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Probabilités
Exercice
Un quincailler achète des ampoules à trois fournisseurs dans les proportions suivantes :
20%
au premier fournisseur,
50%
au deuxième et
30%
au troisième fournisseur. Le premier
fournisseur fabrique
97%
d’ampoules sans défaut, le deuxième fournisseur fabrique
98%
d’ampoules sans défaut, le troisième fournisseur fabrique
95%
d’ampoules sans défaut.
1) On choisit une ampoule au hasard dans le stock.
On note :
D
l’événement « l’ampoule est défectueuse »
1
F
L’événement « l’ampoule provient du premier fournisseur »
2
F
L’événement « l’ampoule provient du deuxième fournisseur »
3
F
L’événement « l’ampoule provient du troisième fournisseur »
a) Montrer que
P D 0.031
b) Sachant que l’ampoule choisie est défectueuse, quelle est la probabilité qu’elle provienne du
premier fournisseur ?
2) On monte 12 ampoules sur un lustre. Calculer la probabilité R qu’une ampoule au plus soit
défectueuse.
3) La durée de vie en heures d’une ampoule, notée T, suit une loi exponentielle de paramètre :
5
2.10
.
a) Quelle est la probabilité
1
P
qu’une ampoule dure plus de 25000 heures ? Donner la valeur exacte
de
1
P
.
b) Quelle est la probabilité
2
P
qu’une ampoule dure plus de 50000 heures ? Donner la valeur exacte
de
2
P
.
c) Quelle est la probabilité
3
P
qu’une ampoule dure plus de 50000 heures, sachant qu’elle a déjà
duré 25000 heurs ?
CORRECTION :
1
P
20%
97%
Sans défection
3%
en défection
2
P
50%
98%
Sans défection
2%
en défection
3
P
30%
95%
Sans défection
5%
en défection

 Ex :
a)
1 2 3
P D P D P P D P P D P     
1 1 2 2 3 3
P F .P D/F P F P D/F P F .P D/F  
3 20 2 5 5 30
P D 0.031
100 100 100 100 100 100
b)
1
1
3 20
P F D 6
100 100
P F /D 0.193
P D 0.031 31
2)
X 0;1
;
12 12
P X o 1 P D 1 0.031 0.68
;
11 11
1
12
P X 1 P D 1 P D C 0.031 1 0.031 12 0.26
;
P X 0 P X 1 0.68 0.26 0.94     
3)
5
2.10
; a)
5
a 2.10 25000 0.5
1
P P X 25000 e e e
b)
5
a 2.10 50000 1
21
P P X 50000 e e e e
c)
0.5 1
1 0.5 0.5
2
30.5
11
1
P X 50000 X 25000 P X 50000 Pe
P P X 50000/X 25000 e e e e
P X 25000 P P e
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est Vraie ou Fausse en justifiant la
réponse.
Proposition N°1 :
Il existe deux évènements A et B tels que
P A 0.8 ; P B 0.4 et P A B 0.1   
Proposition N°2 :
Si les évènements A et G sont indépendants alors
x 0.3
Proposition N°3 :
Si f est une solution dans IR de l’équation différentielle
E :y' y x 1
telle que
f 0 f 1
alors
1
0
1
f x dx 2
CORRECTION :
1)
P A B P A P B P A B 0.8 0.4 0.1 1.1 1         
Faux.
2) A et G sont indépendants signifie
P A G P A P G  
x
0.35
A
G
H
0.7
B
G
H

 Ex :
P A G 0.3 0.35 0.105   
;
P A 0.35
et
P G 0.3 0.35 x 0.65   
0.105 0.35 0.3 0.35 x 0.65     
0.3 0.3 0.35 x 0.65 x 0.65 0.195 x 0.3         
Vrai.
3)
E :y' y x 1 ; f 0 f 1   
; f est une solution de
E
f ' f x 1 f x 1 f '       
1
11 2
00 0
1 1 1
f x dx x 1 f 'dx x x f x 1 f 1 0 0 f 0
2 2 2
Faux
On considère les épreuves de courses de 100 m et 200 m lors des meetings internationaux
d’athlétisme. On s’intéresse au nombre des faux départs survenant lors de ces épreuves. On
rappelle qu’un faux départ est le démarrage d’un athlète avant le signal de départ donné par le
starter à la suite de quoi on doit donner un nouveau signal de départ.
Les statistiques des données précédentes ont permis d’établir les données suivantes :
a. La probabilité qu’il y ait un faux départ au premier signal est
0.25
.
b. Quand il y a un faux départ au premier signal, la probabilité qu’il y ait de nouveau un faux départ
au deuxième signal est
0.08
.
c. Il n’y a jamais de faux départ au troisième signal.
On notera :
i.
1
F
l’évènement : « Il y a un faux départ au premier signal »
ii.
2
F
l’évènement : « Il y a un faux départ au deuxième signal »
1) Représenter ces données par un arbre de probabilité.
2) Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement un faux départ.
3) Soit X la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de faux départs lors d’une épreuve
quelconque.
a) Déterminer la loi de probabilité de X.
b) Montrer que dans 25% des épreuves il y a au moins un faux départ.
4) Lors d’un quart de finale au 100 m, on fait courir les athlètes en quatre séries indépendantes.
Calculer la probabilité qu’il y ait exactement deux séries sans faux départ au premier signal lors de
ce quart de finale.
CORRECTION :
1)
0.25
1
F
2
F
2
F
0.08
1
F
0.75
0.92

 Ex :
2) On note A : « il y a exactement un faux départ » ;
12
P A P F F 0.25 0.92 0.23   
3) a)
X E 0 ;1; 2
;
P X 0 0.75 ; P X 1 P A 0.23 ; P X 2 0.25 0.08 0.02        
D’où la loi de probabilité de X est le suivant :
i
x
0
1
2
i
P
0.75
0.23
0.02
b) On note B : « il y a au moins un faux départ » ;
P B P X 1 P X 2 0.23 0.02 0.25      
Ainsi dans
25% des épreuves, il y a au moins un faux départ.
4) On note C : « il y a exactement deux séries sans faux départ au premier signal »
22
2
4
P C C 0.75 .25 0.21
On dispose d’une urne
1
U
contenant trois boules blanches et deux boules noires, d’une urne
2
U
contenant deux boules blanches et quatre boules noires et d’un dé équilibré à six faces numérotées
2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3.
1) On tire au hasard et simultanément trois boules de
1
U
et on désigne par X la variable aléatoire
prenant pour valeur le nombre de boules blanches obtenues.
a) Déterminer la loi de probabilité de X
b) Calculer l’espérance mathématique de X et son écart-type.
2) De l’une des deux urnes
12
U et U
choisie au hasard, calculer la probabilité pour que l’urne où
s’est fait le tirage soit
1
U
.
3) On lance une fois le dé, si le numéro 3 apparaît, on tire simultanément trois de
1
U
, sinon on tire
successivement et sans remise deux boules de
2
U
.
Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
A : « Obtenir une seule boule blanche » et B : « Tirer au moins une boule noire »
CORRECTION :
1) a)
X E 1; 2 ; 3
,
1 2 2 1 3
3 2 3 2 3
3 3 3
5 5 5
C C C C C
3 6 1
P X 1 0.3 ; P X 2 0.6 ; P X 3 0.1
10 10 10
C C C
D’où la loi de probabilité de X est le suivant :
i
x
1
2
3
i
P
0.3
0.6
0.1

 Ex :
b)
3
ii
i1
3 12 3 18 9
E X x p 1.8
10 10 5
;
X V X
Or
2
3
2
22
ii
i1
9 3 24 9 81 18 81 9
V X E X E X x p 5 10 25 5 25 25
Ainsi
3
X5
2) On note B : « Tirer une boule blanche » ;
1
U
: « Choisir l’urne
1
U
»
1
1P U B
P U /B PB
Or
11 3 3 1 3 1 2 3 1 14
P U B et P B
2 5 10 2 5 2 6 10 6 30
d’où
13 30 9
P U /B 10 14 14
3)
24
P 3 ; P 2
66
;
2 4 2 4 1 3 2 1 4 1 16 41
P A P 3 A P 2 A P X 1 2 2
6 6 6 5 3 10 3 3 5 10 45 90
2
2
2
6
A
2 4 1 1 2 2 1 4 83
P B 1 P B 1 P X 3 1 1
6 6 3 10 3 30 30 90 90
A
1) Pour une entreprise de construction d’ordinateurs, 60% de la production est testée valable à la
vente, l’autre partie est révisée puis testée et donne 70% de postes valables à la vente et le reste est
révisé une 2ième fois puis vendu. Un appareil non révisé coûte 1000 D à l’entreprise, une 1ière
révision coûte 50D et une 2ième révision coûte 150D. On s’impose à l’entreprise de vendre ses
appareils à 1100D l’unité. Soit X la variable aléatoire définie par le gain algébrique de l’entreprise.
a) Déterminer la loi de X et dire si cette affaire est rentable.
b) Définir la fonction F de répartition de X et la représenter.
2) J’ai acheté un de ces ordinateurs, lorsque je lui demande de tracer un segment de 12 cm, il trace,
d’une façon aléatoire, un segment de longueur l compris entre 11.7 cm et 12.2 cm.
a) Calculer la probabilité P pour que l soit comprise entre 11.9 et 12 cm.
b) lorsque je lui demande le tracé d’un losange de côté 12 cm, il trace successivement les quartes
côtés.
* Calculer la probabilité
2
P
d’avoir un losange. ; * Calculer la probabilité
3
P
d’avoir un
quadrilatère dont les côtés ont pour longueur entre 11.9 et 12 cm.
3) Mon ordinateur a une garantie de 3 ans et une durée de vie en année qui suit une loi
exponentielle de paramètre 0.2.
a) Calculer la probabilité
4
P
pour que mon ordinateur tombe en panne pendant la période de
garantie.