TH EOR EMES DE LEFSCHETZ POUR LES LIEUX DE D EG EN

THEORE MES DE LEFSCHETZ POUR LES LIEUX DE DEGENERESCENCE
O. Debarre
Soient X une variete complexe projective lisse connexe et Y le lieu des zeros d'une
section d'un bre en droites ample sur X . Le theoreme de Lefschetz enonce que la restriction
Hp (X Z) ! Hp (Y Z) est bijective pour p < dim X ; 1 , injective pour p = dim X ; 1. Cela
entra^ne le theoreme de Bertini : Y est connexe si sa dimension est au moins 1 . Dans le m^eme
ordre d'idees, Grothendieck a montre que les groupes de Picard de X et de Y sont isomorphes
(quelles que soient les singularites de Y !) si dim Y 3 .
Etant donnes des bres vectoriels E et F sur X de rangs respectifs e et f , et un
morphisme u : E ! F , on considere les lieux de degenerescence
Dr = fx 2 X j rg(ux) rg
munis de leur structure reduite. Fulton et Lazarsfeld ont demontre dans FL] l'analogue du
theoreme de Bertini : si Hom(E F) est ample, Dr est connexe si sa dimension attendue
(r) = dim(X) ; (f ; r)(e ; r) est au moins 1 . Nous poursuivons leurs methodes pour obtenir
des extensions des theoremes de Lefschetz et Grothendieck mentionnes plus haut. Il y a plusieurs
cas de gure :
si Dr;1 est vide, on peut completement decrire (cf. (1.1)) la cohomologie entiere de
Dr jusqu'en degre (r) ; 1. Si Dr est normal, et que l'on a les inegalites 0 < r < minfe f g
et (r) 3 , le groupe de Picard de Dr est isomorphe a Pic(X) Z .
Si au contraire susament des lieux Ds , pour s r , sont non vides, la restriction
p
H (X Z) ! Hp (Dr Z) est un isomorphisme pour p assez petit (cf. th. 2.2 pour un enonce
precis). Par exemple, si Dr est normal, que Dr;1 n'est pas vide ou que r = 0 , et que (r) 3,
les groupes de Picard de X et de Dr sont isomorphes (cor. 3.4).
Dans E], Ein montre ces resultats sur le groupe de Picard dans le cas ou E est
trivial, en supposant seulement (r) = 2 mais aussi F hh susamment ample ii et u general
(c'est une extension du theoreme de Noether-Lefschetz sur le groupe de Picard d'une surface
generale dans P3 ). Lopez (Lo]), puis Ellingsrud et Peskine (EP]), etudient le cas des surfaces
generales de P4 projectivement de Cohen-Macaulay (qui sont des lieux de degenerescence
avec r = e ; 1 = f ; 2 ). D'autre part, pour r = minfe f g ; 1 et Dr;1 vide, toujours sous
les hypotheses F hh susamment ample ii et u general, Spandaw determine dans sa these les
classes algebriques de H (r) (Dr Z) .
Nous nous interessons ensuite au cas d'un morphisme u : E ! E L antisymetrique.
Tu a demontre que si ^2 E L est ample, le lieu de degenerescence
Ar = fx 2 X j rg(ux) 2rg
1
est connexe si sa dimension attendue (r) = dim(X) ; e;22r est au moins 1 . Nous obtenons
des extensions des theoremes de Grothendieck et Lefschetz dans ce cadre : la restriction
Pic(X) ! Pic(Ar ) est bijective si Ar est normale et (r) 3 , et
si Ar;1 est vide, on peut decrire (th. 4.1) la cohomologie entiere de Ar jusqu'en degre
(r) ; 1 si au contraire susament des lieux As , pour s r , sont non vides (cf. th. 5.1 pour
un enonce precis), la restriction Hp(X Z) ! Hp(Ar Z) est un isomorphisme pour p assez petit.
Nous terminons par l'etude du cas des bres orthogonaux (dont le cas des morphismes
antisymetriques est un cas particulier) : on se donne un bre vectoriel V de rang pair sur
X muni d'une forme quadratique non degeneree a valeurs dans un bre en droites L et des
sous-bres E et F totalement isotropes maximaux de V . On montre un theoreme de Bertini
pour les lieux de degenerescence
;
Or = fx 2 X j dim(Ex \ Fx) r et dim(Ex \ Fx) r (mod 2)g si E F L est ample, Or est connexe si sa dimension attendue dim(X) ; 2r est au
moins 1 . Cela entra^ne en particulier que les lieux de Brill-Noether d'une variete de Prym
P (denis dans W]) sont connexes des que leur dimension attendue est strictement positive,
et irreductibles lorsque P est generale.
Il est probable que les resultats de type Lefschetz obtenus dans le cas antisymetrique
subsistent dans ce cas, mais je ne sais pas le demontrer (cf. (6.3)).
Dans cet article, tous les schemas sont de type ni sur le corps des nombres complexes.
On designe par F un corps ni ou egal a Q .
Je remercie R. Laterveer et W. Fulton de leurs conseils, ainsi que P. Pragacz pour sa
lecture attentive d'une premiere version de cet article et ses remarques pertinentes.
; I. Lieux de degenerescence
1. Le resultat de Fulton et Lazarsfeld
Soient X une variete complexe projective irreductible et E et F des bres vectoriels sur
X de rangs respectifs e et f . Soit u : E ! F un morphisme on considere
Dr = fx 2 X j rg(ux) rgred
on note r l'inclusion Dr ,! X et on pose (r) = dim(X) ; (f ; r)(e ; r) . Par la suite, nous
supposerons toujours e f (ce que l'on peut toujours faire quitte a remplacer u par son dual).
(1.1) Soient : G = G(e ; r E) ! X le bre en grassmanniennes et S le bre tautologique
de rang e ; r sur G . Soit Y le lieu des zeros de la composee
2
u F :
S ,! E ;!
Le morphisme induit par restriction un morphisme 0 : Y ! Dr propre surjectif, birationnel au-dessus de Dr Dr;1 , de bre G(e ; r e ; l) au-dessus de Dl Dl;1 .
Fulton et Lazarsfeld montrent que si Hom(E F) est ample, Hq (G Y F) s'annule pour
q dim(X) + (f + r)(e ; r) . Par dualite de Lefschetz, on en deduit, si X est lisse, Hp(G Y F) = 0
pour p (r) .
La dualite de Lefschetz n'est valable que lorsque G Y est lisse. Elle est remplacee dans
le cas general par une suite spectrale
p
Epq
2 = H (G Y H;q (G F)) ) H;p;q (G Y F)
ou Hq (G F) est le faisceau de bre Hq (G G fxg F) en un point x de G (H1], p. 548).
Lorsque G Y est localement intersection complete, le support de Hdim(G)+i(G F) est de
dimension au plus i , pour tout i 2 Z (H1], lemma 4, p. 550). Or la demonstration de Fulton
et Lazarsfeld montre que pour tout ferme Z de X , la dimension cohomologique de ;1 (Z) Y
est au plus dim(;1 (Z)) + f (e ; r) ; 1 . On en deduit 1
Epq
2 =0
pour p > ;q ; dim(G) + f (e ; r) ; 1
d'ou de nouveau
(1.2)
pour p dim(G) ; f (e ; r) = (r)
Hp (G Y F) = 0
sous l'hypothese que X D0 est localement intersection complete 2 .
(1.3) Supposons Dr;1 vide et notons c l'inverse dans H (Dr Z) de la classe de Chern totale
du bre vectoriel Ker(ujDr ) . La discussion ci-dessus entra^ne que la cohomologie de Dr est,
en degre < p , celle du bre en grassmanniennes G . Comme cette derniere est calculee par
exemple dans F1], prop. 14.6.5, on en deduit que l'application
M
Hp;2jj(X F)
=( 1 ::: e;r )
r 1 eP
;r 0
;!
7;!
Hp(Dr F)
P
(c) r Hq ne sont localement constants que sur chaque strate d'une stratication de Whitney
de G , et il faut en fait raisonner strate par strate comme dans H2], Lemma 3, p. 134.
2 On a une autre suite spectrale
1 Les faisceaux
p
Epq
2 = H (G Y H;q (G F)) ) H;p;q (G Y F)
qui permet de montrer que l'on a une inclusion H1 (G Y Q) ! H2 dim(G);1 (G Y Q) sous la seule
hypothese que G est normale (FL], lemma 1.3). Il en resulte que Dr est connexe des que ( ) 0 ,
sans hypothese sur les singularites de X .
,
r
3
>
est injective pour p (r) , bijective pour p < (r) . On a employe les notations standard
jj = 1 + + e;r
(c) = det(ci+j;i )1ije;r :
Exemple 1.4. Soient C une courbe projective lisse de genre g et Jd la jacobienne des classes
d'isomorphisme de bres en droites de degre d sur C . Il est montre dans FL] que la sousvariete Wds de Jd qui parametre les classes d'isomorphisme de bres en droites L sur C tels
que h0(C L) > s peut s'interpreter comme le lieu Dr pour un morphisme u : E ! F de bres
vectoriels sur Jd , avec r = e ; s ; 1 et f = e + g ; 1 ; d , et que Hom(E F) est ample. La
variete Y correspondante est habituellement notee Gsd (ACGH], IV, x 3) elle parametre les
paires ( L]) , ou L est un bre en droites de degre d sur C et un sous-espace vectoriel
de H0 (C L) de dimension s + 1 . Par exemple, G0d n'est autre que le produit symetrique Cd ,
et on deduit de (1.3) un isomorphisme
Hp(Cd Z) '
Cd;1]j Hp;2j (JC Z)
M
02j p
pour p < d . C'est un cas particulier de M], (6.3). On peut calculer de la m^eme facon les groupes
Hp (Gsd Z) pour p < g ; (s + 1)(g ; d + s) .
Nous aurons besoin d'une generalisation (basee sur les idees de S]) du resultat de
connexite de Fulton et Lazarsfeld, qui fait intervenir la notion de d -connexite. Rappelons qu'un
schema X est dit d-connexe s'il est de dimension > d et si, pour tout sous-schema ferme Z de
X de dimension < d , le schema X Z est connexe. Les proprietes suivantes sont classiques :
1) un schema est (;1)-connexe si et seulement s'il est non vide il est 0-connexe si et
seulement s'il est connexe.
2) Un schema irreductible de dimension d est (d ; 1)-connexe. Toute composante
irreductible d'un schema d-connexe est de dimension > d .
3) Si X est reunion de sous-schemas fermes d-connexes X1 : : : Xm , il est d-connexe si
et seulement si, pour tous i et j , il existe des indices i0 i1 : : : im avec i0 = i et im = j tels
que dim(Xi \ Xi+1 ) d pour tout = 0 : : : m ; 1 .
Proposition 1.5.{ Soient X un schema projectif d-connexe, E et F des bres vectoriels sur
X de rangs respectifs e et f , avec Hom(E F) ample, et u : E ! F un morphisme partout de
rang k .
Pour tout r k , le lieu Dr est (d ; (f ; r)(e ; r) + (e ; k)(f ; k))-connexe. En particulier, si X est irreductible de dimension > (f ; r)(e ; r) ; (e ; k)(f ; k) , le lieu Dr est
connexe.
Demonstration. Il sut de traiter le cas k = r + 1 posons
d0 = d ; (f ; r)(e ; r) + (e ; k)(f ; k) = d ; e ; f + 2r + 1 :
4
Notons X1 : : : Xm les composantes irreductibles de X elles sont toutes de dimension
> d par 2). Par S], Lemma 4.1.3 (qui se demontre aussi a partir de ACGH], prop. (1.3), p. 307,
en prenant des sections hyperplanes), chaque intersection Xj \ Dr est d0 -connexe. Pour tous i
et j , il existe par 3) des indices i0 = i i1 : : : im = j tels que dim(Xi \ Xi+1 ) d pour tout
= 0 : : : m ; 1. On a par loc.cit.
dim(Xi \ Xi+1 \ Dr ) d0
pour tout , de sorte que Dr = j (Xj \ Dr ) est d0 -connexe par 3).
2. Un theoreme de Lefschetz
(2.1) Restons dans la situation du x 1, dont nous gardons les notations. Comme remarque
dans FL], l'application Hp(r F) est injective pour p (r) . On posera "(0) = 1 , "(1) = 2
et, pour tout entier k strictement positif, "(2k) = 0 et "(2k + 1) = 1 .
Theoreme 2.2.{ Soit X une variete projective irreductible localement intersection complete.
Soient E et F des bres vectoriels sur X , avec Hom(E F) ample, et u : E ! F un morphisme.
Supposons m2 ] r et (r ; m2 ]) "(m) l'application Hp (r Z) est bijective pour p m .
Demonstration. Elle consiste a comparer les suites spectrales de Leray pour l'application
: G ! X et sa restriction 0 : Y ! Dr . Les bres de ces deux applications etant des grass pq
manniennes, les faisceaux Rq Z et Rq 0 Z sont nuls pour q impair, de sorte que Epq
2 = E3
0
0
pq
et Epq
2 = E3 . D'autre part, par le theoreme de Leray-Hirsch, la suite spectrale
Epq = Hp (X Rq Z)
2
)
Hp+q (G Z)
degenere en E2 et les applications Hq (G(e ; r Pe) Z) ! H0 (X Rq Z) sont surjectives, de
sorte que les faisceaux Rq Z sont constants. Soit x un point de X , on a
(R2q Z)x ' H2q (G(e ; r e) Z) '
et, si x 2 Dl Dl;1 ,
(R2q 0 Z)x ' H2q (G(e ; r e ; l) Z) '
M
r 1 e;r 0
1 ++ e;r =q
Z
M
r;l 1 e;r 0
1 ++ e;r =q
Z:
En particulier, la restriction R2q Z ! R2q 0 Z est surjective pour tout q . Son noyau
K2q est nul sur Dr;q et, comme R2q Z , il est constant 3 sur chaque Dl Dl;1 . Plus
precisement, il existe une ltration
0 = F0 F1 Fq Fq+1 = K2q
3 Alternativement, on peut faire tout le raisonnement avec des faisceaux localement constants a la
place de Z , puisque le resultat de Fulton et Lazarsfeld que l'on utilise plus bas est aussi valable
avec ces faisceaux.
5
veriant Fi+1=Fi ' ZrXi Dr;q+i pour 0 i q , ou les ri sont des entiers.
L'assertion a demontrer decoule de (1.2) pour m = 0 supposons-la vraie pour tout entier
< m . On peut supposer aussi r < e on verie que dans ce cas, on a pour tous entiers t s 0
les inegalites
(t) (t ; s) + s(s + 2)
(2.4)
"(t) + 2t ]( 2t ] + 2) > t :
Premier pas. Supposons 0 p < m et q + p2 ] r . On a
(2.3)
H0 (K2q ) = 0
Hp+1(K2q ) = 0
si (r ; q) 0 si (r ; q ; p2 ]) "(p) :
Considerons la suite de cohomologie associee a la suite exacte
0 ! ZX
Dr;q+i
! ZX ! ZDr q+i ! 0 :
;
Le theoreme de Fulton et Lazarsfeld (cf. (1.2)) entra^ne que H0 (ZX Dr;q+i ) est nul
lorsque (r ; q + i) 0 . Comme la fonction est croissante, on en deduit H0 (K2q ) = 0 lorsque
(r ; q) 0 .
D'autre part, on a par (2.1) des suites exactes
0 ! Hp (ZX ) ! Hp(ZDr;q+i ) ! Hp+1(ZX
Dr;q+i )
!0
lorsque p < (r ; q + i) l'hypothese de recurrence entra^ne alors Hp+1(ZX Dr;q+i ) = 0 si l'on
a de plus (r ; q + i ; 2p ]) "(p) et p < m . Comme la fonction est croissante, on a donc
Hp+1(K2q ) = 0 lorsque (r ; q ; p2 ]) "(p) et p < m , puisque l'on a alors, par (2.3) et (2.4),
(r ; q) (t ; q ; 2p ]) + 2p ]( p2 ] + 2) "(p) + 2p ]( 2p ] + 2) > p :
Ceci montre le premier pas.
Deuxieme pas.
Supposons m2 ] r et (r ; m2 ]) "(m) . L'application naturelle
0
Epq est injective pour p < m et p + q m . D'autre part,
pq
: Epq
!
1
1
1
0Em0 ' 0Em0 ' Hm (Dr Z) .
1
2
Supposons p + 2q m . L'hypothese (r ; m2 ]) "(m) entra^ne
(r ; q) (r ; m2 ]) "(m) 0
et, si p + 2q < m ,
(r ; q ; 2p ]) "(p) 6
en eet, si q + 2p ] < m2 ] , cela decoule de (2.3), et si q + 2p ] = m2 ] , on a "(p) "(m) . On
considere le diagramme commutatif :
Hp(K2q )
?
y
Hp (X R2q Z)
dp2q
3
;!
Hp+3(X R2q;2 Z)
Hp(Dr R2q 0 Z)
0dp2q
3
Hp+3(Dr R2q;2 0 Z)
?
2q
y p
3
?
y
?
y p3+32q;2
;!
Hp+1(K2q ) il resulte du premier pas que l'application p3 2q est injective, et bijective si p + 2q < m .
Supposons maintenant p + q m comme dpq
= 0 , on a 0dpq
3
3 = 0 pour p + q < m .
0
0
pq
pq
En particulier, E4 est un sous-groupe de E3 qui lui est egal pour p = m et, le m^eme
raisonnement s'appliquant a chaque cran de la suite spectrale, 0Epq
1 est un sous-groupe de
0Epq qui lui est egal pour p = m , de sorte que pq est injective.
1
3
Conclusion. Supposons p + q m et (r ; m2 ]) "(m) on en deduit (r) > m par (2.3) et
(2.4), de sorte que la restriction : Hp+q (G Z) ! Hp+q (Y Z) est bijective par (1.2). Comme
m0
pq
1 est injective (deuxieme pas), il en resulte que Gr est bijective, ainsi donc que 1 , qui,
par le deuxieme pas, n'est autre que Hm (r Z) .
Remarque 2.5. On a R20 Z ' ZDr;1 , d'ou un diagramme commutatif a lignes exactes, ou
tous les groupes de cohomologie sont a coecients dans Z :
H2 ( )
0
!
0
2 ( )
! H2(Dr ) H;!
H2 (X)
?
y H2 (r )
;!
0
H2 (G)
!
;!0
H3(X)
H3 ()
;!
H3 (G)
!
H2(Y)
d02
3
! H0 (Dr;1 ) ;!
H3 (Dr )
H3 (0 )
H3 (Y)
! H1(Dr;1 )
?
y
H0 (X)
?
y H0 (r;1 )
0
?
y H3 (r )
;!
?
y
H1(X)
?
y H1 (r;1)
Supposons 0 < r < e et (r) 3 . Si Dr;1 n'est pas vide, on en deduit le diagramme
0
?
y
0
;!
;! Zc;1 ;!
H3(G)
;!
H1 (X)
0 H3 (Y)
H3 (Dr ) ;!
;!
H1 (Dr;1 )
H3(X)
;!
?
y H3 (r )
7
?
y
?
y H1 (r;1)
ou c est le nombre de composantes connexes de Dr;1 . En particulier, le conoyau de l'injection
H3 (r Z) contient Zc;1 : il peut ^etre arbitrairement grand et ne peut ^etre contr^ole seulement
par une condition sur (r) .
Exemple 2.6. On garde les notations de l'exemple 1.4. et on suppose
g ; (s + 1 + m2 ])(g ; d + m2 ]) "(m) . Le theoreme entra^ne que la restriction
Hp (Jd Z) ! Hp(Wds Z) est bijective pour tout p m . Soit : Cd ! Jd l'application d'AbelJacobi. La variete Csd = ;1(Wds ) parametre les diviseurs eectifs D sur C tels que
h0(C OC (D)) > s (ACGH], IV, x 1). Avec les notations de x 1, on a un diagrame commutatif
e
PE
;!
?
y
;!
Jd
P?S
y
G = G(s + 1 E)
qui induit par restriction le diagrame commutatif
;1(Gsd )
e
;!
Csd
Y = Gsd
;!
Wds
0
?
y
0
?
y
La bre de e0 en un point D est la grassmannienne G(s H0 (C OC (D))=C sD ).
Le raisonnement de la demonstration du th. 2.2 s'applique aux morphismes e et e0 :
si g ; (s + 1 + m2 ])(g ; d + m2 ]) "(m) , la restriction Hp(PE Z) ! Hp(Csd Z) est bijective
pour p m comme la restriction Hp(PE Z) ! Hp (Cd Z) est bijective pour p < d (ex. 1.4),
on en deduit que la restriction Hp (Cd Z) ! Hp (Csd Z) est bijective pour p m .
3. Groupes de Picard et cohomologie du faisceau structural
Pour obtenir des informations sur la cohomologie de ODr connaissant celle du faisceau
CDr , il est utile d'avoir des informations sur les applications naturelles
pDr : Hp (Dr CDr ) ! Hp(Dr
ODr ) :
La theorie de Hodge entra^ne qu'elles sont surjectives si Dr est lisse, ce qui n'est
malheureusement que rarement le cas. Par les travaux de du Bois, Kollar et Steenbrink (K],
cor. 12.9), cela reste vrai si Dr n'a que des singularites rationnelles, ce qui n'est le cas que dans
la situation generique (les singularites determinantielles sont rationnelles). Nous demontrons
un resultat similaire avec des hypotheses plus faibles nous dirons qu'un schema X verie la
propriete (Pp) s'il est regulier en codimension p et de profondeur > p en ses points fermes de
codimension > p . Un schema normal verie (P1) .
8
Proposition 3.1.{ Soit X une variete projective veriant la propriete (Pp ) . L'application pX
est surjective et
OX ) ' Gr0F GrWp Hp(X C) :
Demonstration. Si X est de dimension p , il est regulier et la proposition est claire. Supposons
Hp(X
donc X de dimension > p . Soit L un faisceau inversible ample sur X . Comme X est de
profondeur > p en ses points fermes, il existe par G2], Exp. XII, cor. 1.4, un entier m0 tel
que Hi (X L;m ) = 0 pour i p et m m0 . Le sous-schema Y de X deni par l'annulation
de p sections generales de Lm0 est regulier et, si est l'inclusion de Y dans X , la restriction
Hp ( O) est injective.
Considerons les complexes !0X et !0Y construits par du Bois dans dB]. On a un
diagramme commutatif
p
Hp(X C)
X
;!
Hp (Y C)
Y
;!
?
y
p
p
X
O
X ) ;!
?
Hp (X
y Hp (O)
Hp (Y
Hp(X !0X )
?
y
p
Y
OY ) ;!
Hp(Y !0Y )
ou Yp est bijective car Y est lisse, et Hp ( O) est injective comme on vient de le voir, de sorte
que Xp est injective. Mais Xp pX est surjective car X est propre, donc Xp est surjective,
donc bijective, et pX est surjective.
Soit : Xe ! X une desingularisation de X . Comme se factorise a travers , on a un
diagramme commutatif
Hp(X
C)
?
pX y
Hp (C)
;;;;!
e C)
Hp (X
?
p
y
e
X
Hp(Xe
Hp (O)
Hp ( O) : Hp(X OX ) ;;;;!
OXe) ;! Hp(Y OY )
qui entra^ne que Hp( O) est injective. Le noyau de Hp( C) est Wp;1Hp(X C) (De], prop.
8.2.5) on en deduit pX (Wp;1Hp (X C)) = 0 et un diagramme
p
GrW
,! Hp (Xe C)
p H (X C)
?
pX y
Hp (X
Le noyau de "pX est donc
?
Hp (O)
OX ) ;;;;!
p y
e
X
Hp (Xe
OXe) :
p
W p
p
1 p e C) :
GrW
p H (X C) \ Ker Xe = Grp H (X C) \ F H (X
Comme les morphismes de structures de Hodge sont stricts, le membre de droite est
C) , ce qui prouve la proposition.
p
F1 GrW Hp (X
9
Corollaire 3.2.{ Soient X et Y des varietes projectives et f : Y ! X un morphisme. On
suppose que X verie la propriete (Pp ) .
a) Si Hp(f C) est injective, il en est de m^eme de Hp(f O) .
b) Si Y verie la propriete (Pp) et que Hp(f C) est bijective, il en est de m^eme de
Hp (f O) .
Demonstration. Soit : Ye ! Y une desingularisation de Y . La composee
W p
p
p e C)
GrW
p H (X C) ;! Grp H (Y C) ;! H (Y
est injective car le morphisme de droite l'est par De], prop. 8.2.5.2 et le morphisme de gauche
par hypothese, puisque les morphismes de structures de Hodge mixtes sont stricts. On en deduit
que l'application induite
0 p e C)
p
Gr0F GrW
p H (X C) ;! GrF H (Y
qui par la proposition s'identie a Hp( f O) , est aussi injective, d'ou a). Le b) resulte du
fait que les morphismes de structures de Hodge mixtes sont stricts.
On veut maintenant montrer un resultat analogue pour les groupes de Picard. Si X
est une variete projective, on note Pic(X) son groupe de Picard, Pic0(X) la composante
connexe de l'element neutre, et NS(X) le quotient Pic(X)= Pic0 (X) c'est un sous-groupe de
H2 (X Z) , il est abelien de type ni. Si X est normale, Pic0 (X) est une variete abelienne (G1],
cor. 3.2) dont l'espace tangent a l'origine est H1 (X OX ) et le groupe Pic(X) est isomorphe a
Pic0(X) NS(X) .
Proposition 3.3.{ Soient X et Y des varietes projectives irreductibles, avec X normale, et
f : Y ! X un morphisme.
a) Si H1(f Z=`Z) est injective pour tout entier ` premier, Pic0 (f ) est injective.
b) Si H1 (f Z) est bijective et que H2 (f Z=`Z) est injective pour tout entier ` premier,
Pic(f ) est injective et son conoyau est sans torsion si de plus Y est normale, Pic0(f ) est
bijective.
c) Si X verie (P2) , que Y est normale et que H1 (f Z) et H2(f Z) sont bijectives,
Pic(f ) est bijective.
Demonstration. Pour tout entier premier ` , on a un diagramme commutatif issu des suites
()`
exactes 0 ! ` ! G m ;!
G m ! 0 pour X et Y :
H0 (X? OX )
!
H1(X?Z=`Z)
!
` Pic(X)
Pic(X)
;!
?
?
!
H2 (X?Z=`Z)
H0 (Y OY )
!
H1 (Y Z=`Z)
!
` Pic(Y)
Pic(Y) ;!
!
H2(Y Z=`Z)
yH0 (fO )
yH1 (fZ=`Z)
yPic(f )
10
yPic(f )
yH2 (fZ=`Z)
Les hypotheses de a) entra^nent que la multiplication par ` est injective sur le noyau de
Pic(f ) , donc sur celui de Pic0 (f ) , qui est ainsi sans torsion. Comme c'est un sous-groupe d'une
variete abelienne, il est nul, d'ou a).
Sous les hypotheses de b), NS(f ) est injective, donc aussi Pic(f ) par a). Le diagramme
ci-dessus montre que la multiplication par ` est injective sur le conoyau de Pic(f ) , qui est
donc sans torsion. Si Y est normale, le cor. 3.2 montre que l'application tangente a Pic0 (f )
est bijective, d'ou b).
Sous les hypotheses de c), le cor. 3.2 entra^ne que H1 (f O) est bijective et H2 (f O) injective. Une chasse au diagramme issu des suites exactes exponentielles 0 ! Z ! O ! O ! 0
pour X et Y permet de conclure.
Placons-nous dans la situation du x 1, en supposant pour simplier X lisse. Le cor. 3.2
et (2.1) entra^nent que Hp(r O) est injective pour p (r) . Si Dr est normal et (r) 2,
l'application H1 (r O) est bijective par le th. 2.2 et le cor. 3.2. Plus generalement, si
(r ; p=2]) "(p) et que Dr est non singulier en codimension p et a la dimension attendue
(donc qu'il est de Cohen-Macaulay), Hp (r O) est bijective. C'est aussi le cas pour p < (r)
lorsque Dr est lisse et Dr;1 vide par (1.3).
Il est tentant de conjecturer (comme dans Ma], p. 415) que Hp(r O) est bijective
pour p < (r) . Laytimi a obtenu dans L] des resultats dans ce sens en utilisant des theoremes
d'annulation sous l'hypothese que Dr a la dimension attendue, ils entra^nent la conjecture
lorsque X est une variete torique ou abelienne, ou lorsque r = minfe f g ; 1 , ou lorsque
e = f = r + 2 (cf. aussi Ma], ou, sous des hypotheses plus restrictives sur E et F , la conjecture
est montree avec les m^emes methodes).
Corollaire 3.4.{ On se place dans la situation du x 1, avec X localement intersection complete
normale.
a) Si (r) 1 , l'application Pic0(r ) est injective.
b) Si (r) 2 , l'application Pic(r ) est injective et son conoyau est sans torsion si de
plus Dr est normale, Pic0(r ) est bijective.
c) Si Dr est normale, X non singuliere en codimension 2 , et (r) 3 ,
si Dr;1 est vide et 0 < r < e , on a Pic(Dr ) ' Pic(X) Zdet(Ker(ujDr ))] si Dr;1 n'est pas vide ou si r = 0 , l'application Pic(r ) est bijective.
Demonstration. Les points a) et b), ainsi que le deuxieme cas du point c), decoulent de la
proposition, du th. 2.2 et de la rem. 2.5. Pour le premier cas du point c), on applique le
raisonnement de la demonstration de la proposition au diagramme commutatif a lignes exactes
2
2
!
H1 (X? OX ) ! Pic(X)
? Z ! H (X ?Z) Z ! H (X? OX )
y H1 (r Z)
y H1 (r O)
y
y
y H2 (r O)
1
1
2
2
H (Dr Z) ! H (Dr ODr ) ! Pic(Dr ) ! H (Dr Z) ! H (Dr ODr )
H1(X
? Z)
11
Ceci demontre le corollaire.
Ce resultat est bien s^ur a rapprocher du theoreme de Lefschetz de Grothendieck (G2],
Exp. XII, cor. 3.6) qui demontre le point c) dans le cas e = f = 1 et r = 0 , en toute
caracteristique (moyennant une hypothese d'annulation de certains groupes de cohomologie qui
decoule du theoreme de Kodaira en caracteristique 0 et pour X lisse) et sans hypothese sur les
singularites de D0 . La methode de Grothendieck semble dicile a generaliser, m^eme dans le cas
E trivial (et F ample) on aurait en eet besoin de l'annulation des groupes de cohomologie
Hi (X Sk F ) pour i = 1 2 et k > 0 , alors que seuls les groupes Hi (X Sk F det(F )) sont
nuls en general.
Exemple 3.5. Soient C une courbe projective lisse de genre g et d un entier veriant
3 d g ; 1 . La variete Wd0 denie dans l'exemple 1.4 est normale, de la dimension attendue
d . Si C n'a pas de gd1 , on a Pic(Wd0 ) ' Pic(Jd) ZWd0;1] .
Supposons a partir de maintenant que C a un gd1 . La restriction Pic(Jd ) ! Pic(Wd0 ) est
bijective par le cor. 3.4.
Si C n'est pas hyperelliptique, cela entra^ne que pour tout point x de C , le diviseur de Weil Wd0;1 + x de Wd0 n'est pas Q -Cartier : en eet, si : Cd ! Wd0 est
l'application d'Abel-Jacobi, il decoule de M] (ou de l'exemple 1.4) qu'aucun multiple non
nul de ;1(Wd0;1 + x) = Cd;1 + x n'est dans Pic(Jd) . Comme le complementaire de
;1 ((Wd0 )lisse ) dans Cd est de codimension au moins 2 , le groupe de Picard de (Wd0 )lisse
est isomorphe a celui de Cd , de sorte que la restriction Pic(Wd0 ) ! Pic((Wd0 )lisse ) est injective
de conoyau isomorphe a Z .
En revanche, si C est hyperelliptique d'involution associee , que # est un diviseur
th^eta convenable sur Jd , et que x est un point de C tel que (x) 6= x , on a
;
(# + x ; (x)) Wd0 = (g ; d + 1) Wd0;1 + x :
En particulier, Wd0;1 + x n'est pas un diviseur de Cartier dans Wd0 (puisque la
classe de # n'est pas divisible dans Pic(Jd) ), mais est Q -Cartier. Comme le complementaire de ;1((Wd0 )lisse ) dans Cd est un diviseur irreductible, le noyau de la restriction
Pic(Cd ) ! Pic(;1 ((Wd0 )lisse)) est engendre par la classe de ce diviseur, et la restriction
Pic(Wd0 ) ! Pic((Wd0 )lisse) est injective de conoyau isomorphe a Z=(g ; d + 1)Z .
II. Lieux de degenerescence antisymetriques
4. Le resultat de Tu
Soit X une variete complexe projective irreductible. Soient L un bre en droites et E
un bre vectoriel de rang e sur X muni d'une forme antisymetrique u : E E ! L , c'est-adire d'une section de ^2 E L , ou encore d'un morphisme antisymetrique v : E ! E L . On
12
considere
Ar = fx 2 X j rg(ux) 2rgred
et on pose (r) = dim(X) ; 2 . La forme antisymetrique ux est de rang 2r si et
seulement s'il existe un sous-espace isotrope de Ex de dimension e ; r . On introduit donc
de nouveau le bre en grassmanniennes : G = G(e ; r E) ! X et le lieu des zeros Y de la
u ^2 E L ;!
rest: 2 composee OG ;!
^ S L . Le morphisme induit par restriction un
morphisme 0 : Y ! Ar propre surjectif. En appliquant la methode de FL] a une construction
de Pragacz (P1]), Tu demontre dans T], p. 391 (il fait l'hypothese que L est trivial, mais sa
demonstration; marche
en general) que si ^2E L est ample, Hq (G Y F) s'annule pour
q dim(X) + 2e + r . On en deduit, comme dans le x 1, si X est localement intersection
complete, Hp(G Y F) = 0 pour p (r) . Notons r l'injection de Ar dans X et celle de
Y dans G . Dans le diagramme commutatif (ou les groupes de cohomologie sont a coecients
dans F )
Hp ()
p
H ?(X) ;;;! Hp(G)
?
;e;2r ?
Hp (r ) y
? p
y H ()
Hp (0 )
Hp (Ar ) ;;;! Hp(Y)
Hp() est injective pour p (r) , le resultat de Tu montre que Hp () l'est aussi, et il en
donc de m^eme de Hp (r ) .
On suppose Ar;1 vide. On note c l'inverse dans H (Ar Z) de la classe de Chern totale
du bre vectoriel Ker(vjAr ) (on montrera dans la prop. 6.4 que c1 c3 c5 : : : sont dans le
sous-anneau r H (X Z)c2 c4 : : :] de H (Ar Z) ). Puisque Ker(vjAr ) est de rang e ; 2r , on
a (c) = 0 si e;2r+1 6= 0. Enn, si et sont des partitions, on notera la partition
obtenue en rearrangeant les parts de et de en ordre decroissant.
Theoreme 4.1.{ Soit X une variete projective irreductible localement intersection complete.
Soient E un bre vectoriel et L un bre en droites sur X , avec ^2E L ample, et
E ! E L un morphisme antisymetrique. Supposons Ar;1 = ? l'application
M
Hp;4jj(X F)
=( 2 ::: )
r 1 1 2 P0
;!
7;!
Hp (Ar F)
P
est injective pour p (r) , bijective pour p < (r) .
Demonstration. On a
0 (
X
(c) r ) = X
(c) r (c) l'application 7! (c) , a valeurs dans H (G F) , est injective, est
injective pour p (r) , donc aussi l'application du theoreme. On conclut avec le lemme suivant,
ou les groupes de cohomologie sont a valeurs dans F .
P
P
13
Lemme 4.2.{ On a pour p < (r)
X
r1 2 0
hp;4jj(X) = hp(Ar ) :
Demonstration. Puisque Ar;1 est vide, 0 : Y ! Ar est le bre en grassmanniennes isotropes
G0 (r r E= Ker(vjAr )) . Notons
P (q) = f = (1 2 : : :) j r 1 2 0 jj = qg
et
S (q) = f = (1 : : :
On a l'egalite (cf. (9.1))
s ) j r 1 > > s > 0 jj = q s 0g :
hp(Y) =
X
q0
hp;2q (Ar ) Card(S (q)) :
Procedant par recurrence sur p , on obtient
hp(Ar ) = hp(Y) ;
= hp(Y) ;
X
q>0
hp;2q (Ar ) Card(S (q))
X
q>0 q0 0
hp;2q;4q0 (X) Card(S (q)) Card(P (q0 )) :
On construit une bijection entre q+2q0 =q00 S (q) P (q0 ) et P (q00 ) en associant a un
couple ( ) la partition , la bijection reciproque envoyant une partition de P (q00 ) qui
s'ecrit (1 )a1 (t)at , avec r 1 > > t > 0 , sur la partition stricte composee des i
pour lesquels ai est impair et la partition (1 )a1 =2] (t )at =2] . On en deduit
;
S
hp(Ar ) = hp(Y) ;
= hp(Y) ;
X
hp;2q00 (X) Card(P (q00 )) +
X
hp;4q0 (X) Card(P (q0 ))
q00 0
q0 0
X
hp(G) + hp;4q0 (X) Card( (q0 ))
q0 0
P
ce qui, avec le resultat de Tu selon lequel hp(G) = hp(Y) , prouve le lemme.
5. Un theoreme de Lefschetz
On a de nouveau un theoreme analogue au th. 2.2. Soit m un entier on denit "0 (m)
comme le reste de la division de m par 4 si m 4 , et comme m + 1 si 0 m < 4 . Rappelons
que r designe l'injection de Ar dans X .
14
Theoreme 5.1.{ Soit X une variete projective irreductible localement intersection complete.
Soient E un bre vectoriel et L un bre en droites sur X , avec ^2E L ample, et
E ! E L un morphisme antisymetrique. Supposons m4 ] r et (r ; m4 ]) "0 (m) l'application Hp(r Z) est bijective pour p m .
Demonstration. Elle suit celle du th. 2.2 : on compare de nouveau les suites spectrales pour
: G ! X et sa restriction 0 : Y ! Ar . La bre de 0 au-dessus d'un point de Al Al;1 est
la Grassmannienne LG des sous-espaces isotropes de dimension e ; r d'un espace vectoriel de
dimension e muni d'une forme antisymetrique de rang 2l , dont la cohomologie est etudiee dans
le x 8. Elle est en particulier nulle en degre impair. Les faisceaux Rq Z et Rq 0 Z sont donc
nuls pour q impair. De plus, il decoule de la prop. 8.2 que la restriction R2q Z ! R2q 0 Z est
surjective et que son noyau K2q est nul sur Ar; 2q ] . La demonstration procede par recurrence
sur m on peut supposer e 2r + 2 , auquel cas on a les inegalites
(5.2)
(t) (t ; s) + s(2s + 3)
(5.3)
"0 (t) + 4t ](2 4t ] + 3) > t :
Les etapes de la demonstration sont les m^emes que celles du th. 2.2.
Premier pas. Supposons 0 p < m et 2q ] ; 4p ] r . On a
H0 (K2q ) = 0
Hp+1(K2q ) = 0
si (r ; q ]) 0 2
si (r ; q2 ] ; p4 ]) "0 (p) :
On procede comme dans la demonstration du th. 2.2. La seule chose a verier est que
(r ; 2q ] ; 4p ]) "0 (p) entra^ne (r ; 2q ]) > p , mais cela decoule de (5.2) et (5.3).
Deuxieme pas.
Supposons m4 ] r et (r ; m4 ]) "0 (m) . L'application naturelle
0
pq
: Epq
1
1 0 ! Epq
1 est injective lorsque p < m et p + q m . D'autre part,
0
Em0 ' Em0 ' Hm (Ar Z) .
1
2
On procede comme dans la demonstration du th. 2.2. La seule chose a verier est que si
p + 2q m , l'hypothese (r ; m4 ]) "0 (m) entra^ne (r ; q2 ]) 0 et, si p + 2q < m ,
(r ; 2q ] ; p4 ]) "0 (p) si 2q ] + p4 ] < m4 ] , cela decoule de (5.2), et si q2 ] + 4p ] = m4 ] , on a "0 (p) "0 (m) .
Conclusion. On conclut comme dans la demonstration du th. 2.2, en veriant que si p + q m
et (r ; m4 ]) "0 (m) , on a (r) > m , ce qui resulte de (5.2) et (5.3).
15
Comme dans I, le cor. 3.2 entra^ne que Hp(r O) est injective pour p (r) . Si
(r ; p4 ]) "0 (p) et que Ar est non singulier en codimension p et a la dimension attendue,
Hp (r O) est bijective. C'est aussi le cas pour p < (r) lorsque Dr est lisse et Dr;1 vide par
le th. 4.1. On peut conjecturer (comme dans Ma], p. 415) que Hp(r O) est bijective pour
p < (r) (cf. Ma], ou cette conjecture est montree sous des hypotheses plus restrictives).
Corollaire 5.4.{ On conserve les hypotheses du theoreme, et on suppose en outre X normale.
a) Si (r) 1 , l'application Pic0(r ) est injective.
b) Si (r) 2 , l'application Pic(r ) est injective et son conoyau est sans torsion si de
plus Ar est normale, Pic0(r ) est bijective.
c) Si Ar est normale et X non singuliere en codimension 2 , et si (r) 3 , l'application
Pic(r ) est bijective.
III. Lieux de degenerescence orthogonaux
6. Un theoreme de Bertini
Soient X un schema connexe et V un bre vectoriel de rang 2n sur X muni d'une forme
quadratique non degeneree a valeurs dans un bre en droites L . Soient E et F des sous-bres
totalement isotropes maximaux de V . On considere les lieux
Or = fx 2 X j dim(Ex \ Fx) r et dim(Ex \ Fx) r (mod 2)gred :
On notera que la parite de dim(Ex \ Fx) reste constante en particulier, soit X = O0
et O2r+1 = ? pour tout r , soit X = O1 et O2r = ? pour tout r . Le cas des lieux de
degenerescence antisymetriques est un cas particulier de celui-ci : si v : E ! E L est un
morphisme
on munit le bre V = E (E L) de la forme quadratique de
antisymetrique,
matrice 01 10 a valeurs dans L . Les sous-bres E f0g et Im(IdE v) sont totalement
isotropes maximaux et Ar = Oe;2r .
; La hh codimension attendue ii de Or est r2 . On aimerait obtenir des resultats analogues
a ceux du x 4. Commencons par la connexite (dans le cas des lieux de degenerescence
antisymetriques, on notera que l'hypothese hh E E L ample ii de la proposition ci-dessous
est plus forte que l'hypothese hh ^2E L ample ii du resultat de Tu).
Proposition 6.1.{ Dans la situation ci-dessus, on suppose de plus que X est d-connexe,
que ;E F; L est ample, et que X = Ok . Pour tout r k avec r ; k pair, Or est
(d ; r2 + k2 )-connexe.
; En particulier, si X est irreductible de dimension > r2 , le lieu Or est connexe.
16
Demonstration. La demonstration est inspiree de B]. Il sut de traiter le cas r = k + 2.
Comme Ex \ Fx est le noyau en x de la composee u : E V ! V=F ' F L , on a
Or = Dn;r (u) = Dn;r+1(u) , puisque la parite de dim(Ex \ Fx) est celle de r . On a X = Dn;r+2 (u) la proposition 1.5 entra^ne alors que Or est
r
r
;
2
2
2
d ; (r ; 1) + (r ; 2) = d ; 2r + 3 = d ; 2 + 2
connexe.
Exemples 6.2. 1) Varietes de Prym. Soit C une courbe projective lisse de genre g
munie d'une involution sans point xe. Le lieu P = fL] 2 Jg;1 j L L = !Cg a deux
composantes connexes, la variete de Prym P0 , qui est une variete abelienne de dimension
p = (g ; 1)=2 , et sa translatee P1 , denies par Pj = fL] 2 P j h0(C L) j (mod 2)g .
Welters denit dans W] les lieux Vs = fL] 2 P j h0(C L) sg 4 , qui sont donc les traces
dans P des lieux W2s;g;12 denis dans l'exemple 1.4 en tant que tels, ce sont des lieux de
degenerescence associes a un morphisme u : E ! F ou E et F sont des bres vectoriels sur
P de m^eme rang n et Hom(E F) est ample (ex. 1.4). Il est montre dans Mu] que l'on peut
construire un bre vectoriel V de rang 2n sur P , muni d'une forme quadratique non degeneree
a valeurs dans OP , de facon que E et F soient des sous-bres totalement isotropes maximaux
de V et que u soit la composee E V ! V=F ' F . Les lieux Vs apparaissent alors comme
des lieux de degenerescence orthogonaux
Os; auxquels
on peut appliquer la proposition. On
;
s
s
obtient
que V est connexe (et m^eme p ; 2 ; 1 -connexe) des que sa dimension attendue
;s p ; 2 est strictement positive 5 .
Welters montre dans W] que lorsque la paire (C ) est generale et s 2 , le lieu
s
V
a la dimension attendue et son lieu ;singulier
est Vs+2 , qui est donc de codimension
;s+2 ;s
;
s
s
2 ; 2 = 2s + 1 > 1 . Comme V est p ; 2 ; 1 -connexe, il est irreductible.
2) Th^eta-caracteristiques. Soit : C ! S une famille plate de courbes projectives reduites
munie d'une th^eta-caracteristique, c'est-a-dire d'un bre inversible L sur C tel que L2 ' !C=S ,
et d'un diviseur eectif relatif D contenu dans le lieu ou est lisse. Il resulte de Ha] que les
fs 2 S j h0(Cs Ls) r
h0(Cs Ls) r (mod 2)g
sont des lieux de degenerescence orthogonaux construits a partir des bres vectoriels
V = (L(mD)=L(;mD)) , E = (L(mD)) et F = (L=L(;mD)) , ou m est un entier assez
grand. Je ne connais cependant pas d'exemple interessant ou E F est ample.
(6.3) Il est probable que les theoremes de type Lefschetz 4.1 et 5.1 s'etendent au cas orthogonal.
Je ne sais pas le demontrer et me contenterai de presenter deux indices qui laissent soupconner
que c'est en eet le cas.
4 La sous-variete V2 de P0 est un diviseur qui denit une polarisation principale.
5 Il est montre dans B] que Vs n'est pas vide des que sa dimension attendue est positive.
17
Dans toute la suite, on suppose Or+2 = ? on note r l'injection de Or dans X. Sur
Or , on a une suite exacte de bres vectoriels
0 ;! K ;! r E ;! r F r L ;! K r L ;! 0
ou K est de rang r . Comme dans x 4, on ecrit 1=c(K) = ci 2 H (Or Z) . Si l'analogue du
th. 4.1 est vrai, les composantes de degre impair de c doivent ^etre dans le sous-anneau engendre
par la cohomologie de X et les composantes de degre pair. Nous allons montrer que c'est le cas,
m^eme au niveau des groupes de Chow.
P
Proposition 6.4.{ Tous les ci sont dans le sous-anneau r A (X)c2 c4 : : :] de A (Or ) .
Demonstration. On peut supposer, par le principe de scindage de F2], x 2, que tous les bres en
presence sont sommes directes de bres en droites, et enn, en raisonnant comme dans loc.cit.
p. 257, que X est un produit d'espaces projectifs. On a
cm(E=K) =
m
X
i=0
ci(E)cm;i
cm (F=K) =
m
X
i=0
ci(F)cm;i et F=K ' (E=K) L :
Si m est un entier impair, on a les congruences suivantes modulo A (X)c1 : : : cm;1] :
cm cm(F=K) = cm ((E=K) L) cm ((E=K) ) = ;cm(E=K) ;cm
c'est-a-dire cm 0 puisque A (X) est sans torsion. La proposition s'en deduit par recurrence.
Remarques 6.5. 1) SiPL est trivial, on peut montrer que pour tout entier m impair, on a
i
dans Am (Or ) l'egalite m
i=0 r di cm;i = 0, ou les di 2 A (X) (avec d0 = 1 ) sont les classes
introduites dans EG].
2) Supposons X = O0 . Localement, on peut representer le morphisme associe
u : E ,! V ! V=F ' F L par une matrice antisymetrique dont le pfaen denit le diviseur
de Cartier O2 . Sur O2s , on a det(K) ' Ls OO2s (;O2) .
Enn, je sais montrer l'analogue du th. 4.1 dans le cas tres particulier des lieux Or pour
r 4 , mais seulement
pour la cohomologie de degre p < dim(X) ; (r ; 1)2 (alors qu'on attend
;r p < dim(X) ; 2 ).
IV. Cohomologie des grassmanniennes isotropes
Soit V un espace vectoriel complexe de dimension n muni d'une forme antisymetrique
de rang 2r . On note LG(d V 2r) , ou simplement LG , la grassmannienne des sous-espaces
vectoriels isotropes de V de dimension d et S le sous-bre tautologique de rang d sur LG .
18
7. Cas ou la forme antisymetrique est non degeneree ( n = 2r )
L'anneau de cohomologie de LG est decrit dans PR1], th. 1.4 : si x1 : : : xd sont les
racines de Chern de S et h0 h1 h2 : : : les fonctions symetriques homogenes completes denies
par la serie generatrice
d
Y
j
hj t = (1
i=1
j 0
X
on a
; txi );1
H2 (LG(d V) Z) ' Zx1 : : : xd]Sd =(hj (x21 : : : x2d) j > r ; d) :
Cela signie que H2 (LG(d V) Z) est l'algebre engendree par c1(S) : : : cd(S) , avec la
relation
1
c(S)c(S ) = 0 en degre 2(r ; d + 1)
qui provient du fait que le bre S?=S est de rang 2(r ; d) .
(7.1) On a d'autre part
H2 (G(d V) Z) ' Zx1 : : : xd]Sd =(hj (x1 : : : xd) j > 2r ; d)
de sorte que la restriction
H2p(G(d V) Z) ! H2p(LG(d V) Z)
est surjective pour tout p et bijective pour p 2(r ; d) + 1 (et pour tout p si d 1 !), tandis
que les groupes de cohomologie d'ordre impair sont tous nuls.
8. Cas general
On note k = n ; 2r la dimension du noyau K de la forme antisymetrique. On choisit
un drapeau
0 = V0 V1 Vn;1 Vn = V
de facon que Vk = K et Vn;j = Vk?+j pour 0 j r , auquel est associe un groupe unipotent
; qui agit sur LG de facon que les orbites soient ceux des sous-ensembles suivants qui ne sont
pas vides :
Oc = f 2 LG j dim( \ Vj ) = cj pour j = 1 : : : ng
ou c = (c1 : : : cn) est une suite croissante d'entiers positifs. On a une surjection
c : Oc1:::cn ;! Ock+1;ck:::cn;ck
7;! ( + K)=K
ou l'orbite de droite est dans LG(d ; ck V=K) , et de nouveau une surjection de c;1 (0) sur
l'orbite Oc1:::ck dans la grassmannienne usuelle G(ck K) , dont la bre en 1 s'identie a
Hom(K=1 0) . On en deduit
(8.1)
dimOc = dim Ock+1;ck :::cn;ck + dim Oc1:::ck + (k ; ck )(d ; ck ) :
19
Posons, pour tout entier p 0 ,
LGp =
dim Oc p
Oc :
Chaque Oc est stable par ; c'est donc une reunion d'orbites qui est contenue dans
Oc LGdim Oc;1 . Il s'ensuit que chaque LGp est ferme d'autre part, le groupe ; etant
unipotent, les orbites sont des espaces anes. On obtient ainsi une decomposition cellulaire
de LG au sens de RX], p. 223. Les groupes d'homologie de LG d'ordre impair sont donc
nuls, l'application classe de cycles A (LG) ! H2 (LG Z) est un isomorphisme et le groupe de
Chow de LG est abelien libre engendre par les classes des adherences des orbites (loc.cit., cor.,
p. 223). Cela entra^ne, gr^ace a la formule (8.1),
Ap (LG) =
c=min(
Mdk)
M
;
c=max(0d;r) p0 +p00=p;(k;c)(d;c)
Ap0 (G(c K)) Ap00 (LG(d ; c V=K)) :
On peut decrire le groupe de Chow de G = G(d V) de facon analogue. Il decoule de
(7.1) que l'application
: A (LG) ;! A (G)
est surjective elle est injective en degre p si
Ap00 (LG(d ; c V=K 2r)) ! Ap00 (G(d ; c V=K))
l'est pour tout c compris entre max(0 d ; r) et min(d k) et tout p00 p ; (k ; c)(d ; c)
c'est-a-dire, toujours par (7.1), pour
p max(0d;r)min
((k ; c)(d ; c) + 2(r ; d + c) + 1) :
cmin(d;2k)
Apres un petit calcul, on obtient le resultat suivant.
Proposition 8.2.{ La restriction H2p(G(d V) Z) ! H2p(LG(d V 2r) Z) est surjective pour
tout p , injective pour p 2(dim V ; d ; r) + 1 .
9. Cas relatif
On a vu que la cohomologie de LG(d V 2r) est le groupe abelien libre dont les
generateurs sont les adherences des orbites non vides de ;. Pour chaque suite c , posons
j = minfi j ci = j g . Par P2], pp. 173{175, l'orbite Oc n'est pas vide si et seulement si
1 1 < 2 < < ck k < ck+1 < < d n
et i ; k + j ; k 6= 2r + 1 pour ck < i j d .
20
Dans le cas d = r = n=2 , on obtient une bijection en associant a chaque generateur Oc]
la suite 0 < 1 < 2 < < s r (ou s = maxfj j j rg ), ou encore la partition stricte
= (1 : : : s) de r , ou j = r + 1 ; j la codimension de Oc dans LG est jj (P2],
p. 177). Lorsque s = 1 , on obtient la variete de Schubert speciale
f 2 LG j \ V2r+1;1 6= 0g
dont la classe est c1 (S ) . Pour chaque partition stricte de r , il existe un polyn^ome Qe a
coecients entiers (deni p. 21 de PR2]), tel que Oc ] = Qe (c(S )) .
(9.1) On se donne maintenant un schema X , un bre en droites L sur X et un bre vectoriel
E de rang 2r sur X muni une forme antisymetrique non degeneree sur E a valeurs dans L.
On note LG(r E) la grassmannienne relative des sous-espaces vectoriels isotropes maximaux
des bres de E et S le sous-bre tautologique de rang r sur LG(r E) . L'application
Hp;2jj(X Z)
;!
7;!
M
=( :::s )
m1 >1>s >0
P
Hp(LG(r E) Z)
P
e (c(S ))
Q
est bijective (P2], dernier paragraphe de la p. 22, ou F2], pp. 255{256).
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