cours TA

DERIVATION
I- NOMBRE DERIVE - FONCTION DERIVEE
1.1. Exemple
 En classe de Seconde, nous avons vu que la fonction affine x  1+2x est
une approximation locale de la fonction x  (1+x)2 au voisinage de 0.
(1 + x )2  1+2x pour | x | petit.
(1,02)2  1,04
(0,98)2  0,96
Ainsi, on a
pour x = 0,02
pour x = - 0,02
 Considérons la courbe C de la fonction f : x  (1 + x )2 et la droite D :
y=2x+1
Le point A(0 ; 1) appartient à D et à C.
Soit M le point de C d'abscisse x (x  0) et N le point de D de même abscisse.
On a yM = (1 + x )2 et yN =2x+1
Pour x petit, on a yM  yN .
5
4
M
3
2
N
1
A
0
-2
-1
0
1
2
-1
-2

La droite D passe par A(0 ; 1) et a pour coefficient directeur 2.
La pente de la droite AM est
f ( x )  f (0) (1  x )2  1

 x2
x0
x
f ( x )  f (0 )
2
x 0 x  0
Donc, le coefficient directeur de D est la limite du coefficient directeur de AM
lorsque x tend vers xA. Cette limite est appelée nombre dérivé de la fonction f au
point d'abscisse 0.
On en déduit que : lim
1.2. Définitions
 f est un fonction définie sur un intervalle I et x0 un réel de I. f est dite
dérivable au point x0 si
f (x 0  h)  f (x 0 )
admet une limite finie lorsque
h
h tend vers 0. Cette limite si elle existe s’appelle le nombre dérivé de f en x0 et
on la note f ’(x0).
 f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
 La fonction dérivée de f, notée f ’, est la fonction définie sur I qui à tout réel x
de I, associe le nombre dérivé de f en x.
Exemple : calculez la dérivée de f : x  x2
 Dérivée seconde : Si f ‘ est dérivable sur I, sa dérivée est appelée dérivée
seconde de f et est notée f ‘’.
1.3. Dérivées des fonctions usuelles
f(x)
a
a  IR
f ‘(x)
f(x)
0
1
x
1
x
1
ax
a
xn
n  IN*
xn
x
f ‘(x)
( x  0) 
n IN *
x0
n xn-1

1
x2
n
x n 1
1
x0
2 x
1.4. Résumé des règles relatives aux calculs des dérivées
 Dérivée d'une fonction composée
u est une fonction définie sur un intervalle I et v une fonction définie sur un
intervalle J tel que u(I)  J.
Soit f la fonction définie sur I par f = v o u.
Si u est dérivable en x0 et si v est dérivable en u(x0), alors f est dérivable en x0
et f ' (x0) = v ' [ u (x0) ] . u ' (x0).
 u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I
f(x)
u+v
f ‘(x)
u‘+v‘
u.v
u’.v + u.v’
 .u
u
v
  IR
 .u’
u 'v u v'
v2
f(x)
un n  IN*
f ‘(x)
n un-1.u’
1
u
1

un
n IN *
u

u'
u2
n. u '
u n 1
u'
2 u
 Les polynômes sont dérivables sur IR.
 Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont dérivables sur
leur ensemble de définition.
Remarque : Dans les problèmes étudiés en Terminale, nous devons surtout
déterminer le signe de la dérivée, d'où l'intérêt, lorsque cela est possible, de
présenter cette dérivée sous forme d'un produit dont on sait déterminer le signe
de chaque facteur ou d'un quotient dont on sait déterminer le signe des
numérateur et dénominateur.
II- APPLICATIONS DE LA DERIVEE
2.1. Tangente :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x0I. Supposons que f est dérivable
en x0.

 

On note C la représentation graphique de f dans un repère O ; i , j .
La tangente à C au point A(x0 , f(x0)) est la droite qui passe par A et qui a pour
coefficient directeur f '(x0).
Une équation de cette tangente est y = (x-x0) f ' (x0) +f(x0)
Remarque :
- Si f ' (x0) = 0, la tangente à C au point x0 est parallèle à l'axe des abscisses (on
dit que cette tangente est horizontale)
f ( x 0  h)  f ( x 0 )
  , la tangente en A est dite verticale.
- Si lim
h
h0
2.2. Etude du sens de variation
 Théorème (rappel)
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f ' est positive sur I alors f est croissante sur I.
- Si f ' est négative sur I alors f est décroissante sur I.
- Si f ' est nulle sur I alors f est constante sur I.
 f est dite monotone sur I si elle est croissante ou décroissante.
 L'étude du sens de variation d'une fonction consiste à partager, quand c'est
possible, le domaine de définition de la fonction en intervalles où elle est
monotone.
2.3. Extremum de f et zéros de f '
 Théorème : f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f admet
un maximum ou un minimum en un réel x0 de I alors f '(x0)=0.
Remarque : la réciproque est fausse. Considérer la fonction f : xx3
 Théorème : f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x0I. Si f
'(x) s'annule en x0 en changeant de signe alors f admet un extremum en x0.
2.4. Résolution d'équations
 Une fonction f définie et continue sur un intervalle I est une bijection de I sur
l'intervalle J si :
- pour tout x de I, f(x) est dans J
- pour tout m de J, l'équation f(x) = m d'inconnue x admet une unique solution
dans I;
 Théorème :
- Si pour tout x de ]a, b[, f '(x)>0 alors f est une bijection de [a, b] sur [ f(a),
f(b)].
- Pour tout réel m de [f(a), f(b)], l'équation f(x) = m admet une solution unique
dans [a, b].
Cas particulier : si f(a) et f(b) sont de signes contraires l'équation f(x) =0 admet
une solution unique dans [a, b].
III- PRATIQUE DE L'ETUDE D'UNE FONCTION
Plan d’étude d’une fonction (rappel)

 

Soit f une fonction et C sa courbe représentative dans un repère O ; i , j . Pour
étudier f, on adopte généralement le plan suivant.
3.1. Déterminer l’ensemble de définition Df.
- Une fonction polynôme est définie sur IR
- une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est définie pour tout
réel x qui n’annule pas le dénominateur.
3.2. Déterminer l’ensemble d’étude Ef, en étudiant les symétries
éventuelles de C.
- La fonction f est paire si pour tout x  Df, -x  Df et f(-x) = f(x).
La courbe C d’une fonction paire admet l’axe Oy comme axe de symétrie.
- La fonction f est impaire si pour tout x  Df , -x  Df et f(-x) = -f(x).
La courbe C d’une fonction impaire admet l’origine O comme centre de symétrie.
- Axe de symétrie : la courbe C est symétrique par rapport à la droite
d’équation x=a, si et seulement si, pour tout x  Df , 2a-x  Df et f(2a-x)=f(x).
- Centre de symétrie : la courbe C admet S(a ; b) comme centre de
symétrie, si et seulement si, pour tout x  Df , 2a-x  Df et f(2a-x) = 2b-f(x).
3.3. Chercher les limites de f aux bornes du domaine d’étude
Rappelons les théorèmes suivants :
- Si lim f = L, alors lim | f | = | L |.
- Soient f et g telles que lim f = L et lim g = L ' et soit   IR , alors
lim (f+g) = L + L '
lim (  f )=  L
lim (f.g) = L . L '
lim
f

g
L
L'
( L '  0)
Remarque : Les formes indéterminées sont    
, 0.  ,
 0
, .
 0
- La limite d’une fonction polynôme lorsque x tend vers l’infini est celle du terme
de plus haut degré en x.
- La limite d’une fonction rationnelle lorsque x tend vers l’infini est celle du
rapport des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
4- Etudier les branches infinies.
 On dit que la courbe C a une branche infinie si l’une quelconque des
coordonnées d’un point M de la courbe C peut devenir arbitrairement grande en
valeur absolue.
 Asymptote
* Asymptote verticale : La droite d’équation x=x0 est asymptote à la courbe
C si et seulement si lim f ( x )  
x x 0
* Asymptote horizontale : La droite d’équation y=y0 est asymptote à la
courbe C si et seulement si lim f ( x )  y0
x 
* Asymptote oblique : La droite d’équation y = ax + b est asymptote à la
courbe C si et seulement si lim f ( x )   et lim [f ( x )  (ax  b)]  0
x 
x 
Remarques :
Supposons que lim f ( x )  
x 
f (x)
 0 , on dit que C admet une branche infinie parallèle à Ox.
 x
f (x)
  , on dit que C admet une branche infinie parallèle à Oy.
- lorsque lim
 x
- lorsqu'il existe un réel a tel que lim [f ( x )  ax ]   , on dit que la courbe C
- lorsque lim
x 
admet une branche infinie parallèle à la droite d’équation y = ax.
5- Calculer la dérivée f ‘ (x) et étudier son signe
6- Faire le tableau de variation
On rassemble tous les résultats précédents dans le tableau de variation (Df,
limites, valeurs annulant f ', signe de f ', sens de variation de f ).
Ne pas confondre sens de variation et tableau de variation
7- Etudier les points particuliers
- Intersection avec les axes de coordonnées
. C  Ox : points d’ordonnée nulle i.e. y=0
. C  Oy : points d’abscisse nulle i.e. x=0
- Points où f ‘ (x) s’annule i.e. points où la tangente est horizontale.
- Extremum.
- Point d’inflexion : Supposons que f(x) existe en x0. Si f ‘’ s’annule en x0 en
changeant de signe, alors le point M0 (x0, y0) est un point d’inflexion.
La courbe C traverse sa tangente en M0.
8- Tracer la courbe représentative
- Tracer les axes de coordonnées et indiquer les vecteurs unitaires (respectez les
indications du problème, en particulier les unités).
- Représenter, dans l'ordre, les asymptotes, les extréma donnés par le tableau
de variation et les tangentes (dans le cas où l'on vous demanderait une équation
pour une valeur donnée).
- Faire une table de valeurs pour compléter l'étude.
- Tracer à main levée la courbe de f en prenant soin de respecter le tableau de
variation (position des asymptotes par rapport à la courbe, sens de variation…)
On ne trace la courbe représentative que si elle est demandée.