U [kV]

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1. TERMINOLOGIE ET METHODE
La méthode des plans d’expériences est un outil permettant au chercheur, au concepteur,
mais aussi à l’ingénieur de production de mesurer l’importance de chacun des paramètres d’un
processus ou d’un produit, et de déterminer leurs valeurs les plus favorables. Cette méthode est
intéressante de mettre en œuvre dans les situations où les paramètres en question sont
nombreux et leurs effets difficilement modélisables par des lois classiques de la physique.
L’acquisition des connaissances sur le comportement d’un système par rapport aux
facteurs susceptibles le modifier s’appuie sur des expériences permettant de mesurer une ou
plusieurs réponses. A partir des résultats des mesures, il est possible d’établir les effets des
différents facteurs sur les réponses, ainsi que leurs interactions. La méthode des plans
d’expériences permet d’évaluer ces effets et interactions, en minimisant le nombre
d’expériences tout en maximisant la précision du résultat.
Les concepts et la méthodologie des plans d’expériences seront introduits en s’appuyant
sur l’exemple concret du processus de séparation électrostatique.
1.1. Le processus de séparation électrostatique des matériaux granulaires
La séparation électrostatique des matériaux granulaires est produite par les forces
électriques agissant sur les granules qui ont des caractéristiques physiques différentes, qui
sont chargés ou polarisés, et qui se trouvent dans un champ électrique intense.
Dans les installations utilisées pour la séparation électrostatique des matériaux isolants
et métalliques provenant des déchets de câbles électriques, par exemple (Fig. 1.1), le champ
électrique intense est produit entre une ou plusieurs électrodes à potentiel électrique élevé
(plusieurs dizaines de milliers de volts) et une électrode cylindrique tournante liée à la terre.
3
2
&
4
&
1
5
Fig. 1.1. Séparateur électrostatique industriel ;
1 : électrode cylindrique tournante reliée à la terre ; 2 : transporteur à goulotte oscillante;
3 : électrode ionisante ; 4 : électrode électrostatique ; 5 : palette.
3
1.1.1. Rappel des grandeurs fondamentales de l’électrostatique
a) Charge électrique. Celle-ci est une propriété fondamentale de la matière qui respecte le
principe de conservation. Elle peut prendre deux formes, que l'expérience amène à considérer
comme « opposées »; on les qualifie arbitrairement de positive et négative. Deux charges de
même nature, deux charges positives par exemple, se repoussent, alors que deux charges de
nature opposée s'attirent.
La charge électrique peut être directement mesurée avec un électromètre. Son unité est le
coulomb (1 C). Les particules observées possèdent des charges qui sont des multiples entiers de
la charge élémentaire qui est une constante physique fondamentale.
Les charges électriques interviennent dans de nombreux phénomènes. Le premier
phénomène qui nous intéresse est la force F d'attraction ou de répulsion qui existe entre deux
corps ayant les charges Q1 et Q2, située à une distance d l’un par rapport à l’autre. La loi de
Coulomb exprime cette force électrique :
F = (Q1Q2) / (4  0 d2)
(1.1)
9
où 0 =1 / (4  0 . 9.10 ) F / m est une constante (la permittivité électrique du vide). Si les
charges sont de la même polarité, la force (positive) est une force de répulsion. Si les charges
sont de polarités contraires (Q1 = qA < 0 et Q2 = qB > 0), la force (négative) est une force
d'attraction (Fig. 1.2).
Fig. 1.2. Force d’attraction (interaction coulombienne) entre deux particules chargées
de polarités opposées.
b) Champ électrique. Dans les installations électriques, comme les séparateurs
électrostatiques, il y a généralement plusieurs corps chargés ayant des configurations
complexes. Dans ce cas, le calcul de la force électrique à l'aide de la loi de Coulomb devient
long. Pour s’affranchir de ce problème, il convient de calculer le champ électrique E produit
par une charge Q1 dans un point P située à une distance rP de celui-ci :
E = k Q1 / rP 2
(1.2)
En ce point, le vecteur champ électrique est dans la même direction que le vecteur force
électrique F exercé sur une charge positive Q2 placée en ce point :
F = Q2E
(1.3)
Une particule chargée dans un champ électrique possède une accélération proportionnelle
à la force électrique exercée sur elle (en supposant que la force électrique est seule). Le vecteur
accélération de la particule se trouve dans la direction du vecteur force électrique. Cette
propriété nous permettra de calculer ensuite les trajectoires des particules.
4
c) Potentiel électrique. Le potentiel électrique est le travail W d’une force s’exercent sur une
particule de charge unitaire Q = 1 C qui se déplace entre deux points (A et A’) d’un champ
électrique E. La différence de potentiel entre A et A’ est de 1 volt [1 V], si la force s’exerçant
sur une charge électrique de 1 coulomb [1 C] effectue un travail de 1 joule [1 J] lorsque celle-ci
se déplace de A jusqu’à A’. Ceci se traduit par la relation suivante:
V [V] = W [J]/ Q [C] .
(1.4)
où V = Vfinale – Vinitiale est la variation de potentiel entre la position finale et initiale.
Lorsqu'une différence de potentiel est appliquée aux bornes d'un condensateur, des
charges s'accumulent sur les deux armatures en quantités égales mais avec leur polarité opposée
(Fig. 1.3).
+ + + + + + + + + + + +
+ + +
d
V
E
- - - - - - - - - - - - - - Fig. 1.3. Le champ électrique entre les armatures d’un condensateur plan.
Un champ électrique est produit par les charges présentes sur les armatures du
condensateur, située à une distance d. Il y a une relation directe reliant ce champ électrique
(uniforme) E entre les armatures et la différence de potentiel V aux bornes du condensateur :
E=V/d
(1.5)
1.1.2. Systèmes d’électrodes
Le champ électrique d’un séparateur électrostatique est créé entre deux ou plusieurs
électrodes, c’est à dire des pièces métalliques connectées à un générateur de haute tension, de
l’ordre de 50 kV.
a) Electrode cylindrique tournante. La particularité du séparateur électrostatique que nous
étudions est la présence d’une électrode cylindrique tournante, aussi appelée tambour, reliée à
la terre (Fig. 1.4). Les installations disposant de telles électrodes sont appelées séparateurs
électrostatiques à tambour. Elles servent le plus souvent à séparer des matériaux granulaires
conducteurs et isolants.
Cette électrode a un grand diamètre, entre 150 mm et 400 mm, selon le modèle. Elle peut
tourner à une vitesse variable de zéro à plusieurs centaines de tour/min. Les particules qui sont
déposées sur la surface de ce tambour sont donc soumises à des forces centrifuges variables,
qui ont un rôle très important dans le processus de séparation électrostatique.
5
Fig. 1.4. Electrode cylindrique tournante
b) L’électrode couronne. Cette électrode a un très faible rayon de courbure ; cela veut dire
qu’elle se présente sous la forme d’un fil, d’une lame ou d’une pointe. Sur la figure 1.5, on
aperçoit une électrode qui comporte une ligne de pointes. Les zones lumineuses correspondent
aux régions de l’espace où se manifeste l’effet couronne.
Fig 1.5. Electrode couronne à pointes.
Cette décharge lumineuse est l’aspect visible de l’effet couronne. Cet effet est lié à
l’ionisation de l’air dans la zone de champ électrique très intense produit à la surface d’une telle
électrode à faible rayon de courbure. Les particules soumises au flux d’ions générés dans une
décharge couronne négative, vont se charger négativement. Et ceci sera fondamental pour leur
trajectoire.
c) L’électrode statique. De la même façon que l’électrode couronne, celle-ci est liée à la haute
tension négative. C’est cette électrode qui, par sa forme et sa position, créé le champ électrique
intense nécessaire à la séparation.
L’électrode statique montrée sur la figure 1.6 a une section transversale ellipse. Celle-ci
assure une plus grande uniformité au champ électrique crée par rapport à l’électrode
cylindrique reliée à la terre, comme le montre les lignes équipotentielles représentées sur la
figure 1.7.
6
Décharge
couronne à
partir d’une
électrodes à
pointes
Câble haute
tension
Electrode
statique à
section
transversale
ellipse
Electrode
cylindrique
tournante liée
à la terre
Fig. 1.6. L’électrode statique d’un séparateur à tambour.
V = 40 kV
Electrode
cylindrique
tournante
liée à la
terre
V=0
Lignes
équipotentielles
Fig. 1.7. Lignes équipotentielles calculées avec un logiciel
d’analyse numérique du camp électrique.
1.1.3. Comportement des particules dans un séparateur électrostatique a tambour
Dans un séparateur électrostatique à tambour (Fig. 1.8), le champ électrique est créé entre
deux électrodes (1) et (2) connectées au générateur haute tension et l’électrode tournante reliée
à la terre (3). La goulotte oscillante (4) dépose le produit granulaire à séparer sur la surface de
l’électrode (3), qui l’introduit dans la zone du champ électrique. Deux mécanismes de charge
sont simultanément employés: "bombardement ionique", produit par l’électrode couronne, et
"induction électrostatique". Le premier est destiné aux particules isolantes ; le deuxième
implique seulement les particules conductrices. La charge acquise par les granules isolants dans
la zone de décharge couronne détermine la valeur de la force électrique qui les « collent » sur la
surface du tambour relié à la terre. Les granules isolants tombent dans la partie du collecteur
qui leur est réservée lorsque la résultante des forces de pesanteur et centrifuge l’emportent sur
la force électrique.
7
1
6
1) Electrode couronne reliée à une
source de haute tension (HT) ;
2) Electrode statique reliée à la
même source de HT ;
3) Electrode cylindrique reliée à la
terre ;
4) Goulotte oscillante ;
5) Electrode de neutralisation
reliée à une source HT
alternative ;
6) Brosse ;
2
4
3
5
 : particules isolantes
o : particules conductrices.
Fig. 1.8. Représentation schématique d’un séparateur électrostatique à tambour
Pour assurer la chute de ces particules, certains séparateurs sont équipés par une autre
électrode couronne, appelée électrode de neutralisation (5), pour éliminer la charge acquise q.
Les particules qui restent "collées" sont éliminées de la surface du tambour par une brosse (6).
Lorsqu’une particule de cuivre est déposée sur l’électrode cylindrique par
l’alimentateur, elle passe sous le flux ionique. Le cuivre étant bon conducteur, il se charge
négativement. Cependant les particules de cuivre ne restent pas collées à l’électrode cylindrique
tournante ; elles décollent lorsqu’elles sont passées de l’électrode couronne (Fig. 1.9). Le cuivre
étant un conducteur, il se charge négativement dans le flux ionique engendré par l’électrode
couronne. Cependant ces charges se dissipent vite dans l’électrode cylindrique tournante. Celleci étant chargée positivement, le cuivre qui est en contact avec elle se charge également
positivement.
L’électrode statique est reliée à la même source de haute tension que l’électrode couronne
et elle est également chargée négativement. Elle crée un champ électrique intense qui a
tendance d’attirer les particules chargées positivement vers elle. Le cuivre étant chargé
positivement par contact avec l’électrode cylindrique, il est attiré par l’électrode statique
chargée d’électricité négative. C’est pour cette raison que le cuivre décolle de la surface de
l’électrode cylindrique. Ce phénomène de chargement des particules conductrices est appelé
« induction électrostatique ». Les particules de PVC ne décollent pas parce qu’à ce stade elles
sont toujours chargées négativement.
8
1.2. Facteurs et réponses
La qualité d’un processus de séparation électrostatique est caractérisée, le plus souvent, à la
quantité de matériaux retrouvée dans le compartiment mixte du collecteur de produit. En effet,
pour une séparation parfaite, la masse du mixte collectée doit être nulle.
Une caractérisation plus fine du processus de séparation peut être faite en mesurant la
masse de produit trouvé dans chacun des trois compartiments du collecteur, et en calculant les
grandeurs suivantes :
1) Pureté d’un produit collecté :
P% 
m ic
100
m tc
(1.6)
avec mic : quantité du matériau i collecté dans le compartiment qui lui est réservé ;
mtc : quantité totale de produit collecté dans ce même compartiment.
2) Récupération d’un matériau :
R %  
m ic
100
m it
(1.7)
avec mic : quantité du matériau i collecté dans le compartiment qui lui est réservé ;
mit : quantité totale du matériau i introduit dans le séparateur.
3) Rendement :
  R  R'
(1.8)
avec R : récupération du matériau considéré dans le compartiment qui lui est réservé ;
R’: récupération du second matériau dans ce même compartiment.
Si la masse totale (en pourcentage) du produit considéré i est désignée par :
m it
.100  a
(1.9)
mt
et la masse totale (en pourcentage) collectée dans un des trois compartiments du collecteur
s’exprime par :
m tc
.100  V
(1.10)
mt
on obtient :
 RV 
%   
100
 100  a 
(1 .11)
9
Chacune de ces grandeurs est une réponse du processus (Fig. 1.9). Sous une forme
mathématique, une réponse y est une fonction de plusieurs variables ui (variables que nous
appellerons aussi facteurs par la suite). Le plus souvent, la réponse est exprimée comme un
polynôme d’ordre un ou deux :
y  c0   ci u i   ciju i u j   ciju i2
(1.12)
Pour chaque facteur ui on définit une variable centrée réduite :
xi 
u i  u i0 
où
u i0 
u i
 u *i
u i max  u i min 
2
(1.13)
; u i 
u i max  u i min 
(1.14)
2
Avec ces notations, la fonction de réponse devient :
y  f (x i )  a 0   a i, j x i x j   a i,i x i2
(1.15)
où xi prend la valeur –1, pour le niveau inférieur uimin du facteur, et la valeur + 1 pour le niveau
supérieur du même facteur uimax)
Pour un processus de séparation électrostatique, les variables sont – dans la plupart des cas
– la tension d’alimentation des électrodes, la vitesse de l’électrode cylindrique tournante reliée à la
terre, la position des électrodes. Chaque facteur est défini sur un domaine. Ainsi, la tension
d’alimentation des électrodes ne peut pas être inférieure au seuil d’amorçage de la décharge
couronne (afin d’assurer la charge de particules par la douche ionique), mais ne doit pas dépasser
le seuil d’apparition des arcs électriques, qui dégradent significativement les performances du
processus et réduisent la durée de vie des électrodes.
.
Variables d’entrée
Variables de sortie
(Facteurs)
(Réponses)
Matière
Pureté
u1
u2
Energie
Processus de
séparation électrostatique
y1
Récupération y
2
um Commande
Rendement
yn
yi = f (u1, u2, … , um), i = 1, 2, ..., n
Fig. 1.9. Représentation schématique du processus de séparation électrostatique.
10
1.3. Avantages des plans d'expériences
La méthode « classique » fixe le niveau de toutes les variables sauf une et l’on mesure
la réponse y pour plusieurs valeurs de la variable non-fixée x. A la fin de l’expérimentation sur
cette première variable, un peut tracer une courbe représentative y = f (x). Si l’on veut étudier
toutes les variables, il faut recommencer pour chacune (Fig. 1.10). Pour 7 facteurs, à raison de 5
points par variables, il faut exécuter 57 = 78 125 expériences, ce qui est complètement irréaliste.
(b)
(a)
Fig. 1.10. La méthode « classique » ; (a) étude du facteur A lorsque B est au niveau moyen ;
(b) surface de réponse obtenue en exécutant des tests à chacun des nœuds d’un maillage
du domaine de variation des facteurs.
La méthode des « plans d’expériences » fait varier les niveaux de toutes las variables à
la fois à chaque expérience, mais de façon programmée. Elle présente les avantages suivants,
par rapport à la méthode « classique » (« un facteur à la fois ») : diminution considérable du
nombre d'essais ; possibilité d'étudier un très grand nombre de facteurs ; détection des
interactions éventuelles ; détermination des résultats avec une bonne précision ; modélisation
aisée des résultats. Afin d’illustrer les différences entre les deux stratégies, nous vous
proposons d’examiner l’exemple suivant, concernant l’étude des deux facteurs influents d’un
processus de séparation électrostatique : haute tension et vitesse de rotation du tambour (tableau
1.1 et Fig. 1.11).
La stratégie 1 (« un facteur à la fois ») est illustrée par les points Mi (Fig. 1.12) :
l’expérimentateur positionne un facteur sur la moyenne et fait varier l'autre.
Ainsi les effets des facteurs A et B sont calculés chacun grâce au mesures réalisées en deux
expériences : M3 et M4, respectivement M1 et M2.
Tableau 1. Niveaux de deux facteurs influents d’un processus de séparation électrostatique
Facteur
Niveau
min.
27 kV
70 tr/min
A : haute tension
B : vitesse de rotation
11
Niveau
max.
31 kV
90 tr/min
B
M2
90
tr/min
70
tr/min
Y2
Y3
M3
M4
Y1
M1
Y4
A
27 kV
31 kV
Fig. 1.11. Comparaison entre la méthode expérimentale « classique »(points Mi) et la méthode des plans
d’expériences factoriels (points Yi)
La stratégie 2 (« plan d’expériences factoriel ») est illustrée par les points Yi sur la
figure 1.11. Dans ce cas, les effets des facteurs A et B sont calculés grâce au mesures réalisées
dans l’ensemble des quatre expériences Y1, Y2, Y3, Y4, selon des formules données dans le
paragraphe suivant. Ceci donne une meilleure précision des résultats car la dispersion est
inférieure. De plus l’expérimentateur peut étudier les interactions ce qui est impossible avec la
première stratégie.
La fonction première des plans d’expériences est la recherche des facteurs influents. Des
plans d’expériences assez simples, appelés des plans de criblage, peuvent être réalisés pour
répondre à cet objectif. Ces plans permettent de calculer aisément les effets de chaque facteur,
ainsi que leurs interactions, comme le montre l’exemple traité au paragraphe 1.4.
Si l’objectif est de trouver les valeurs des facteurs qui optimisent la réponse du
processus, le chercheur doit recourir à un plan d’expériences pour surface de réponse
(paragraphe 1.5).
1.4. Plans de criblage. Calcul des effets et des interactions
Le tableau 1.2 contient les résultats d’un plan de criblage (deux facteurs à deux
niveaux : plan factoriel complet 22).
Au niveau +1 de la haute tension il y a deux réponses : Y2 et Y4 (Fig. 1.12). La moyenne
des réponses à ce niveau de la haute tension vaut :
Y2  Y4   17,35  23,45  20,4 g
2
(1.16)
2
12
Tableau 1.2. Résultats d’un plan d’expériences à deux facteurs à deux niveaux.
Facteurs
Tension U
Vitesse n
x1
x2
Essais
k
Résultats des essais
Masse
Masse
Masse
Cu (g)
PVC (g) Mixte (g)
1.a
-1
-1
17,4
60,6
22,0
1.b
2.a
2.b
3.a
3.b
4.a
4.b
5.a
5.b
5.c
Niveau -1
Niveau +1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
0
0
0
27 kV
31 kV
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
70 rpm
90 rpm
17,9
15,9
17,1
18,7
18,3
17,5
17,1
17,3
16.8
17.2
58,9
66,6
65,7
49,8
49
58,3
59,2
62,5
60.4
61.3
23,2
17,5
17,2
31,5
32,6
24,2
22,7
20,2
22,8
21.5
Variance
Réponse
Yk
SCEE k
22,60
0.72
17,35
0.045
32,05
0.605
23,45
1.125
21.5
1.69
Réponse = quantité de mixte
Au niveau –1 du facteur U il y a également deux réponses, Y1 et Y3, dont la moyenne est :
Y1  Y3   22,6  32,05  27,325g
2
(1.17)
2
L’effet moyen du facteur tension EU est, par définition (Fig. 1.13), la moitié de la différence
entre la moyenne des réponses au niveau +1 et la moyenne des réponses au niveau –1 :
 Y2  Y4  Y1  Y3 


 20,4  27,325
2
2


EU 
 3,4625g
2
2
Facteur x2
Vitesse n
(tr/min)
max x2
Y3
90
3
min x2
70
Y4
Y1
Y2
min
x1
max
x1
27
31
Facteur x1
Haute tension
Fig. 1.12. Définition du plan d’expériences deux facteurs à deux niveaux 22.
13
(1.18)
Réponse
Masse de mixte
(g)
(Y1 + Y3)/2
27,325
}
3
}Effet
moyen
(Y2 + Y4)/2
Effet
global
20,4
min
x1
max
x1
27
31
Facteur x1
Haute tension
Fig. 1.134. Définition de l’effet total et de l’effet moyen.
La conclusions des calculs : en augmentant la haute tension appliquée aux électrodes, il
est possible de diminuer la quantité de mixte qui résulte après la séparation.
Il existe la possibilité de calculer directement l’effet EU avec la formule :
EU 
- Y1  Y2  Y3  Y4 
4
 3,4625 g
(1.19)
L’effet moyen de la vitesse En se calcule de la même façon :
En 
 Y1  Y2  Y3  Y4 
4
 3,8875g
(1.20)
La formule qui donne la valeur d’un effet se retrouve facilement : les réponses se succèdent
dans l’ordre des essais et elles sont affectées des signes – ou + de la colonne qui est attribuée au
facteur étudié dans la matrice d’expériences (Tableau 1.2). Dans la colonne de la haute tension,
par exemple, on trouve bien la suite - + - + de la formule de l’effet de ce facteur.
Dans le cas où, selon que l’on se place au niveau +1 ou –1 d’un facteur, l’effet de l’autre
facteur n’est pas le même, on dit qu’il y a interaction entre facteurs. Aux niveaux –1 et +1 du
facteur vitesse, les effets de la haute tension sont respectivement :
Y2  Y1   17,35  22,60  2,625g
(1.21)
2
2
Y4  Y3  23,45  32,05

 4,30g
2
2
(1.22)
14
L’interaction de la vitesse sur la tension In-U est alors définie comme la moitié de la différence
entre l’effet de U au niveau +1 de n et l’effet de U au niveau –1 de n :
E n U
 Y4  Y3  Y2  Y1 


  4,3  2,625
2
2



 0,8375g
2
2
(1.23)
L’effet de la tension est donc plus important à des vitesses élevées (niveau +1 du facteur n).
L’interaction entre les deux facteurs peut être calculée aussi avec la formule directe :
E n U 
Y1  Y2  Y3  Y4 
4
 0,8375g
(1.24)
La moyenne des 4 réponses vaut :
M
Y1  Y2  Y3  Y4 
4
 23,8625g
(1.25)
En analysant la signification des coefficients a0, ai, ai,j intervenant dans la formule (1.15),
on constate que :
a0 = M, a1 = EU, a2 = En, a12 = En-U
(1.26)
La fonction de réponse y s’écrit alors :
y = f(xi) = 23,8625- 3,4625 x1 + 3,8875 x2 - 0,8375 x1 x2.
(1.27)
La relation (1.27) peut être utilisée pour prédire la quantité de mixte qui sera obtenue à des
valeurs imposées de la tension et de la vitesse. Pour U = 30 kV et n = 75 tr/min, les valeurs
centrées réduites des deux facteurs, calculées avec (1.13) sont respectivement x1=0,5 et x2= -0,5,
d’où :
(1.28)
y(0,5;0;5)  23,8625  3,4625 * 0.5  3,8875 * 0,5  0,8375 * 0,5 * 0,5  20,397g
Au point central du plan d’expériences, x1=0 et x2= 0, la valeur prédite de la réponse est y
=23,8625. Cette valeur n’est pas en bon accord avec la moyenne des essais 21,5 (tableau 1.2).Ceci
signifie que le modèle linéaire n’est pas adéquat. Il faut chercher un modèle d’ordre supérieur
(quadratique) en utilisant un autre type de plan d’expériences ( un plan composite).
15
1.5. Plans composites
Le problème d’optimisation d’un processus ne peut être abordé qu’en utilisant des plans
d’expériences permettant d’exprimer la réponse par un modèle polynomial de second degré.
Les plans composites centrés sont inclus dans cette catégorie ; leur construction consiste à
rajouter des points en étoile à partir d’un plan factoriel complet. Ces points en étoile sont
positionnés à une distance  du centre du domaine suivant les axes des facteurs. L’ensemble
de ces points constitue un dispositif au sein duquel on ne fait varier qu’un seul facteur à la fois.
Il y a donc 2k points en étoile, k étant le nombre des variables du plan d’expériences.
La construction d’un plan composite sera illustré par une étude expérimentale réalisée à
l’IUT d’Angoulême, ayant comme objectif modélisation du processus de séparation par rapport
à trois facteurs (Fig. 1.14) : la haute tension U [kV]; la position angulaire 1 [°] et radiale s1
[mm] de l’électrode couronne par rapport au tambour.Le domaine de variation de ces trois
facteurs et les valeurs imposées aux autres variables du processus ont été les suivants :
Umin = 30 kV; Umax = 34 kV ;
1min = 30°; 1max = 40° ;
s1min = 40 mm; s1max = 50 mm ;
la vitesse de rotation du tambour , n = 80 min-1 ;
la position angulaire de l’électrode électrostatique,2 = 70° ;
la position radiale de l’électrode électrostatique par rapport au tambour, s2 = 70 mm ;
la position du parois entre les compartiments conducteur et mixte, = - 8°.
vibratory
feeder
corona
electrode
s1
U
electrostatic
electrode
s2
n
α1
α2
brush
γ°
R
CONDUCTOR
NONCONDUCTOR
MIDDLING
30°
grounded
roll electrode
Fig. 1.14. Variables et paramètres du processus de séparation électrostatique.
16
D
A
a
s1
[mm]
f
B
C
b
U
[kV]
50
d
H
E
e
c
34
G
F
40
30
40
30
1 [°]
Fig. 1.15. Représentation graphique des 17 points expérimentaux du plan composite.
Les résultats des 17 expériences effectuées selon le plan d’expériences composite proposé
par le logiciel MODDE 5.0 sont donnés sur la figure 1.15 et le tableau 1.3. Ils permettent de
calculer les effets des facteurs sur la quantité de mixte M (tableau 1.4) et d’exprimer la réponse
du processus en fonction des variables centrées réduites s1*,1* et U* :
y  4,81  0,26s1*  0,891*  0,1U*  1,12s*21  0,891*2  0,85U*2  0,01s1 * U*
(1.29)
Ainsi, l’effet d’une augmentation  s1 = 5 mm de la distance s1 entre les électrodes est une
diminution d’environ 0.26 g de la quantité de mixte résultée après la séparation de 200 g de
produit, pour 40 mm < s1 < 50 mm. Une variation de 1 = +5° de l’angle de position 1 dans
l’intervalle 30° < 1 < 40° produit une augmentation d’environ 0.89 g de la quantité de mixte
obtenue de 200 g de produit.
En utilisant la fonction de réponse (1.30), le logiciel MODDE 5.0 prédit la quantité de mixte
comme fonction des paramètres de position s1, 1 de l’électrode couronne (Fig. 1.16). Les
valeurs optimales des paramètres calculées avec le même logiciel sont données sur le tableau
1.5. Selon MODDE 5.0, la meilleure séparation (la plus petite quantité de mixte, c’est à dire 4,5
g) s’obtient pour une distance s1 = 45,5 mm et un angle 1 = 33°. Une expérience réalisée avec
ces valeurs des paramètres de position de l’électrode couronne a confirmé la prédiction du
logiciel. La quantité de mixte mesurée a été de 4,7 g, donc dans les limites des erreurs
expérimentales.
17
Tableau 1.3. Résultats du plan d’expériences composite de la figure 1.15
POINT
α1 [°]
s1 [mm]
U [kV]
NC [g]
M [g]
C [g]
A
30
50
34
292.3
8.6
99.1
B
30
50
30
292.3
8.9
98.8
C
40
50
30
290.2
12.4
97.4
D
40
50
34
295.2
8.0
96.8
E
30
40
34
292.2
9.8
98.0
F
30
40
30
295.3
6.7
98.0
G
40
40
30
293.4
10.0
96.6
H
40
40
34
291.5
12.5
96.0
a
35
50
32
298.1
4.8
97.1
b
30
45
32
298.1
4.1
97.8
c
35
40
32
295.5
6.9
97.6
d
40
45
32
297.0
6.3
96.7
e
35
45
30
297.5
4.9
97.6
f
35
45
34
297.8
5.3
96.9
Y(1)
35
45
32
297.0
6.2
96,7
Y(2)
35
45
32
297.0
5.9
97.1
Y(3)
35
45
32
296.7
5.9
97.4
Tableau 1.4. Effets des facteurs des paramètres de position s1, 1 (alpha) et de la tension U,
sur la quantité de mixte M qui résulte après la séparation
Calculs effectués avec le logiciel MODDE 5.0.
18
Fig. 1.16. Quantités de mixte prédites par le logiciel MODDE 5.0, en fonction des paramètres s1, 1.
Tableau 1.5. La recherche de l’optimum avec le logiciel MODDE 5.0
19
2. ESTIMATION DE L’ERREUR. EFFETS SIGNIFICATIFS
Soit :
N : nombre des lignes de la matrice du plan d’expériences ;
r : nombre de répétitions ;
n : nombre total des déterminations (n = N x r) ;
p : nombre des coefficients du modèle.
Réponses
y k ,1
Erreur expérimentale
yk
Erreur
d’ajustement
ŷ k
y k ,2
Courbe de régression
ement
Facteur
Figure 2.1. Le résidu se décompose en deux écarts : 1. l’écart expérimental ; 2. l’écart d’ajustement
Yki : réponse observée lors de la réalisation des expériences, k = 1…N, i = 1…r ;
ŷ k =Ykest : réponse estimée à l'aide du modèle, pour une ligne du plan d’expériences, k =1…N ;
y k = Yk : moyenne des réponses observées, pour une ligne du plan d’expériences, k = 1…N ;.
Il est possible de calculer, dans un premier temps :
Yki - Yk : les écarts expérimentaux, k = 1…N, i = 1…r ;
Yki - Ykest : les résidus, k = 1…N, i = 1…r ;
Ykest - Yk : les écarts d’ajustement, k = 1…N, i = 1…r ;
et ensuite :
1- La somme des carrés des écarts expérimentaux :
SCEE   Yki  Yk 
2
(2.1)
2- La somme des carrés des résidus :

SCER   Yki  Ykest

2
(2.2)
3- La somme des carrés des écarts d’ajustement :

SCEA   Ykest  Yk

2
(2.3)
20
L’exactitude des calculs peut être vérifiée avec la relation :
SCER  SCEA  SCEE
(2.4)
Les variances de l’erreur expérimentale, totale et d’ajustement sont le quotient des sommes de
carrés respectives par leurs degrés de liberté.
SCEE aura ddlSCEE = N x (r - 1) degrés de liberté.
SCER aura ddlSCER = n - p degrés de liberté.
SCEA aura ddlSCEA = N - p degrés de liberté.
Avec ces notations, les estimateurs des divers types de variances s’expriment comme suit :
1- Variance de l’erreur expérimentale (variance des mesures) :
s 2y 
SCEE
SCEE

ddl SCEE N  r  1
(2.5)
2- Variance totale (variance des résidus) :
s2 
SCER
SCER

ddl SCER n  p 
(2.6)
3- Variance d’ajustement :
sa 2 
SCEA
SCEA

ddl SCEA N  p 
(2.7)
Dans le cas du plan d’expériences choisi comme exemple (Tableau 1.2) : N=4 ; r=2 ; n=4*2 ;
p= 3 (pour un modèle linéaire) ou p = 4 (pour un modèle linéaire avec interaction).
2.1. Homogénéité de la variance de l’erreur expérimentale
L’homogénéité des variances est analysée avec le test C de Cochran. On calcule :
C max 
2
max( s yk
)
N
 s yk2

max( 0,72;0,045;0,605;1.125)
 0,45
(0,72  0,045  0,605  1,125)
k 1
21
(2.8)
et ensuite on compare Cmax avec la valeur CT lue dans le tableau de Cochran. Les variances sont
homogènes si :
C max  C T
(2.9)
C T ((r  1), N)  0,906  C max  C T
(2.10)
Sinon, les variances sont hétérogènes : la variance la plus élevée Max{syk2) est
significativement plus grande que les autres. Dans ce cas, il faut éliminer les valeurs aberrantes
et/ou augmenter le nombre de répétitions.
En conclusion : pour l’exemple choisi, les variances sont homogènes, ce qui signifie que la
précision est acceptable.
Tableau 2.1. Table de Cochran
r-1 1
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0,9965
0.9669
0.9065
0.8412
0.7808
0.7871
0.6798
0.6885
0.6080
0.5410
2
3
4
5
6
0.9760
0.8709
0.7679
0.6838
0.6161
0.5612
0.5157
0.4776
0.4450
0.3924
0.9393
0.7977
0.6641
0.5981
0.5321
0.4800
0.4377
0.4027
0.3733
0.3264
0.9867
0.7457
0.6287
0.5441
0.4803
0.4307
0.3910
0.3684
0.8311
0.2880
0.8778
0.7071
0.6835
0.5065
0.4447
0.3974
0.3595
0.3266
0.3023
0.2624
0.8534
0.6771
0.5598
0.4783
0.4184
0.3726
0.3362
0.3067
0.2823
0.2439
2.2. Signification des effets
A la question « Quand peut-on dire qu’un tel effet est significatif ou non ? », la réponse
donnée par les statisticiens est simple : L’effet E est influent s’il est très grand par rapport à
l’erreur E que l’on commet sur sa détermination :
E >>  E
(2.11)
Il est sans influence si E << E. Le problème à résoudre : Comment estimer cette erreur ? Il y a
plusieurs solutions.
22
Un possibilité est de faire appel à la variance sur un effet, donnée par:
N
SCEE
k 1
k
N(r 1)
s2
s2E  y 

n
Nr
(0,720,0450,6051.125)
4(21)
0,078
42
(2.12)
où n est le nombre d’expériences. La signification des effets est analysée en utilisant le test
« t » de Student. Un effet Ei [i = 1… (p – 1)] sera dit significatif (c'est-à-dire que la variable ou
l'interaction qui lui est associée ont une influence sur la réponse), s'il est, pour un risque donné,
significativement différent de 0. Pour cela, il faut calculer le rapport :
Ei
ti 
(2.13)
sE
où sE est l’écart-type. Nous utilisons alors une table de Student à  = ddlSCEE degrés de liberté,
en choisissant un risque de première espèce  (le plus souvent 5% ou 1%) et en lisant la valeur
t(,). La règle du test est alors la suivante : Si ti < t(), l'effet en question n'est pas, au
risque  significativement différent de 0. La variable qui lui est associée n'a donc pas
d'influence sur la réponse. Dans ces conditions, l'intervalle de confiance d'un effet Ei est
donné par :
[Ei - t()sE ; Ei + t()sE]
(2.14)
Dans le cas étudié :
sE  0,078 0,28
t1
E U 3,426

12,23
sE 0,28
t2 
t3 
(2.15)
En
sE

(2.16)
(2.17)
3,8875
 13,88
0,28
En  U 0,8375

2,99
sE
0,28
(2.18)
23
On vérifie :
t112,23t0,05;42,78
(2.19)
t 2 13,88t0,05;42,78
(2.20)
t12 2,99t0,05;42,78
(2.21)
En conclusion :
- les effets EU, En, ainsi que interaction En-U sont significatifs, ils ont donc une influence
sur la réponse ;
Cette méthode s’applique dans les cas où le nombre de répétitions r > 1. Dans certains cas
où il est difficile de répéter les mesures dans tous les points du plan d’expériences. Alors, il est
possible d’effectuer plusieurs mesures Yki (i = 1…r) dans un point k du plan d’expériences, de
calculer la valeur moyenne :
Yk 
 Yki
(2.22)
r
et d’estimer l’écart type sur la réponse :
s yk 
Yki  Yk 2
r  1
(2.23)
L’effet étant déterminé à partir de n expériences (c’est à dire n réponses) et l’écart type sYk
représentant une estimation de l’erreur expérimentale Y, l’erreur sur un effet E peut être
exprimée par :
E 
Y
n

s yk
(2 .24)
n
Pour le plan d’expérience donné au tableau 1.2, la valeur moyenne des réponses au point
central, calculée avec (2.22), est :
Yk 
20,222,821,521,5g
(2 .25)
3
24
L’estimation de l’écart type sur la réponse se fait avec (2.23) et vaut :
s yk 
20,2  21,52  22,88  21,52
3  1
 1,341g
(2.26)
L’erreur sur un effet s’exprime donc avec (2.24), pour n = 8
E 
s yk
n

1,341
42
 0,474g
(2 .27)
On constate :
E n U / ΔE  0,8375/0,474  t(0,05;2)  4,3
(2.28)
E U / ΔE  3,4625/0,474  t(0,05;2)  4,3
(2.29)
E n / ΔE  3,8875/0,474  t(0,05;2)  4,3
(2.30)
Les effets EU et En sont donc significatifs, mais l’interaction En-U est négligeable.
Tableau 2.2. Table de Student
Risque 5 % Confiance 95 %
 DDL ) t(crit)
t(crit)
1
12,70
63,66
2
4,30
9,93
3
3,18
5,84
4
2,78
4,60
5
2,57
4,03
6
2,45
3,71
7
2,37
3,50
8
2,31
3,36
9
2,26
3,25
10
2,23
3,17
25
2.3. Analyse de la variance. Validation du modèle
L'analyse de la variance consiste à comparer à l'aide du test « F » de Fischer la variance
d’ajustement avec la variance de l’erreur expérimentale :
Fobs 
s a2
(2.31)
s 2y
Pour que le modèle soit valide, avec un risque établi d’avance, la valeur de F obs doit être
inférieure à la valeur de F lue dans la table de Fisher-Snedecor pour 1 = ddlSCEA = N – p et 2 =
ddlSCEE = Nx(r – 1) degrés de liberté
Dans le cas où la réponse est exprimée par un modèle linéaire (p = 3) :
y = f(xi) = 23,8625- 3,4625 x1 + 3,8875.
(2.32)
les valeurs estimées Ykest dans les quatre points du plan d’expériences sont celles inscrites dans le
Tableau 2.3, qui contient aussi les sommes des carrés des écarts d’ajustement SCEAk. On peut
ensuite calculer la variance des écarts d’ajustement avec la formule (2.7), calculer Fobs et le
comparer à la valeur de F, lue dans la table de Ficher-Snedecor pour 1 = N – p = 4-3 = 1 et 2
= Nx(r – 1) = 4 x (2-1) = 4 degrés de liberté. Le modèle linéaire n’ai donc pas valide.
Fobs  5,6112/0,624  8,97 > F(1,2) = F(4-3, 4(2-1))
(2.33)
Tableau 2.3 . Résultats d’un plan d’expériences à deux facteurs à deux niveaux.
Essais
1.a
1.b
2.a
2.b
3.a
3.b
4.a
4.b
Tension U
x1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
Vitesse n
x2
-1
-1
-1
-1
+1
+1
+1
+1
Réponse
Yki(g)
22,0
23,2
17,5
17,2
31,5
32,6
24,2
22,7
Réponse
Yk(g)
Réponse
Ykest(g)
SCEAk
22,60
23,4375
0,7014
17,35
16,5125
0,7014
32,05
31,2125
0,7014
23,45
24,2875
0,7014
Tableau 2.4. Table de Fischer - Snedecor
 1

1
2
3
4
161
18,5
10,1
7,71
2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
20
199,5
19
9,55
6,94
215,7
19,16
9,28
6,59
224,6
19,25
9,12
6,39
230,2
19,3
9,01
6,26
234
19,33
8,94
6,16
236,8
19,35
8,89
6,09
239
19,4
8,85
6,04
240,5
19,38
8,81
6
241,9
19,4
8,79
5,96
243,9
19,41
8,74
5,91
245,9
19,43
8,7
5,86
248
19,45
8,66
5,8
26
27
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