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Probabilités
Exercice
Un quincailler achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes :
20% au premier fournisseur, 50% au deuxième et 30% au troisième fournisseur. Le premier
fournisseur fabrique 97% d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique 98%
d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique 95% d’ampoules sans défaut.
1) On choisit une ampoule au hasard dans le stock.
On note : D l’événement « l’ampoule est défectueuse »
F1 L’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur »
F2 L’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur »
F3 L’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur »
a) Montrer que P  D  0.031
b) Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne du
premier fournisseur ?
2) On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit
défectueuse.
3) La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi exponentielle de paramètre :
  2.105 .
a) Quelle est la probabilité P1 qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner la valeur exacte
de P1 .
b) Quelle est la probabilité P2 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner la valeur exacte
de P2 .
c) Quelle est la probabilité P3 qu’une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu’elle a déjà
duré 25000 heurs ?
CORRECTION :
97 % Sans défection
P1
98% Sans défection
P2
20%
50%
3% en défection
2% en défection
95% Sans défection
P3
30%
5% en défection
a) P  D  P  D  P1   P  D  P2   P  D  P3  P  F1 .P  D/ F1   P  F2   P  D/ F2   P  F3 .P  D/ F3 
P D 
3
20
2
5
5
30





 0.031
100 100 100 100 100 100
b) P  F1 / D  
P  F1  D 
P  D
3
 20
100  0.193  6
 100
0.031
31
2) X  0;1 ; P  X  o   1  P  D   1  0.03112  0.68 ;
12
P  X  1  P  D  1  P  D   C112  0.0311  0.031 12  0.26
11
3)   2.105 ; a) P1  P  X  25000  ea  e2.10
5
b) P2  P  X  50000   ea  e2.10
5
50000
 e1 
25000
 e0.5
1
e
P  X  50000  X  25000 
c) P3  P  X  50000 / X  25000  
P  X  0  P  X  1  0.68  0.26  0.94
;
11
P  X  25000 

P  X  50000 
P1
1
P2
0.51

 e  e1  e0.5  e
 e 0.5
P1 e0.5
 Ex :
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est Vraie ou Fausse en justifiant la
réponse.
Proposition N°1 :
Il existe deux évènements A et B tels que P  A  0.8 ; P  B  0.4 et P  A  B  0.1
Proposition N°2 :
G
A
0.35
H
0.7
x
Si les évènements A et G sont indépendants alors x  0.3
G
B
H
Proposition N°3 :
Si f est une solution dans IR de l’équation différentielle  E  : y' y  x 1 telle que f  0  f 1
1
alors  f  x  dx 
0
1
2
CORRECTION :
1) P  A  B  P  A  P  B  P  A  B  0.8  0.4  0.1  1.1  1 Faux.
2) A et G sont indépendants signifie P  A  G   P  A  P G 
P  A  G   0.3  0.35  0.105 ; P  A   0.35 et P  G   0.3 0.35  x  0.65  0.105  0.35   0.3 0.35  x  0.65
 0.3  0.3  0.35  x  0.65  x  0.65  0.195  x  0.3 Vrai.
3)  E  : y' y  x 1

1
0
f  x  dx 
; f  0  f 1 ; f est une solution de  E   f ' f  x  1  f  x  1  f '
1
1
1
1

Faux
x  1  f 'dx   x 2  x  f  x     1  f 1  0  0  f  0   
0
2
2
0 2

1
 Ex :
On considère les épreuves de courses de 100 m et 200 m lors des meetings internationaux
d’athlétisme. On s’intéresse au nombre des faux départs survenant lors de ces épreuves. On
rappelle qu’un faux départ est le démarrage d’un athlète avant le signal de départ donné par le
starter à la suite de quoi on doit donner un nouveau signal de départ.
Les statistiques des données précédentes ont permis d’établir les données suivantes :
a. La probabilité qu’il y ait un faux départ au premier signal est 0.25 .
b. Quand il y a un faux départ au premier signal, la probabilité qu’il y ait de nouveau un faux départ
au deuxième signal est 0.08 .
c. Il n’y a jamais de faux départ au troisième signal.
On notera :
i.
F1 l’évènement : « Il y a un faux départ au premier signal »
ii.
F2 l’évènement : « Il y a un faux départ au deuxième signal »
1) Représenter ces données par un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement un faux départ.
3) Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de faux départs lors d’une épreuve
quelconque.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que dans 25% des épreuves il y a au moins un faux départ.
4) Lors d’un quart de finale au 100 m, on fait courir les athlètes en quatre séries indépendantes.
Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux séries sans faux départ au premier signal lors de
ce quart de finale.
CORRECTION :
1)
0.08
F2
F1
0.25
0.92
0.75
F1
F2
2) On note A : « il y a exactement un faux départ » ; P  A   P  F1 F2   0.25  0.92  0.23
3) a) X  E    0 ; 1 ; 2  ; P  X  0  0.75 ; P X  1  P A   0.23 ; P X  2   0.25 0.08  0.02
D’où la loi de probabilité de X est le suivant :
xi
0
1
2
Pi
0.75
0.23
0.02
b) On note B : « il y a au moins un faux départ » ; P  B  P  X  1  P X  2   0.23  0.02  0.25 Ainsi dans
25% des épreuves, il y a au moins un faux départ.
4) On note C : « il y a exactement deux séries sans faux départ au premier signal »
P  C  C24  0.75 .25  0.21
2
2
 Ex :
On dispose d’une urne U1 contenant trois boules blanches et deux boules noires, d’une urne U 2
contenant deux boules blanches et quatre boules noires et d’un dé équilibré à six faces numérotées
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3.
1) On tire au hasard et simultanément trois boules de U1 et on désigne par X la variable aléatoire
prenant pour valeur le nombre de boules blanches obtenues.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique de X et son écart-type.
2) De l’une des deux urnes U1 et U2 choisie au hasard, calculer la probabilité pour que l’urne où
s’est fait le tirage soit U1 .
3) On lance une fois le dé, si le numéro 3 apparaît, on tire simultanément trois de U1 , sinon on tire
successivement et sans remise deux boules de U 2 .
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Obtenir une seule boule blanche »
et B : « Tirer au moins une boule noire »
CORRECTION :
1) a) X  E    1 ; 2 ; 3  , P  X  1 
C13  C22
C35

C2  C1
C3
3
6
1
 0.3 ; P  X  2  3 3 2 
 0.6 ; P  X  3  33 
 0.1
10
10
C5
C5 10
D’où la loi de probabilité de X est le suivant :
xi
1
2
3
Pi
0.3
0.6
0.1
3
b) E  X    x i pi 
i 1
3  12  3 18 9

  1.8
10
10 5
;   X  V  X
2
3
2
9
3  24  9 81 18 81 9
3

 

Or V  X   E  X 2    E  X     x i2 pi    
Ainsi   X  
i 1
5
10
25
5
25
25
5
2) On note B : « Tirer une boule blanche » ; U1 : « Choisir l’urne U1 »
P  U1 / B  
P  U1 / B  
3) P  3 
P  U1  B 
P  B
1 3
2 5
Or P  U1  B    
3
1 3 1 2 3 1 14
et P  B      
 
10
2 5 2 6 10 6 30
d’où
3 30 9


10 14 14
2
4
; P  2 
6
6
2
6
4 2 4
6 6 5
1 3 2 1 4
1 16 41
   2 


3 10 3 3 5
10 45 90
; P  A   P  3  A   P  2  A    P X  1      2  
2
4 A2 
4  83
1 1 2 2 
 1
P  B  1  P B  1    P  X  3   22   1        1     
6 A6 
 3 10 3 30 
 30 90  90
 6
 
 Ex :
1) Pour une entreprise de construction d’ordinateurs, 60% de la production est testée valable à la
vente, l’autre partie est révisée puis testée et donne 70% de postes valables à la vente et le reste est
révisé une 2ième fois puis vendu. Un appareil non révisé coûte 1000 D à l’entreprise, une 1ière
révision coûte 50D et une 2ième révision coûte 150D. On s’impose à l’entreprise de vendre ses
appareils à 1100D l’unité. Soit X la variable aléatoire définie par le gain algébrique de l’entreprise.
a) Déterminer la loi de X et dire si cette affaire est rentable.
b) Définir la fonction F de répartition de X et la représenter.
2) J’ai acheté un de ces ordinateurs, lorsque je lui demande de tracer un segment de 12 cm, il trace,
d’une façon aléatoire, un segment de longueur l compris entre 11.7 cm et 12.2 cm.
a) Calculer la probabilité P pour que l soit comprise entre 11.9 et 12 cm.
b) lorsque je lui demande le tracé d’un losange de côté 12 cm, il trace successivement les quartes
côtés.
* Calculer la probabilité P2 d’avoir un losange.
;
* Calculer la probabilité P3 d’avoir un
quadrilatère dont les côtés ont pour longueur entre 11.9 et 12 cm.
3) Mon ordinateur a une garantie de 3 ans et une durée de vie en année qui suit une loi
exponentielle de paramètre 0.2.
a) Calculer la probabilité P4 pour que mon ordinateur tombe en panne pendant la période de
garantie.
b) Mon ordinateur n’est pas tombé en panne pendant la période de garantie, Calculer les
probabilités suivantes :
* P5 : Pour qu’il tombe en panne l’année d’après.
* P6 : Pour qu’il tombe en panne après l’année qui suit.
c) Une association achète 10 ordinateurs de cette entreprise identiques au mien.
Calculer les probabilités suivantes :
* P7 : pour que 3 de ces ordinateurs tombent en panne pendant la période de garantie.
* P8 : pour qu’au moins 2 ordinateurs tombent en panne après une année de la période de garantie.
 Ex :
A) La durée de vie (en année) d’un appareil électronique est une variable aléatoire X qui suit une loi
exponentielle de paramètre   0.16 .
1) a) Calculer P  X  8 .
b) Calculer la probabilité pour que l’appareil ait une durée de vie inférieure à trois mois.
c) Déterminer T tel que P  X  T   4P  X  T  .
2) Sachant qu’un appareil a déjà dépassé six ans, Quelle est la probabilité qu’il fonctionne quatre
ans de plus ?
3) Une personne achète n appareils électroniques identiques  n  IN*  du modèle précédent.
On suppose que la durée de vie d’un appareil est indépendante de cette des autres.
a) Exprimer en fonction de n la probabilité Pn qu’au moins un appareil fonctionne plus que huit ans.
b) Déterminer n pour que Pn  0.998 .
B) On a représenté une expérience aléatoire par l’arbre de probabilité ci-dessous.
B
A
0.3
B
B
A
B
0.8
Sachant que P  B  0.41
1) Calculer P  A  B
;
2) Compléter l’arbre
2) Les épreuves A et B sont les indépendantes ?
 Ex :
Un groupe de 20 personnes décide d’aller au cinéma deux samedis de suite pour avoir deux films
A et B.
d. Le premier samedi 8 personnes vont avoir le film A et les autres vont voir le film B.
e. Le deuxième samedi 2 personnes décident de revoir le film A, 4 personnes décident de revoir le
film B et les autres vont voir le film qu’elles n’ont pas vu la semaine précédente.
Après la deuxième semaine on interroge au hasard une personne de ce groupe.
1) a) Calculer la probabilité des évènements suivants :
A1 « La personne interrogée a vu le film A le premier samedi »
A 2 « La personne interrogée a vu le film A le deuxième samedi »
b) Calculer P  A1 / A2  .
2) Le prix d’un billet pour le film A est de 3 dinars et celui du film B est de 2 dinars. On appelle X
l’aléa-numérique égale au coût total pour la personne interrogée des deux séances de cinéma.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Déterminer E  X 
;
3) Un sondage auprès de n groupes identiques (de 20 personnes) avec  n  2  s’intéresse à
l’évènement S « la personne interrogée a vu les deux films A et B durant les deux samedis »
On arrête le sondage dès que S soit réalisé.
Soit Y l’aléa-numérique qui prend pour valeur 0 si S n’est pas réalisé dans chacun de n groupes si
non il sera défini par le rang k où le sondage s’arrête avec 1  k  n  .
a) Montrer que pour tout entier k  1 ; 2 ; ....... ; n  ; P  Y  k   
3

 10 
k 1
b) On pose f  x   1  x  x 2  .....  x n pour x  0;1 . Vérifier que f '  x  
E Y 
10   3 
n
7   10 
 Ex :
n 1
 7
 10 
 
nx n 1   n  1 x n  1
 x  12
. En déduire que
n

 3
  n  1    1

 10 

Dans un atelier de couture on sait que 20% des machines sont sous garantie.
Parmi les machines sous garantie 1% sont défectueuses. Parmi les machines qui ne sont pas sous
garantie 10% sont défectueuses. On considère les évènements suivants :
G : « La machines est sous garantie »
D : « La machine est défectueuse »
?
D
?
?
D
?
?
D
?
G
?
?
G
1) On choisit une machine au hasard.
a) Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-contre
b) Déterminer la probabilité pour que la machine soit sous
garantie et défectueuse.
2) a) Déterminer la probabilité pour que la machine soit défectueuse.
b) La machine est défectueuse, calculer la probabilité pour qu’elle soit sous garantie.
3) On choisit successivement et au hasard 5 machines. Calculer la probabilité des évènements
suivants : A : « Seule la deuxième machine est sous garantie »
B : « Obtenir au moins deux machines sous garantie »
4) Soit X la variable aléatoire indiquant la durée de vie d’une machine en années. On suppose que X
suit une loi exponentielle de paramètre   0.25 . Cocher la réponse exacte :
a) La probabilité que la machine dure plus de 4 ans est : x) 1  e1 ; y) e1
;
z) e1  1
b) La probabilité que la machine dure moins de 8 ans sachant qu’elle a duré plus que 4 ans est égale
x) 1  e1 ; y) e1
;
z) e1  1
CORRECTION :
1) a)
0.01
D
G  D  0.002
0.99
D
G  D  0.198
0.1
D
G  D  0.08
G
0.2
b) P  G  D  0.002
0.8
2) a) D   D  G    D  G  or  D  G  et
0.9
 D  G  sont incompatibles
D alors

G
G  D  0.72

P  D   P  D  G   P D  G  0.002  0.08  0.082
b) P  G / D  
P  G  D
P  D

0.002
 0.0244
0.082
3) P  A   0.24  0.2   0.84  0.2  0.082
P  B  ? . Y L’aléa numérique qui correspond au nombre de machine sous garantie ; Y suit un loi
binomiale de paramètre S et 0.2 ;

P  B   P  Y  2   1   P  Y  1  P  Y  0    1  C15  0.2  0.8   C50  0.8 
4) a) P  x  4   e0.254  e1
(y)
4
5
  1  5  0.2 .8
4
  0.8 
5
  0.2627
b) P  x  8 / x  4  
P  4  x  8
P  x  4

e0.254  e0.258
e1

e1  e2
e1
 1  e 1 (x)
 Ex :
Exercice :
On considère une urne U1 contenant 2 boules blanches et 3 boules rouges et une urne U2 contenant
2 boules blanches et 2 boules rouges.
I) On tire une boule de U1 et une boule de U2 .
1)a) Calculer la probabilité de l’évènement suivant : A : « Obtenir deux boules de même couleur »
b) Sachant qu’on a obtenu deux boules de couleurs différentes, quelle est la probabilité pour que la
boule rouge soit tirée de U1 .
2) Soit X la variable aléatoire qui indique le nombre de boules blanches tirées.
a) Déterminer la loi de probabilité de X, Calculer E X  et V  X 
b) On répète l’épreuve 4 fois de suite en remettant à chaque fois la boule dans l’urne où elle est
tirée. Quelle est la probabilité de chacun des évènements suivants :
F : « Obtenir au plus une fois deux boules de même couleur »
G : « Obtenir deux boules de même couleur pour la 1ière fois à la 3ième épreuve ».
II) On considère l’épreuve suivante : On tire une boule de U1 , si elle est blanche on la garde et on tire
une autre boule de U1 , si elle est rouge on la met dans U2 et on tire successivement sans remise deux
boules de U2 . Soit Y la variable aléatoire qui indique le nombre de boules blanches obtenues au
cours de cette épreuve. Déterminer la loi de probabilité de Y.
à 1500 jours ?
CORRECTION :
2 blanches
U1 
3 rouges
2 blanches
U2 
2 rouges
;
2 2
5 4
3 2
5 4
I) 1) a) p  A      
1
2
b) B : « la boule tirée est de U1 »


p B/ A 

p BA
 
p A
2) X    0;1;2
  5  4  10  6  3
3 2
3
1
5
1
2
10
5
p  X  0 
3 2 3
 
5 4 10
;
p  X  1 
3 2 2 2 3 1 1
   
 
5 4 5 4 10 5 2
xi
0
1
2
T
Pi
3
10
1
2
1
5
1
x i pi
0
1
2
2
5
9
10
xi2 pi
0
1
2
4
5
13
10
E X 
3
x p
i i
i 1

9
10
;
V X 
3
x p
  E  X   
2
2
i i
i 1
p  X  2 
;
2 2 1
 
5 4 5
49
100
b) F : « A est réalisé au plus une fois »
 AAAA 

ou AAAA
4

3
5
1 1 1
p  F         C14 
2 2
16
2
G : « Obtenir A pour la première fois à la 3ième épreuve »
2
1 1 1
p G      
2 2 8
II) Y : nombre de boules blanches obtenues à la fin de l’épreuve.
X    0;1;2
p  Y  0 
3 3 2 9
  
5 5 4 50
p  Y  1 
;
2 3 3 2 3
33
     2! 
5 4 5 5 4
50
xi
0
1
2
T
Pi
9
50
33
50
4
25
1
;
p  X  2 
2 1 3 2 1
4
    
5 4 5 5 4 25
 Ex :
A) Au rayon de l’électronique d’un grand magasin un téléviseur et un lecteur de DVD sont en
promotion pendant une semaine. Une personne se présente :
- La probabilité qu’elle achète le téléviseur est
3
5
- La probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD qi elle achète le téléviseur est
7
10
- La probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD si elle n’achète pas le téléviseur est
1
10
.
On désigne par T : « La personne achète le téléviseur » et L : « La personne achète le lecteur de
DVD »
1) Déterminer les probabilités des évènements suivants :
a) «La personne achète les deux appareils »
DVD »
;
b) «La personne achète le lecteur
c) «La personne n’achète aucun des deux appareils »
2) Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu’elle achète aussi le
téléviseur est
21
31
3) Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500 dinars et le lecteur de DVD 200 dinars. Pendant
cette semaine, le magasin fait une remise de 15% pour l’achat d’un seul des deux appareils et 25%
pour l’achat des deux appareils. On désigne par X la dépense effective en dinars de la personne.
a) Déterminer les valeurs possibles de X
c) Calculer l’espérance mathématique de X
;
;
b) Déterminer le loi de probabilité de X
d) Le gérant du magasin prévoit qu’il se
présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. Quel chiffre d’affaires
peut – il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils ?
B) Lors de cette semaine de promotion la durée d’attente exprimée en minutes à chaque caisse de
ce magasin est modélisée par une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de
paramètre     0 .
1) a) Déterminer  sachant que P  Y  10  0.7 . On prendra dans la suite   0.12
b) Calculer P  Y  50 / Y  10
2) On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce magasin est indépendante de celles des
autres caisses. Il y a 6 caisses sont ouvertes, On désigne par Z l’aléa numérique qui représente le
nombre de caisses pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes.
a) Calculer P  Z  2
;
b) Calculer l’espérance E  Z
c) Le gérant ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 5 des 6 caisses est
supérieur à 10 minutes. Calculer la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.
 Ex :
Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage de la maladie responsable de
disparition d’une population animale. Le test fournit les renseignements suivants :
La population testée comporte 60% d’animaux malades.
Si un animal est malade, le test est positif dans 98% des cas.
Si un animal n’est pas malade, le test est positif dans 3% des cas.
On note M l’évènement « L’animal est malade » et T l’évènement « Le test est positif »
1) a) Donner un arbre des choix associé à cette épreuve.
b) Montrer que P  T   0.6
;
c) Calculer alors P  M / T 
On suppose qu’un virus responsable de cette maladie a une durée de vie X, exprimée en heures, qui
suit une loi exponentielle de paramètre   0.01
2) a) Quelle est la probabilité pour que le virus persiste dans l’organisme animal plus que 4 jours.
b) Sachant que le virus a persisté plus que 4 jours, quelle est la probabilité qu’il persiste moins
qu’une semaine.
c) Déterminer, en jours et a une heure prés, le temps T tel que P  X  T   P  X  T 
3) a) Déterminer, en heures, la durée de vie moyenne d’un virus.
b) Déterminer et construire la fonction de répartition de X.
 Ex :
Un QCM comporte quatre questions :
A chaque question, trois réponses sont proposées dont un seul est exact. Anis répond à chacune des
quatre questions. Pour chaque question, soit il connait la réponse et répond de façon exacte, soit il
ne la connait pas et dans ce cas il répond au hasard. On suppose, de plus, que la probabilité que Anis
connaisse la réponse à une question donnée est égale à
1
. On note C l’évènement : « Anis connait la
2
réponse » et J l’évènement : « La réponse est juste ».
1) a) Anis répond à une question du QCM. Construire un arbre de choix décrivant la situation.
b) Montrer que P  J  
2
3
c) Calculer la probabilité que Anis connaisse la réponse sachant que sa réponse est juste.
2) On attribue la note 1 à toute réponse juste et la note  0.5 à toute réponse fausse. Si le total des
points est négatif, la note globale attribuée au QCM est 0. Soit X la note attribuée par Anis à ce QCM.
a) Déterminer la loi de probabilité de X ; b)Quelle est la probabilité que Anis ait au moins 2 points à
ce QCM ?
c) En supposant que tous les élèves se comportent comme Anis, Quelle moyenne (arrondie à
l’unité) peut-on attendre à ce QCM ?
CORRECTION
J
1
1) a)1
C
2
J
0
1
2
1
3
C
J
J
2
3
b) P  J   P  C  J   P  C  J   1     
1
2
c) P  C / J  
P C  J
P J
1 1
2 3
1
2
1
6
1
1
P  C  J   1 
2
2
;
2
3
1
2
3
P  J   d’où P  C / J   2 
2 4
3
3
et
2) 1 1 1 1  4 ; 1 1 1  05  2.5 ; 1 1  0.5  0.5  1 ; 1  0.5  0.5  0.5  0.5 ;  0.5  0.5  0.5  0.5  2
4
3
2
3
1
2 1
9
2
1
24
a) X  E  0.1 ; 2.5 ; 4 ; P  X  0      C14  
; P  X  1      C24 
;
  
3
3
32
 2 1
P  X  2.5        C14 
81
 3  3
 3  3 
0
1
2.5
4
Pi
9
81
24
81
32
81
16
81
4
i 1
81
4
xi
c) E  X    x i pi 
 3  3
16
2
P  X  4    
d’où la loi de probabilité de X :
81
3
;
b) P  X  2   P  X  2.5   P  X  4  
81
48
81
24 80 64
 
 2.07
81 81 81
donc la moyenne attendu à ce QCM est 2.
 Ex :
Dans une ferme, on produit des œufs de trois tailles différentes : des petits (P) dans la proportion
de 20% ; des moyens (M) dans la proportion de 50% et des gros (G) dans la proportion de 30%. Ils
sont de deux qualités : Ordinaire (O) et supérieure (S). on a remarqué que : 80% des petits œufs
sont de qualité ordinaire ; 50% des œufs moyens sont de qualité ordinaire et 20% des gros œufs
sont de qualité ordinaire.
1) On prend un œuf au hasard, Quelle est la probabilité pour qu’il soit :
a) De petite taille et de qualité supérieure ; b) De qualité ordinaire
; c) De qualité supérieure
2) a) Montrer que la probabilité pour qu’un œuf soit gros et de qualité supérieure est égale à 0.24
b) On remplit au hasard une boite de 12 œufs. On suppose que les choix des œufs sont
indépendantes les uns des autres.
Quelle est la probabilité pour que cette boite contienne au moins deux gros œufs et de qualité
supérieure.
1) a) P  P  S  
20 20
1


100 100 25
S
O
P S
MO
S
M S
20%
O
G O
80%
S
G S
50%
M
50%
30%
53
 0.53
100
2) a) PG  S  PG  PS/G 
20%
50%
20%
20 80
50 50
80 20
47






 0.47
100 100 100 100 100 100 100
c) P  S   1  P O  
P O
P
b) PO  PP  O  PM  O  PG  O

O
80%
CORRECTION :
G
30 80
24


 0.24
100 100 100
b) A : « La boite contient au moins deux gros œufs et de qualité supérieure »
 
P  A   1  P A  1   0.76 

12
11
 C112 0.24 0.76    0.82

 Ex :
Une cage contient dix souris : cinq blanches (trois femelles et deux mâles), trois grises toutes
femelles et deux marrons (un mâle et une femelle). Une épreuve consiste à retirer simultanément et
au hasard trois souris de la cage.
1) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Les trois souris retirées sont de même sexe » ; B : « Les trois souris retirées sont de même
couleur »
2) Sachant que les trois souris retirées sont femelles, Calculer la probabilité pour qu’elles soient de
même couleur
3) On désigne par X l’aléa numérique qui à chaque tirage associe le nombre de souris blanches
obtenues.
a) Etablir la loi de broyabilité de X ; b) Calculer son espérance mathématique et sa variance.
CORRECTION :
3 femelles
2 males
5 souris blanches : 
1) P  A  
un male
une femelle
; 3 souris grises : 3 femelles ; 2souris marrons : 
cardA C37  C33 36
3



3
cardE
120
10
C10
; P A  
cardB C35  C33 11


cardE
120
C310
2) Soit l’évènement F : « Les trois souris retirées sont femelles »
P  B/F  
PB  F 
PF
; PF  
X  0 ; 1 ; 2 ; 3 
P  X  2 
C52  C51
C310
C37
C310
C3  C3
35
2
2
; PB  F   3 3 3 
 P  B/F  
120
120
35
C10
P  X  0 
;


50
5

120 12
C35
C310

10
1

120 12
;
P  X  3 
xi
0
1
2
3
Pi
1
12
5
12
5
12
1
12
4
b) E  X    x i pi  0 
i 1
  
V  X   E X2  E  X 
5 10 3 18 3




12 12 12 12 2
2
4
   x2ipi   32 
2
i 1
;
C35
C310

10
1

120 12
P  X  1 
C15  C52
C310

50
5
;

120 12
d’où la loi de probabilité de X :
;
2

5 20 9  3  17 9 7




 
12 12 12  2 
6 4 12
 Ex : 1
Soit A et B deux évènements indépendants tel que : P A   0.6 et PB  0.5 alors :
a) P A  B 
* 0.7
* 0.3
* 0.2
b) P A  B 
* 0.8
* 0.3
* 0.2
c) P  A/B 
* 0.6
* 0.4
* 0.1
0.5
B
0.5
B
A
0.8
B
0.8
A
B
2) Un expérience aléatoire est représentée par l’arbre pondéré ci-contre où A et B sont deux
évènements et A et B sont leurs évènements contraires respectifs.
a) P A  B 
* 0.4
* 0.7
* 0.1
b) Sachant que P B  0.34 alors PB/A  
* 0.3
* 0.24
* 0.8
CORRECTION :
1) a) 0.3
et
b) 0.8
et
c) 0.4
;
2) a) 0.1
et
b) 0.3
EXERCICE :
1) Une urne contient 80 boules blanches et 20 boules noires indiscernables au toucher. On effectue
n tirages successives avec remise. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de
boules blanches tirées alors :
a) P X  0 
*) 0.2
b) P X  1 
*) 0.8
n 1
 0.8
n
*) n  0.8
n 1
*) n  0.8  0.2
n 1
0.2
*) 0.2  0.6
*) 0.2
n
n
n
2) Soit X une variable qui suit une loi binomiale de paramètre a et p, On a :
a) E2X  
*) 2np1  p
*) 4np1  p
*) np1  p
b) V 2X 
*) np1  p
*) 4np1  p
*) 2np1  p
3) Le choix d’un réel de l’intervalle 1;4 se fait suivant la loi uniforme :
2
3
a) La probabilité pour que l’on ait 2  x  3 est :
*) 1
;
*)
b) La probabilité pour qu’il soit un entier naturel est :
*) 0
;
*) 1
;
*)
;
*)
c) On choisit au hasard deux réels a et b de l’intervalle 1 ; 4 et on considère l’ensemble suivant:
T : ax2  by2  1 dans un repère orthonormé ; La probabilité pour T soit une hyperbole est :
*)
8
25
;
*)
4
25
;
*)
2
5
.
4
5
5
6
4) Soit X la variable aléatoire indiquant la durée de vie d’une machine en années. On suppose que X
suit une loi exponentielle de paramètre 0.25 alors :
a) La fonction densité de X est : *) e0.25x
;
*) 0.25e0.25x
;
*) 0.25e0.25x
b) La probabilité que la machine dure plus de 4 ans est égala à : *) 1  e1
; *) e1
*) e1  1
;
5) Soit X une variable aléatoire qui suit une loi continue
dont la courbe de sa fonction de répartition donnée cicontre.
1
1
1
a) la fonction densité f  x  de X est : *)
; *)
2
4
3

b P X   

4
*)
3
4
*)
7
8
*)
; *) e2x
1
3
8
1
CORRECTION :
1) a) 0.2n ; b) n 0.80.2n1
2) a) 2np1  p ; b) 4np1  p
3) a)
4
; b) 0
5
; c)
8
25
4) a) 0.25e0.25x ; b) e1
5) a)
1
2
; b)
;
c) e1  1
7
8
Exercice :
Une caisse d’assurance maladie propose à ses affiliés une modalité d’hospitalisation m.
Les employés d’une entreprises sont tous affiliés à cette caisse d’assurance et on sait que :
 Le
1
3
des employés choisissent la modalité m.
 Parmi les employés qui ont choisi la modalité m, 80% sont atteints d’une maladie chronique
 Parmi les employés qui n’ont pas choisi la modalité m, 75% sont atteints d’une maladie
chronique
On choisit un employé au hasard et on considère les évènements suivants :
M : « L’employé choisit la modalité m » et C : « L’employé est atteint d’une maladie chronique »
1) a) Déterminer les probabilités suivantes : PM
;
b) Construire un arbre pondéré décrivant cette situation.
P C/M 
et

P C/M

2) a) Calculer la probabilité que cet employé ait choisit la modalité m et soit atteint d’une maladie
chronique.
b) Calculer la probabilité que cet employé n’ai pas choisi la modalité m et soit atteint d’une maladie
C) En déduire P C 
chronique.
3) Soit l’évènement E : « L’employé choisit la modalité m sachant qu’il est atteint d’une maladie
chronique » Montrer que P  E  
8
.
23
CORRECTION :
1) a) P  M  
1
3
P  C/M   0.8
;
et


P C/M  0.75
b)
CM
0.8
M
1
3
CM
0.2
2
3
CM
0.75
M
CM
0.25
1
3
2) a) P  C  M   0.8  
4
15
;
b) P  C  M   0.75  
2
3
1
2
; c) C  C  M  C  M or
C  M et C  M sont incompatibles donc P C   P C  M   P C  M   15  2  30
4
3) L’évènement E est M / C donc P  E 
P C  M 
P C 
1
23
4
8
 15 
23 23
30
Exercice :
Une usine fabrique des appareils électroniques identiques de deux types A « premier choix » et
B « deuxième choix » telle que :

40% de la production est de type A et le reste est de type B.

La durée de vie (en heures) d’un appareil de type A suit une loi exponentielle de
paramètre 1  103 et celle de type B suit une loi exponentielle de paramètre 2  5 103
Dans tout l’exercice les résultats seront arrondis à 102 prés
1) on achète un appareil au hasard sans connaître le type, on désigne par X la variable aléatoire
indiquant la durée de vie de cet appareil.
2
5
3
5
a) Montrer que pour tout t  IR  ; p  X  t   e 1t  e 2 t .
b) Déterminer la probabilité pour que la durée de vie de cet appareil dépasse 500 heures.
c) Sachant que l’appareil acheté a dépassé 500 heures, quelle est la probabilité pour qu’il soit du
deuxième choix ?
2) On pose g  x  
1
5
 t  2 e
x
1
0
1t

 3 2 e  2 t dt pour tout x  IR
Calculer g  x  en fonction de x et déterminer la limite de g quand x tend vers 
3) Un client achète n appareils électroniques  n  2  du modèle précédent sans connaître le type. Soit
Y l’aléa numérique définie par le nombre d’appareils dont la durée de vie dépasse 500 heures.
a) Déterminer la loi de probabilité de Y. Calculer E  Y  .
b) Exprimer en fonction de n la probabilité pn qu’au moins un appareil fonctionne plus que 500
heures
c) Déterminer le plus petit entier naturel n pour lequel pn  0.999
CORRECTION :
Soit A : « 40% de la population de type A » et B : « 60% de la population de type B »
1) a)  X  t    X  t   A    X  t   B or  X  t   A  et  X  t   B sont incompatibles donc
p  X  t   p  X  t   A   p  X  t   B  e 1t
2
5
3
5
b) p  X  500   e50010  e
c) p  B /  X  500   
3

500 5103
p  B   X  500  
p  X  500 
40
60 2 1t 3  2 t
 e  2 t
 e
 e
100
100 5
5
  2 e0.5  3 e2.5
5
5
3 2.5
e
5

2 0.5 3 2.5
e
 e
5
5
2) On pose U  t   t  U '  t   1 ; V '  t   21e1t  32e2 t donc V  t   2e1t  3e2 t donc :


x
g  x    t 2e 1t  3e 2 t  

0
 2xe1x  3e 2 x 
lim g  x   lim
x 
x 
  2e
x
1t
 3e
2 t
0
 dt  x  2e
1x
 3e
2 x

x
 2
3 2 t 
   e 1t 
e

3
 1
0
2 1x 3  2 x
2
3
e

e
 
1
2
1  2




2
3
2
3 2 x 2
3
2
3
1xe1x 
 2 xe2 x  e1x 
e
 


1
2
1
2
1  2 1  2
3) a) Y suit une loi binomiale de paramètre n et p  X  500 .
p  Y  k   Ckn  p  Y  500   1  p  Y  500  
k
n k
2
5
3
5
Avec k 0 ; 1 ; ........... ; n 1 avec p  Y  500   e 0.5  e 2.5
E  Y  np  Y  500
b) Soit : D n : « aucun appareil fonctionne plus que 500 heures »
 
 
3
2

pn  p Dn  1  p Dn  1  p  Y  0   1   e 0.5  e 2.5 
5
5

n
n
n
c) pn  0.999  1   e0.5  e2.5   0.999   e0.5  e2.5   0.001  nL og  e0.5  e2.5   L og  0.001
2
5
3
5

2
5
3
5

2
5
3
5

EXERCICE :
Une entreprise fabrique des calculatrices. Un contrôle de qualité a montré que chaque calculatrice
fabriquée par cette entreprise pouvait présenter deux types de défauts indépendants a et b. une
calculatrice est dite défectueuse si elle présente au moins l’un des deux défauts.
On considère le deux évènements suivants :
A : « Une calculatrice fabriquée présente le défaut a »
B : « Une calculatrice fabriquée présente le défaut b »
On suppose que les probabilités de A et B sont : p  A   0.01 et p B  0.03 .
1) a) Calculer p  A  B
b)En déduire que la probabilité pour qu’une calculatrice fabriquée soit défectueuse est égale à
0.0397
2) Une librairie passe une commande de 20 calculatrices. Calculer la probabilité pour que deux
calculatrices dans cette commande soient défectueuses.
3) La librairie exige que sur une commande d’un nombre n de calculatrices, la probabilité d’avoir au
moins une calculatrice défectueuse reste inférieure à 50%. Déterminer le nombre maximum de
calculatrices qu’elle peut commander.
CORRECTION :
1) a) p  A  B  p  A  p  B/ A   p  A   p  B  0.01 0.03  0.0003
b) p  A  B  p  A  p  B  p  A  B  0.0397
2) p  C220  0.0397 2  0.960318 0.14
3) 1   0.9603n  0.5  nIn  0.9603  In  0.5   n 
In  0.5
In  0.9603
 17.11 donc le nombre maximum est n  17
EXERCICE :
Sami reçoit dans son bureau des communications téléphoniques à travers un téléphone muni d’un
répondeur.
-
lorsqu’il sort de son bureau il met toujours en marche le répondeur.
-
Lorsqu’il est présent dans son bureau, il met en marche le répondeur une fois sur quatre.
-
Lorsque un client téléphone, la probabilité pour que le répondeur est égale à
2
3
1) Un client téléphone et on considère les deux évènements :
A : « Sami est présent dans son bureau » ; R : « Le client reçoit la réponse par le répondeur »
a) Déterminer pR  ; pR/A  et pR/A 
; En déduire que p  A  
4
9
2) Un client téléphone, le répondeur répond. Quelle est la probabilité que Sami soit présent dans
son bureau ?
3) Soit n un entier naturel non nul et différent de 1, n clients contactent par téléphone le bureau l’un
après l’autre de façon indépendante. On considère l’évènement B : « Sami répond à au moins deux
n
n2
2
clients ». Montrer que p  B  pn  1      
33
3
n 1
en déduire lim pn
n 
4) La durée de vie en année du répondeur suit une loi exponentielle de paramètre  . Déterminer 
sachant que la probabilité que cet appareil tombe en panne avant la fin de la seconde année est 0.2
CORRECTION :
1) a) p  R  
2
1
; pR / A  
et
3
4


p R/A 1
b) Soit p A   x
A
1
4
R
3
R
x
On a p R   p R  A   p R  A   x  11  x  or p  R   donc  x  1  x  x 
1
4
2) p  A/R  
p A  R 
pR 

pR / A  p A 
pR 
2
3

n
n 1

1  pR    1   32 

On a : lim    0 car  1   1 ; lim  
n  3  3 
n   3 
3
2
 lim
n 
2
 Logn
n
 Log 
n
3

2e
lim en  0
n 
2
1
4
4
9
1 4

1
4 9
2
6
3
3) pn  1  p  B  1   p  R    C1n  p  R  
n
2
3
n 2
n 1
n
2
 n 
3
n 1
n
n
n 1
1
n2
2
  1    
3
33
3

2
2
nLog
Logn  nLog
 2
3  lim 2e
3
 lim 2n    lim 2ne
n
n
n
 3
Logn
2
2
2
 Logn
 Log  0  Log  0 et lim n    lim n 
 Log    et
n  n
n 
n   n
3
3
3
 0 (car : lim
et par suite lim pn  1
n
4) X : durée de vie en années du répondeur ; X suit une loi exponentielle de paramètre  .
1
p  X  2  0.6  1  e2  0.6  e2  0.4  2  Log0.4     Log0.4
2