Rappels

2nde CHAPITRE 13 : DROITES DANS LE PLAN
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I. Equation d’une droite
Le plan est muni d’un repère (O, I, J).
Exemple 1
Le plan est muni d’un repère (O, I, J), on considère les points A (-2 ; 1) et B (0 ; -3) .
Déterminons l’équation de la droite (AB).
1ère Méthode : A partir de l’équation réduite
pmxy
 On commence à calculer son coefficient directeur m :
2
24 20 13 
AB
AB xx yy
m
 Puis on déterminer l’ordonnée à l’origine p :
L’équation de (AB) est alors de la forme
pxy  2
Au point A, on a donc
pxy AA  2
Ce qui donne
p 221
, soit
341 p
 Finalement, la droite (AB) a pour équation
32  xy
II. Droites parallèles
Propriété 3
Deux droites d’équations respectives
pmxy
et
'px'my 
sont parallèles si, et seulement
si, elles ont même coefficient directeur
'mm 
.
Propriété 1
Toute droite du plan est caractérisée par une équation :
 une droite parallèle à l’axe des ordonnées (OJ) par une équation de la forme
cx 
 une droite non parallèle à l’axe des ordonnées par une équation de la forme
pmxy
,
c , m et p étant des nombres réels quelconques.
Définition
Soit d une droite non parallèle à l’axe (OJ). Une équation de la forme
pmxy
est appelée
équation réduite de la droite d . m est le coefficient directeur de la droite d et p est son ordonnée
à l’origine.
Propriété 2
Soit d une droite non parallèle à l’axe (OJ). Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points disctints de
d, alors le coefficient directeur
AB
AB xx yy
m
2ème Méthode : Colinéarité de deux vecteurs
 Soit
y;xM
un point de la droit (AB),
alors les vecteurs
AMAB et
sont colinéaires.
AB
AB AB yy xx
,
AB
13
20
soit
AB
4
2
AM
A
A
yy xx
,
AM
1
2
y
x
soit
AM
1 2
y
x
AMAB et
sont colinéaires si et seulement
si :
01224  yx
0624  yx
 Finalement, la droite (AB) a pour équation
32  xy
dd'
2 3 4-1-2-3
2
-1
-2
-3
0 1
1
x
y

2nde CHAPITRE 13 : DROITES DANS LE PLAN
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Exemple 2
Les droites d et d’ qui ont pour équations
y = 2x + 1 et y = 2x - 3 sont parallèles
Remarque : Droites parallèles aux axes du repère (O, I, J)
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points distincts du plans.
 la droite (AB) est parallèle à l’axe (OI) si, et seulement si,
A
y
=
B
y
; elle a alors pour équation
y
=
A
y
.
 la droite (AB) est parallèle à l’axe (OJ) si, et seulement si,
A
x
=
B
x
; elle a alors pour équation
x
=
A
x
.
Exemple 3
Le plan est muni d’un repère (O, I, J), on considère les points A (1 ; 1), B (1 ; 3), C(-1 ;2) et D(5 ; 2) .
A
x
=
B
x
= 1, donc la droite (AB) est parallèle à l’axe (OJ) et l’équation de la droite (AB) est
x
=
1
C
y
=
D
y
= 2 donc la droite (CD) est parallèle à l’axe (OI) et l’équation de la droite (CD) est
y
=
2
III. Droites sécantes
y
Exemple 4
Soient d et d’ les droites d’équation :
32  xy
et
3 xy
du plan.
Comme 2  -1, les droites d et d’ sont sécantes en un point M.
 Pour trouver les coordonnées de M, on représente les droites d et d’
et on lie les coordonnées de leur point d’intersection M.
Ainsi M(2 ; 1).
Autre méthode :
 On a :
3
32xy xy
332 32 xx xy
63x 3-2xy
Propriété 4
Soient d et d’ deux droites du plan d’équations respectives
pmxy
et
'px'my 
.
Les droites d et d’ sont sécantes si, et seulement si, m  m’ .
Dans ce cas, le couple des coordonnées du point d’intersection des droites d et d’ est l’unique
couple solution du système :
'px'my pmxy
d
d' M
2 3 4-1-2
2
3
-1
0 1
1
x
y

2nde CHAPITRE 13 : DROITES DANS LE PLAN
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2x 1y
Ainsi les droites d et d’ sont sécantes en M(2 ; 1).