Probabilités – Exercices (PC 1–9)

Probabilités – Exercices (PC 1–9)
École Polytechnique MAP311 Aléatoire (cours de Sylvie Méléard)
Olivier Rioul
[email protected]
2015

MAP311 – Aléatoire TABLE DES MATIÈRES Olivier Rioul
Table des matières
1 Petite classe 1 3
2 Petite Classe 2 7
3 Petite classe 3 11
4 Petite classe 4 15
5 Petite classe 5 19
6 Petite classe 6 23
7 Petite classe 7 25
8 Petite classe 8 29
9 Petite classe 9 31
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MAP311 – Aléatoire 1 PETITE CLASSE 1 Olivier Rioul
1 Petite classe 1
Pré-requis :
— expérience aléatoire et espace d’états Ω, événements aléatoires ;
— probabilité discrète, loi uniforme et calcul combinatoire ;
— tribu, tribu borélienne, espace de probabilité (Ω,A,P) ;
— conditionnement (par un événement), formule de Bayes ;
— événements indépendants ;
1) (von Mises, 1939) Votre prof de petite classe parie qu’au moins deux d’entre vous sont nés
le même jour. On veut savoir s’il a raison (en moyenne).
Pour simplifier, on supposera que le 29 février n’existe pas. La réponse dépend du nombre
nd’élèves (supposé 6365...)
a) Identifier l’espace d’états Ω et calculer le probabilité P de coïncidence par dénombre-
ment.
b) Faire une approximation 1 −x'e−x ( x> 0 petit) pour trouver numériquement la
condition sur npour que P>1/2.
c) Application. Un algorithme RSA protège l’authentification lors de l’utilisation d’un
carte bleue. La sécurité de cet algorithme se font sur le fait qu’il est difficile de factoriser
un certain grand nombre N connu de tous (typiquement égal à un produit de deux
grands nombres premiers inconnus). On cherche à trouver un diviseur de N à l’aide de
tirages aléatoires. Quel algorithme proposez vous ? Quel est sa complexité ? Application
sur un PC à 10GHz : N= un nombre de 96 chiffres (utilisé pour les CB jusqu’en 1999) ;
un de 232 chiffres (utilisé actuellement).
2) a) Est-il possible qu’un événement A soit indépendant de lui-même ? que deux événe-
ments incompatibles A,B soient indépendants ? Sinon, le démontrer. Si oui, caractéri-
ser ces événements.
b) Trouver trois événements A,B,C indépendants deux à deux, mais non indépendants ;
Trouver trois événements A,B,C de probabilités non nulles tels que P ( A∩B∩B∩C ) =
P(A)P(B)P(C) mais non indépendants.
3) (Bayes, 1763, Laplace, 1774) L’inférence baysienne est la démarche permettant de réviser
la probabilité d’une hypothèse H (hypothesis) en présence d’une nouvelle donnée E
(evidence). 0 <P ( H ) < 1 est la probabilité a priori, et P ( H|E ) est la probabilité a posteriori.
Bayes nous dit :
« E favorise H si et seulement si E est plus vraisemblable en supposant H vraie
qu’en la supposant fausse. »
a) Le démontrer en comparant P(H) et P(H|E) par la formule de Bayes.
b) Le démontrer en comparant directement les côtes C ( H ) =P(H)
P(Hc)
et C ( H|E ) =P(H|E)
P(Hc|E)
.
On établira une formule fondamentale sous la forme d’un rapport de vraisemblance :
Λ=C(H|E)
C(H).
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MAP311 – Aléatoire 1 PETITE CLASSE 1 Olivier Rioul
c) Pale X : Il y a 25% des X qui ne prépareront pas l’examen de MAP311 ; on estime qu’un X
a dans ce cas 40% de chances de le réussir, alors que s’il le prépare, sa chance de succès
monte à 80%. Quelle est la probabilité que si un élève échoue, il n’ait pas préparé
l’examen ?
d) Qui veut gagner des millions : On estime d’un français sur 3 sait que Lima est la capitale
du Pérou ; un candidat au jeu « Qui veut gagner des millions » répond au hasard s’il ne
sait pas ; s’il a répondu juste, a-t-il répondu au hasard?
4) Une compagnie d’assurance assure autant de conducteurs que de conductrices ; chaque
année, la probabilité qu’un conducteur (respectivement une conductrice) déclare un
accident est α (respectivement β ), indépendamment des autres années et des autres
conducteurs. Pour un assuré donné, les occurrences d’accidents sont indépendantes
d’une année sur l’autre.
Si un assuré (homme ou femme) déclare un accident dans l’année, quelle est la probabilité
qu’il le fasse de nouveau l’année suivante? Comparer à la probabilité d’occurrence d’un
accident dans l’année.
5) Soit Ω un ensemble de cardinal |Ω|=n . On choisit deux parties A,B de Ω « au hasard ».
Qu’est ce que cela signifie ?
a) Calculer la probabilité que |B|=ket que de A⊂B sachant que |B|=k.
b) En déduire P(A⊆B) et P(A∩B=∅).
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MAP311 – Aléatoire 1 PETITE CLASSE 1 Olivier Rioul
Pour s’entraîner. . .
Combinatoire
6) (“Birthday attacks” ou attaque de Yuval en cryptographie) Un protocole de signature de contrat par
internet consiste d’abord à appliquer une fonction de hachage au texte. Disponible publiquement,
cette fonction calcule le « résumé crypté » du texte sur b bits (très sensible au texte initial). Le
destinataire du contrat appose son accord en signant électroniquement le résumé. Alice cherche à
faire signer par Bob un contrat frauduleux ; elle rédige deux contrats, un honnête et un malhon-
nête. Elle modifie ensuite les deux textes à volonté (par exemple en introduisant des espaces) en
espérant au bout du compte obtenir le même résumé crypté sur b bits pour les deux versions. Elle
présente ensuite le contrat honnête à Bob qui le signe, puis attache la signature de Bob au contrat
malhonnête.
On cherche à concevoir la fonction de hachage disponible sur internet pour qu’elle soit robuste à
ce type d’attaque cryptographique.
a) Alice produit n /2 versions du contrat honnête et n /2 versions du contrat malhonnête, afin
d’obtenir un résumé crypté identique (parmi 2
b
possibilités). Evaluer la probabilité P que
parmi les n textes, deux d’entre eux aient le même résumé crypté ; en déduire une majoration
de la probabilité d’attaque réussie.
b) Peut-on, avec un ordinateur à 1GHz, réussir l’attaque pour le hachage MD5 (Rivest, 128 bits) ?
SHA-1 (160 bits) ? SHA-256 ?
7) Alice et Bob jouent à pile ou face ; Bob gagne dès qu’au bout de 5 lancers, trois « pile » ou trois
« face » consécutifs sont apparus. Le jeu est-il équilibré ? Sinon, qui est avantagé ?
8) Alice et Bob continuent à jouer à pile ou face ; Alice gagne dès que la configuration « face,pile,pile »
apparaît, alors que Bob gagne dès le configuration « pile,pile,face » apparaît. Le jeu est-il équilibré ?
Sinon, qui est avantagé?
Inférence baysienne
9) Résoudre, avec la méthode des côtes, les exercices 2.5.6, 2.5.7, 2.6.5, 2.6.7, 2.6.8, et imaginer d’autres
exercices.
10) Pari : Trois cartes cachées : 1 toute rouge, 1 toute blanche, 1 avec une face rouge et une face
blanche ; on tire un carte au hasard et on expose une face au hasard : elle est rouge ; quelle est la
probabilité que l’autre face soit blanche ?
11) Fille ou garçon : On suppose qu’il y a autant de chance d’avoir une fille ou un garçon à la naissance.
Votre voisin vous dit qu’il a deux enfants. Lorsque vous sonnez à sa porte, un fille ouvre. Quelle
est la probabilité que votre voisin ait un garçon si 1
o
dans les familles avec un garçon et une fille,
la fille ouvre avec un probabilité p ; 2
o
dans les familles avec plusieurs enfants, l’ainé ouvre la
probabilité q?
12) Le gaucher : L’inspecteur chargé d’une enquête criminelle est à un certain stade convaincu à 60%
de la culpabilité d’un suspect. On découvre alors une nouvelle pièce à conviction permettant
d’affirmer que le criminel recherché est gaucher. Or 7% des individus dans la population sont
gauchers. Comment l’inspecteur doit-il réapprécier la culpabilité du suspect, s’il se trouve que
celui-ci est gaucher ?
Pour résoudre cet exercice on identifiera les suspects innocents à des personnes quelconques de la
population (ce qui est critiquable).
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