Les nombres trigonométriques x y −1 − 1 −1 − 1 α sinα cosα tanα

4ème MATH 5 Trigonométrie dans le cercle - 16 mars 2014
Q1Q2
Q3 Q4
Les quadrants
+
0
π
6
π
4
π
3
π
2
5π
6
3π
4
2π
3
π
−5π
6
−3π
4
−2π
3−π
2
−π
6
−π
4
−π
3
Les nombres trigonométriques
x
y
−1−1
21
−1
−1
2
1
2
1
α
sin α
cos α
tan α=sin α
cos α
L’ angle αvaut 30◦dans cet
exemple (π/6 en radians). Le
sinus de α, qui est la “longueur”
du segment rouge, est
sin α=1
2
Le théorème de Pythagore per-
met d’écrire cos2α+sin2α=1.
Donc, la longueur du segment
bleu, qui est le cosinus de α, doit
être
cos α=p1−1/4=p3
2
Cela implique que tan α, qui est
la longueur du segment orange,
est
tan α=sin α
cos α=p3 3
x
cos x
sin xtan x
cotg x
π
6
π
4
π
3
p1
2
p2
2
p3
2
1
2
p2
2
p3
2
201403_exercices_trigonometrie page 1 de 6 F. Lancereau

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Le cercle trigonométrique au complet !
x
y
0◦
30◦
60◦
90◦
120◦
150◦
180◦
210◦
240◦
270◦
300◦
330◦
360◦
45◦
90◦
135◦
180◦
225◦
270◦
315◦
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
7π
6
5π
4
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
11π
6
2π
p3
2,1 2
p2
2,p2 2
1
2,p3 2
−p3
2,1 2
−p2
2,p2 2
−1
2,p3 2
−p3
2,−1 2
−p2
2,−p2 2
−1
2,−p3 2
p3
2,−1 2
p2
2,−p2 2
1
2,−p3 2
(−1,0) (1,0)
(0, −1)
(0,1)
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Exercice no1
Définir avec précision les notions suivantes :
1. un angle de 1 radian
2. le cercle trigonométrique
Exercice no2
Donner la mesure principale des angles suivants puis les placer sur le cercle trigonométrique :
1° 5π
3
2° −13π
6
3° π
12
4° −17π
2
x
y
Exercice no3
Soit un cercle dont le rayon vaut 6 cm. Quelle est la longueur de l’arc intercepté par un angle au
centre de 4,5 radians ?
Exercice no4
1. Quelle est la longueur d’un arc d’un radian sur un cercle ?
2. Quelle est l a mesure en radian d’un arc de longueur 8cm sur un cercle de rayon 5cm ?
3. Sur le cercle x2+y2=1 on va du point (0 ;-1) au point (1 ;0) dans le sens des aiguilles
d’une montre. Quel arc a-t-on parcouru ?
4. Sur le cercle x2+y2=4 on part du point A(4 ;0) et on parcourt 1 rad pour arriver au point
B. Quelle est sa coordonnée ?
5. En parcourant 15 rad sur le cercle trigonométrique à partir du point (1 ; 0) on arrive en un
point que l’on vous demande de placer sur le dessin du cercle (sans rapporteur).
6. Trouver l’angle formé par les aiguilles d’une montre lorsqu’il est 20 h 15 (valeur exacte en
radian) .
Exercice no5
Questionnaire à choix multiple (plusieurs bonnes réponses possibles)
1. La mesure en radians d’un angle de 210° est :
❒7π
6❒−5π 6❒3,6 ❒66,8 rad
2. Soit Mle point du cercle trigonométrique Cassocié au réel a=3π
7. Parmi les points
associés aux réels donnés ci-dessous, quels sont ceux qui sont confondus avec le point M?
❒10π
7❒−11π 7❒−32π 7❒17π 7
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3. La mesure principale d’un angle de 8π
3est :
❒−2π
3❒2π 3❒5π 3❒π 3
4. La valeur exacte de cos 17π
4est :
❒
p2
2❒−
p2
2❒1 2❒
p3
2
5. Soit a=−10π
3. Alors :
❒cos(a) = 1
2et sin(a) = p3 2❒cos(a) = −1 2et sin(a) = p3 2
❒cos(a) = −1
2et sin(a) = −
p3
2❒cos(a) = p3 2et sin(a) = 1 2
Exercice no6
Les sous-questions suivantes sont indépendantes l’une de l’autre :
1. calculer la valeur exacte de sin(α)et cos(α)sachant que αest dans le quatrième quadrant
et que tan(α) = −2
2. Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs exactes. (il ne sera tenu
aucun compte de valeurs approximatives données par la calculatrice.)
xradians −π
6−π 3
13π
2
mesure en degrés 45o90o
cos x−1
2
sin x
p3
2
Exercice no7
Sur le cercle trigonométrique, représenter :
1. un angle αappartenant au deuxième quadrant
2. sin αet cos α
Préciser le signe de ces deux nombres trigonométriques (sin αet cos α)
Exercice no8
Calculer les nombres trigonométriques de l’angle θ, sachant que :
1. θest un angle du deuxième quadrant et sin θ=5
13
2. θ∈π
2;3π 2et tan θ=p2
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Exercice no9
Simplifier les expressions trigonométriques suivantes :
1. cos α
1−sin α+cos α 1+sin αet rechercher les conditions d’existence
2. tan (3π−x)−cotg (−x)
cotg (5π+x) + tan (2π−x)SANS rechercher les conditions d’existence
Exercice no10
Vrai ou faux ?
1. il existe une infinité d’angles qui ont un sinus valant 0,2
2. la fonction cosinus est croissante sur [0 ; π]
3. l’équation trigonométrique sin (x) = 3 n’admet aucune solution.
Autres exercices
On retiendra que (−→ OA,−→ OB)est la notation utilisée pour signifier l’ensemble des mesures de
l’angle orienté Õ AOB.
Exercice no11
On a (−→ OA,−→ OB) = 157π
5+2kπ(k∈Z).
1° Donner la mesure principale θde cet angle orienté.
2° Son cosinus est-il positif ou négatif ? (Justifier par un schéma).
Exercice no12
Résoudre dans ]−π;π]l’équation sin x=1
2.
Exercice no13
Soit un repère orthonormé direct. On donne les points I(1; 0),J(0; 1)et K(1; 1). Soit Cle centre
du carré OIKJ.
1° Tracer la figure.
2° Combien mesure l’angle (−→ C I,−→ OJ)?
3° Combien mesure l’angle (−→ OI,−→ KJ)?
4° Combien mesure l’angle (−→ IO,−→ CK)?
Exercice no14
Résoudre dans [0; 2π[l’inéquation cos x¶
p2
2.
Exercice no15
Soit un repère orthonormé direct. On donne les points A(p3; 1),B(1; −p3)et I(1; 0).
1° Déterminer les coordonnées polaires de Aet B.
2° Donner la mesure principale θde l’angle (−→ OA,−→ OB). En déduire la nature du triangle OAB.
3° Déterminer les coordonnées polaires du point Ctel que OACB soit un parallélogramme.
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