Rappels

2nde
CHAPITRE 13 : DROITES DANS LE PLAN
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I. Equation d’une droite
Le plan est muni d’un repère (O, I, J).
Propriété 1
Toute droite du plan est caractérisée par une équation :

une droite parallèle à l’axe des ordonnées (OJ) par une équation de la forme x  c

une droite non parallèle à l’axe des ordonnées par une équation de la forme y  mx  p ,
c , m et p étant des nombres réels quelconques.
Définition
Soit d une droite non parallèle à l’axe (OJ). Une équation de la forme y  mx  p est appelée
équation réduite de la droite d . m est le coefficient directeur de la droite d et p est son ordonnée
à l’origine.
Propriété 2
Soit d une droite non parallèle à l’axe (OJ). Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) sont deux points disctints de
y  yA
d, alors le coefficient directeur m  B
xB  x A
Exemple 1
Le plan est muni d’un repère (O, I, J), on considère les points A (-2 ; 1) et B (0 ; -3) .
Déterminons l’équation de la droite (AB).
1ère Méthode : A partir de l’équation réduite y  mx  p
2ème Méthode : Colinéarité de deux vecteurs
 Soit M x ; y  un point de la droit (AB),
 On commence à calculer son coefficient directeur m :
y  yA
31  4
m B


 2
x B  x A 0    2
2
Au point A, on a donc y A  2x A  p
alors les vecteurs AB et AM sont colinéaires.
x  xA 
 02  soit AB  2 
 AB  B
 , AB 

 
y

y
A
 B
 31 
  4
x  xA 


 AM 
, AM  x 2  soit AM  x 2 
 y  y 
 y  1


A



 y 1 
Ce qui donne 1  2   2  p , soit p  1 4  3

 Puis on déterminer l’ordonnée à l’origine p :
L’équation de (AB) est alors de la forme y  2x  p
AB et AM sont colinéaires si et seulement
si :
 Finalement, la droite (AB) a pour équation y  2x  3
 4  x  2  2   y  1  0
  4x  2 y  6  0
 Finalement, la droite (AB) a pour équation
II. Droites parallèles
y  2x  3
Propriété 3
Deux droites d’équations respectives y  mx  p et y  m' x  p' sont parallèles si, et seulement
si, elles ont même coefficient directeur m  m'  .
y
2
d
1
d'
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Exemple 2
Les droites d et d’ qui ont pour équations
y = 2x + 1 et
y = 2x - 3 sont parallèles
Remarque : Droites parallèles aux axes du repère (O, I, J)
Soit A(xA ; yA) et B(xB ; yB) deux points distincts du plans.
 la droite (AB) est parallèle à l’axe (OI) si, et seulement si, yA = yB ; elle a alors pour équation y =
yA .
 la droite (AB) est parallèle à l’axe (OJ) si, et seulement si, x A = x B ; elle a alors pour équation x =
xA .
Exemple 3
Le plan est muni d’un repère (O, I, J), on considère les points A (1 ; 1), B (1 ; 3), C(-1 ;2) et D(5 ; 2) .
 x A = x B = 1, donc la droite (AB) est parallèle à l’axe (OJ) et l’équation de la droite (AB) est x = 1
 yC = yD = 2 donc la droite (CD) est parallèle à l’axe (OI) et l’équation de la droite (CD) est y = 2
III. Droites sécantes
y
Propriété 4
Soient d et d’ deux droites du plan d’équations respectives y  mx  p et y  m' x  p' .
Les droites d et d’ sont sécantes si, et seulement si, m  m’ .
Dans ce cas, le couple des coordonnées du point d’intersection des droites d et d’ est l’unique
 y  mx  p
couple solution du système : 
 y  m' x  p'
Exemple 4
Soient d et d’ les droites d’équation : y  2x  3 et y  x  3 du plan.
Comme 2  -1, les droites d et d’ sont sécantes en un point M.
 Pour trouver les coordonnées de M, on représente les droites d et d’
et on lie les coordonnées de leur point d’intersection M.
Ainsi M(2 ; 1).
y
3
d
2
1
Autre méthode :
 y  2x  3
 y  2x  3
 
 y  x  3
2x  3  x  3
 On a : 
-2
-1
0
-1
 y  2x - 3
 
 3x  6
d'
1
M
2
3
4 x
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y  1
 
x  2
Ainsi les droites d et d’ sont sécantes en M(2 ; 1).