tout événement A, on a : P(

Error!

) = 1 – P(A).

Explications : ............................................................................................................................

..................................................................................................................................................

Error!

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